Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En la mecánica estadística, la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea (en honor de Ludwig Eduard Boltzmann, quien introdujo la primera versión en 1872) describe a nivel macroscópico la evolución temporal de la distribución de las velocidades de una enorme cantidad de moléculas de un gas en R³, las cuales obedecen las leyes de la mecánica clásica y están sujetas a colisiones a nivel microscópico. Ecuaciones de similares características han sido introducidas recientemente en variadas situaciones; por ejemplo, para modelar la redistribución de riqueza en una población, en el contexto de la Econofísica.
Con el fin de validar matemáticamente la ecuación de Boltzmann y a la vez deducir propiedades de la misma, en 1956 Kac propuso estudiar un sistema de partículas, el cual es un proceso estocástico a valores en (R³)^N que representa las velocidades de N partículas que evolucionan continuamente en el tiempo y cambian su estado mediante saltos aleatorios correspondientes a las colisiones entre ellas. Es sabido que este sistema aproxima a la ecuación, en el sentido que se cumple la propiedad de propagación de caos: la medida empírica del sistema converge débilmente a la solución de la ecuación en el límite cuando N → ∞. En los últimos años ha habido gran interés por cuantificar esta convergencia, con dependencia explícita en N y en el tiempo t, e idealmente uniforme en t, pues esto validaría plenamente a la distribución estacionaria de la ecuación como el estado del gas en equilibrio termodinámico.
En la presente tesis se estudia la propagación de caos para algunos sistemas de partículas, incluyendo a los modelos recién descritos. En el Capítulo 2 se trabaja con un sistema a valores en un espacio general, y se obtiene un resultado de propagación de caos en convergencia débil en el espacio de trayectorias. En el Capítulo 3 se estudia una clase de sistemas de partículas en R que incluye a algunos modelos de redistribución de riqueza y a una versión simplificada de la ecuación de Boltzmann, introducida por Kac. Se desarrolla una técnica de coupling que permite obtener resultados de propagación de caos con tasas polinomiales moderadas en N y t. Finalmente, en el Capítulo 4 se utiliza esta técnica en el contexto de la ecuación de Boltzmann y se obtiene el resultado principal de la tesis (el cual mejora significativamente la tasa uniforme obtenida por Mischler y Mouhot en 2013):
Teorema. Para la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea en el caso de las moléculas de Maxwell, se tiene una tasa uniforme de propagación de caos, en distancia de Wasserstein 2 al cuadrado, de orden casi N^{−1/6}.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:UCHILE/oai:repositorio.uchile.cl:2250/137542 |
| Date | January 2015 |
| Creators | Cortez Milán, Roberto Amaru |
| Contributors | Fontbona Torres, Joaquín, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Ingeniería Matemática, Martínez Aguilera, Servet, Ramírez Chuaqui, Alejandro, Remenik Zisis, Daniel, San Martín Aristegui, Jaime |
| Publisher | Universidad de Chile |
| Source Sets | Universidad de Chile |
| Language | Spanish |
| Detected Language | Spanish |
| Type | Tesis |
| Rights | Atribución-NoComercial-SinDerivadas 3.0 Chile, http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/cl/ |
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