[pt] Motivado pela riqueza de fenômenos produzidos pelos seres vivos,
este trabalho busca estudar a formação de padrões espaciais de populações
biológicas. De um ponto de vista mesoscópico, definimos os processos básicos
que podem ocorrer na dinâmica, construindo uma equação diferencial parcial
para a evolução da distribuição da população. Essa equação incorpora
duas generalizações de um modelo pre-existente para a dinâmica de um
espécie, que leva em conta interações de longo alcance (não locais). A
primeira generalização consiste em considerar que a difusão é não linear,
isto é, é afetada pela densidade local de tal modo que o coeficiente de difusão segue uma lei de potência. Por outro lado, visto a alta complexidade
envolvida na natureza dos parâmetros do modelo, introduzimos como segunda
generalização parâmetros que flutuam no tempo. Idealizamos estas
flutuações como um ruído descorrelacionado temporalmente e que obedece
uma distribuição gaussiana (ruído branco). Para estudar o modelo resultante,
utilizamos uma abordagem analítica e numérica. As ferramentas analíticas se baseiam na linearização da equação de evolução e portanto são aproximadas. Todavia, complementadas com resultados numéricos, conseguimos extrair conclusões relevantes. A não localidade das interações induz a formação de padrões. O alcance dessas interações é o que determina o modo dominante presente nos padrões. Assim, para valores dos parâmetros acima de um limiar crítico, emergem padrões. Analiticamente, mostramos que, mesmo abaixo desse limiar, as flutuações nos parâmetros podem induzir a aparição de ordem espacial. Os efeitos da difusão não-linear são captados superficialmente pela análise linear. Numericamente, mostraremos que sua presença modifica a forma dos padrões. Observamos, especialmente, a existência de uma transição quando alternamos entre o caso em que a difusão é facilitada por altas densidades e o caso oposto. Para o primeiro caso, verificamos que os padrões se tornam fragmentados, ou seja, a população é agora composta de sub-grupos desconectados. / [en] Motivated by the richness of phenomena produced by living beings,
this work aims to study the formation of spatial patterns in biological
populations. From the mesoscopic point of view, we define the basic
processes that may occur in the dynamics, building a partial differential
equation for the evolution of the population distribution. This equation
incorporates two generalizations of a pre-existing model for the dynamics
of one species, which takes into account long-range (nonlocal) interactions.
The first generalization is to consider that diffusion is nonlinear, i.e., it is
affected by the local density such that the diffusion coeficient follows a
power law. On the other hand, because of the high complexity involved in
the nature of model parameters, we introduced as a second generalization
time-fluctuating parameters. We idealize these fluctuations as Gaussian
temporally uncorrelated (white) noises. To study the resulting model, we
use an analytical and numerical approach. Analytical tools are based on
the linearization of the evolution equation and are therefore approximate.
However, as evidenced by numerical results, we draw important conclusions.
The nonlocal feature of the interaction is the main mechanism which
induces pattern formation. We show that the extent of these interactions
is what characterizes the dominant mode. Thus, for parameter values
above a critical threshold patterns emerge. Analytically, we also show that
even below this threshold, fluctuations in the parameters can induce the
appearance of spatial order. The effects of nonlinear diffusion are only
superficially captured by the linear analysis. Numerically, we show that their
presence modifies the patterns shape. We mainly observed the existence of
a qualitative difference between the cases when diffusion is facilitated or
not by high densities. In the first case, we note that the patterns become
fragmented, that is, population becomes composed of disconnected clusters.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:puc-rio.br/oai:MAXWELL.puc-rio.br:24777 |
| Date | 17 June 2015 |
| Creators | EDUARDO HENRIQUE FILIZZOLA COLOMBO |
| Contributors | CELIA BEATRIZ ANTENEODO DE PORTO |
| Publisher | MAXWELL |
| Source Sets | PUC Rio |
| Language | Portuguese |
| Detected Language | English |
| Type | TEXTO |
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