La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujet
du déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dans
le plan complexe.
L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding
a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytique
de familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient une
singularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale est
composée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sontelles
équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisinage
d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classes
d’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formels
et d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Des
déploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités.
Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations via
Borel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes paramétriques
des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une singularité
col-noeud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. En
général, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède une
unique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peut
associer des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en utilisant
les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généraliser
cette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions de
systèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularité
irrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deux
points singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions sectorielles
couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte une
description unifiée pour toutes les valeurs du paramètre. / The thesis is composed of a chapter of preliminaries and two articles on the theme of
unfolding of singularities of analytic differential equations in a complex domain. They
are both related to the problem of local analytic classification of parametric families
of linear systems: When two parametric families of linear systems are equivalent by
means of an analytic change of coordinates in a neighborhood of the singularity?
The article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding
a resonant irregular singularity deals with the question of analytic equivalence
of parametric families of systems of linear differential equations in dimension 2 unfolding
a generic resonant singularity of Poincaré rank 1 whose leading matrix is a
Jordan bloc. The problem is completely solved and the moduli space of analytic
equivalence classes is described in terms of a set of formal invariants and a single
analytic invariant obtained from the trace of the monodromy. Universal unfoldings
are provided for all such singularities.
The article Confluence of singularities of non-linear differential equations via
Borel-Laplace transformations investigates bounded solutions of systems of differential
equations describing a 1-dimensional center manifold of an unfolded saddle-node
singularity in a family of complex vector fields. Generally, a system of analytic ODE
at a double singular point possesses a unique formal solution in terms of a divergent
power series. The classical Borel summation method associates to it true solutions
that are asymptotic to the series on certain sectors in the complex plane. The article
shows how to unfold the Borel and Laplace integral transformations of the summation
procedure. A new kind of solutions of parameter dependent systems of ODE
with two simple (regular) singular points unfolding a double (irregular) singularity
are constructed, which are bounded on certain “spiraling” domains attached to both
singular points, and which at the limit converge uniformly to a pair of the classical
sectorial solutions. The method provides a unified treatment for all values of
parameter.
| Identifer | oai:union.ndltd.org:umontreal.ca/oai:papyrus.bib.umontreal.ca:1866/11090 |
| Date | 06 1900 |
| Creators | Klimes, Martin |
| Contributors | Rousseau, Christiane |
| Source Sets | Université de Montréal |
| Language | English |
| Detected Language | French |
| Type | Thèse ou Mémoire numérique / Electronic Thesis or Dissertation |
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