Los materiales granulares se definen como sistemas compuestos de un gran número de partículas macroscópicas que interactúan entre sí de forma disipativa. Al ser sistemas disipativos alcanzan rápidamente el equilibrio mecánico y permanecen en él a menos que se les entregue energía mediante alguna perturbación externa. Tienen la propiedad de permanecer mecánicamente estables en un amplio rango de configuraciones, y estas configuraciones pueden presentar diferentes valores de densidad, estrés, etc. Se ha demostrado que aplicando repetitivamente perturbaciones discretas a un sistema granular confinado en una celda o recipiente, y dejando que el sistema retorne al equilibrio mecánico entre perturbaciones sucesivas, las propiedades correspondientes a cada configuración estática del mismo evolucionan hasta alcanzar un régimen estacionario, con valores medios y fluctuaciones bien definidos. Se ha mostrado también que los valores alcanzados por estas propiedades en el régimen estacionario no dependen de la historia previa que hayan recorrido en el espacio de variables macroscópicas del sistema, sino que resultan determinadas a partir de las características de la perturbación aplicada. La posibilidad de generar estados estacionarios en las configuraciones estáticas de los materiales granulares ha despertado gran interés en distintos grupos de investigación alrededor del mundo. Estos enfocan sus esfuerzos en intentar establecer un marco teórico que permita describir el estado macroscópico de los sistemas granulares a partir de unos pocos parámetros. La propuesta más discutida en la actualidad se basa en la utilización de herramientas de la mecánica estadística y es conocida como la mecánica estadística granular de Edwards. Para llevar adelante este tipo de propuestas resulta indispensable establecer primero bajo qué condiciones es posible reproducir el estado macroscópico de un sistema granular. Mi trabajo de tesis se enfoca en el estudio de la reproducibilidad de las propiedades macroscópicas estructurales y mecánicas de estos materiales en el estado estacionario. Para esto he estudiado la dependencia de estas propiedades con el tamaño del sistema. Este estudio resulta de interés debido a que todos los trabajos existentes en el área, experimentales y numéricos, no obtienen un acuerdo cuantitativo en los resultados, aunque muestren acuerdo en gran parte de su comportamiento cualitativo. La hipótesis central de esta tesis es que el tamaño de la muestra bajo estudio tiene un efecto significativo no trivial en los valores medios y fluctuaciones de cantidades macroscópicas, como la fracción de volumen ocupado y el estrés. El objetivo de esta tesis es entonces elucidar bajo qué condiciones es posible reproducir cuantitativamente resultados obtenidos en experimentos independientes, donde se producen estados estacionarios de configuraciones estáticas con diferentes tamaños de sistemas. Como resultado de este trabajo implementamos un protocolo de medición, sobre regiones específicas del sistema. Con la implementación de este protocolo, seremos capaces de obtener resultados comparables entre sistemas de diferentes tamaños. A partir de esto, encontramos que es posible definir un parámetro que, caracterizando el efecto que la perturbación aplicada induce sobre el sistema, permite predecir el valor alcanzado por la densidad en el estado estacionario. El parámetro propuesto resulta dependiente de la altura de la columna de granos del sistema y de las características propias de la perturbación. También encontramos que un parámetro similar podría ser definido para predecir el valor del estrés en el estado estacionario. El aporte original de este trabajo reside en establecer los criterios para seleccionar la región donde llevar adelante la medida de las cantidades macroscópicas que caracterizan al sistema y definir los métodos que deben utilizarse para que resulte posible la comparación cuantitativa de resultados obtenidos en sistemas de diferentes tamaños.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En la mecánica estadística, la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea (en honor de Ludwig Eduard Boltzmann, quien introdujo la primera versión en 1872) describe a nivel macroscópico la evolución temporal de la distribución de las velocidades de una enorme cantidad de moléculas de un gas en R³, las cuales obedecen las leyes de la mecánica clásica y están sujetas a colisiones a nivel microscópico. Ecuaciones de similares características han sido introducidas recientemente en variadas situaciones; por ejemplo, para modelar la redistribución de riqueza en una población, en el contexto de la Econofísica. Con el fin de validar matemáticamente la ecuación de Boltzmann y a la vez deducir propiedades de la misma, en 1956 Kac propuso estudiar un sistema de partículas, el cual es un proceso estocástico a valores en (R³)^N que representa las velocidades de N partículas que evolucionan continuamente en el tiempo y cambian su estado mediante saltos aleatorios correspondientes a las colisiones entre ellas. Es sabido que este sistema aproxima a la ecuación, en el sentido que se cumple la propiedad de propagación de caos: la medida empírica del sistema converge débilmente a la solución de la ecuación en el límite cuando N → ∞. En los últimos años ha habido gran interés por cuantificar esta convergencia, con dependencia explícita en N y en el tiempo t, e idealmente uniforme en t, pues esto validaría plenamente a la distribución estacionaria de la ecuación como el estado del gas en equilibrio termodinámico. En la presente tesis se estudia la propagación de caos para algunos sistemas de partículas, incluyendo a los modelos recién descritos. En el Capítulo 2 se trabaja con un sistema a valores en un espacio general, y se obtiene un resultado de propagación de caos en convergencia débil en el espacio de trayectorias. En el Capítulo 3 se estudia una clase de sistemas de partículas en R que incluye a algunos modelos de redistribución de riqueza y a una versión simplificada de la ecuación de Boltzmann, introducida por Kac. Se desarrolla una técnica de coupling que permite obtener resultados de propagación de caos con tasas polinomiales moderadas en N y t. Finalmente, en el Capítulo 4 se utiliza esta técnica en el contexto de la ecuación de Boltzmann y se obtiene el resultado principal de la tesis (el cual mejora significativamente la tasa uniforme obtenida por Mischler y Mouhot en 2013): Teorema. Para la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea en el caso de las moléculas de Maxwell, se tiene una tasa uniforme de propagación de caos, en distancia de Wasserstein 2 al cuadrado, de orden casi N^{−1/6}.

Estudia un sistema de dos spins ½, así como un sistema compuesto A+B, con SA = 2 y SB = 2 3; específicamente, analizamos un problema encontrado en el cálculo de la energía interna, en el contexto mecánico-estadístico no-extensivo: las energías internas calculadas en los respectivos subespacios de Hilbert son diferentes a las energías internas calculadas en el espacio de Hilbert completo. Introduce dos métodos para el cálculo de la energía interna en los subespacios de Hilbert: (1) el método común de la tercera versión de la mecánica estadística no-extensiva, con las matrices q  A y q  B , y (2) un método que considera que el ente físico que contiene la información del sistema físico no es la matriz  sino la matriz q , por consiguiente es sobre esta última matriz que deben realizarse las trazas parciales para obtener las matrices parciales, las cuales son denominadas EA y EB, que constituyen la solución adecuada al problema mencionado. El procedimiento de las matrices EA y EB tuvieron su origen en el artículo A study on Composed Nonextensive Magnetic System, Physica A 343, 499 (2004), desde esa fecha hasta la actualidad, el estudio de dicho procedimiento ha sido ampliado, cond-mat/0701495 (2007). El modelo de Heisenberg en la aproximación de campo medio es utilizado en el cálculo de la energía interna, mostrándose que la aditividad de la energía es satisfecha únicamente con las matrices EA y EB. / Tesis

Se estudia un modelo tipo Ising tomando en cuenta las interacciones de corto y largo alcance, así mismo como el posible efecto de la superficie del sistema y la forma del mismo sobre las propiedades magnéticas del material. Esto se realiza para investigar el comportamiento de los sistemas compuestos por nanopartículas ordenadas en una matriz. Ademas se analiza el papel que juega la relación entre numero de partículas en la superficie con las que se encuentran en el volumen de la matriz con respecto al comportamiento de histeresis del sistema. / An Ising model is studied, taking into account short and long range interactions, as well as the possible effect of the system surface and its shape on the magnetic properties of the material. This is done to investigate the behavior of systems composed of nanoparticles ordered in a matrix. In addition, the role of the relationship between the number of particles on the surface and those in the volume of the matrix with respect to the behavior of system hysteresis is analyzed. / Tesis

Understanding how materials deform and break is a subject of critical importance in industry. At the same time, it requires from the knowledge of the basic processes governing the phenomenon and hence, fundamental physics research is a must. The presence of power law distributions in both temporal and spatial properties and the universality of the behavior seem to suggest that fracture and plasticity could be explained as some type of critical phenomena. This means that there should be some general principles that rule the process and that are more important than a detailed description of the interactions and atomic structure of the media. Hence, simplified theoretical approaches based on fundamental concepts can help to capture the essential ingredients in the system. This Thesis is devoted to the study of the deformation and failure of materials in the presence of disorder with the help of statistical mechanics tools and models.

Viruses are submicroscopic biological entities that need to infect a host cell in order to replicate. In their simplest form viruses are constituted by an infective genetic material and a protein shell (the capsid) that protects the viral genome. In this thesis we try to elucidate the general physical principles playing a major role in the morphology, stability, and assembly of viral capsids. Therefore, in the first part of the thesis, we develop a general theory that characterizes spherical and bacilliform (or prolate) capsids based on icosahedral symmetry under the same geometrical framework. In addition, we demonstrate that the structures derived in this geometrical study are obtained spontaneously from the free energy minimization of a very generic interaction among the viral capsomers of the capsid. In the second part of the thesis, we analyze the role of the discrete nature of capsids and the organization of capsomers in the actual mechanical properties of shells. We show that the icosahedral class P influences the stability and mechanical response of the quasi-spherical capsids. We also determine that under expansion, spherical shells tend to produce polyhedral structures (buckling), which are more resistant, and it is in consonance with the maturation process observed in some viruses. We also unveil the existence of built-in stress in the empty procapsids of the elongated bacteriophage φ29. This phenomenon is intimately related to the discrete nature of the structure, and reinforces the mechanical properties of the shell inverting the classical anisotropic response expected from continuum elasticity theory. In the last part of the thesis, we show that viral assembly and disassembly are activated processes controlled by nucleation barrier, which can be explained adapting classical nucleation theory (CNT). We focus on the case of spherical shells and confirm that the underlying assumptions of CNT are surprisingly good in characterizing the assembly of discrete shells, using the physical model introduced in the previous parts. Finally, we also unveil an interesting closure mechanism during the assembly of capsids.

Se estudia un modelo tipo Ising tomando en cuenta las interacciones de corto y largo alcance, así mismo como el posible efecto de la superficie del sistema y la forma del mismo sobre las propiedades magnéticas del material. Esto se realiza para investigar el comportamiento de los sistemas compuestos por nanopartículas ordenadas en una matriz. Ademas se analiza el papel que juega la relación entre numero de partículas en la superficie con las que se encuentran en el volumen de la matriz con respecto al comportamiento de histeresis del sistema. / An Ising model is studied, taking into account short and long range interactions, as well as the possible effect of the system surface and its shape on the magnetic properties of the material. This is done to investigate the behavior of systems composed of nanoparticles ordered in a matrix. In addition, the role of the relationship between the number of particles on the surface and those in the volume of the matrix with respect to the behavior of system hysteresis is analyzed.

En esta tesis estudiamos el transporte de partículas en billares. Estos son sistemas deterministas, reversibles y caóticos, donde partículas puntuales colisionan en forma elástica con obstáculos convexos, dispuestos de tal forma de asegurar el movimiento caótico de las trayectorias individuales. El interés en este tipo de modelos yace en la posibilidad de estudiar la relación existente entre características macroscópicas de fenómenos irreversibles, tales como la producción de entropía y los coeficientes de transporte, con propiedades dinámicas microscópicas del sistema, como los exponentes de Lyapunov y el mapa de colisiones. El modelo más popular corresponde al Gas de Lorentz en dos dimensiones con horizonte finito, el cual exhibe difusión y representa un sistema en equilibrio. Este sistema es llevado fuera del equilibrio agregando un campo externo que desvía las trayectorias de su vuelo libre entre colisiones y una restricción mecánica cuyo rol es disipar energía manteniendo la simetría de inversión temporal. Este sistema posee un flujo de masa estacionario en la dirección del campo y se conoce como Gas de Lorentz ``Isocinético''. En este trabajo se estudia el Billar Autosimilar de Lorentz, el cual presenta un estado estacionario fuera del equilibrio caracterizado por un flujo de masa constante. Este billar consiste en una deformación del Gas de Lorentz dependiente de un parámetro ε, este último juega un rol análogo al campo externo en el Gas Isocinético. El Billar de Lorentz se recupera con la condición ε=0. El Billar Autosimilar es un sistema extendido infinito que puede ser estudiado en términos de un sistema auxiliar finito que presenta, tal como en el Gas de Lorentz Isocinético, contracción de volumenes en su espacio de fase. Basándonos en la analogía entre ambos modelos desarrollamos una teoría tipo Respuesta Lineal para relacionar la velocidad promedio para ε pequeño con el coeficiente de difusión del Gas de Lorentz. Además, se estudia el proceso difusivo del Gas de Lorentz. Este sistema puede ser aproximado por un camino aleatorio simétrico. En este trabajo mostramos que una mejor estimación del coeficiente de difusión puede ser obtenida considerándolo como un camino aleatorio persistente.

El análisis de la respuesta mecánica de piezas alargadas que experimentan grandes desplazamientos y rotaciones constituye un campo en el que se han producido avances significativos en las tres últimas décadas, tanto desde el punto de vista de la formulación de modelos físicos como de la búsqueda de soluciones numéricas. El ámbito de aplicación de este tipo de modelos se separa quizás del abanico de problemas de los que tradicionalmente se ha ocupado la ingeniería civil, aproximándose más a situaciones propias de otras disciplinas, como la aeronáutica, la robótica o la biomecánica. Dentro de la variedad de modelos en una dimensión desarrollados para el análisis no lineal de piezas alargadas, el propuesto por Simó como extensión del trabajo de Reissner es capaz de reproducir rotaciones arbitrariamente grandes de las secciones transversales. Su sencillez conceptual y la potencia de las soluciones numéricas basadas en él lo hanconvertido en referencia obligada y punto de partida de muchas investigaciones recientes. El propio Simó introdujo la denominación de \emph{modelo geométricamente exacto de piezas alargadas} para referirse a él. No obstante, el modelo de Reissner--Simó no está libre de dificultades. Éstas derivan principalmente del tratamiento exacto de las rotaciones, que exige trabajar en un espacio de configuraciones no lineal ni conmutativo. Esta tesis examina los fundamentos del modelo geométricamente exacto y su conexión con la teoría no lineal de la elasticidad. La relación entre variables materiales y espaciales a través de la transformación definida por la rotación de cada sección establece el método de análisis. En un primer paso se ha desarrollado completamente la cinemática del modelo y las ecuaciones de campo en sus dos facetas --material y espacial--, lo que ha permitido sistematizar el proceso deductivo y aportar algunos resultados teóricos novedosos. El análisis del problema desde el punto de vista variacional ha puesto de manifiesto las conexiones / Lázaro Fernández, CM. (2005). Formulación material y espacial del modelo geometricamente exacto de piezas alargadas [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/1872 / Palancia