L’objectif de ce travail est d’établir des résultats de rigidité spectrale pour des familles C1 d’opérateurs (pseudo-)différentiels elliptiques auto-adjoints Pt, t ϵ [0, ẟ] sur une variété lisse compacte M sans bord de dimension n ≥ 2. Dans les deux premiers chapitres, on étudie des hamiltoniens proches d’un hamiltonien intégrable qui est non dégénéré au sens de Kolmogorov (Système KAM). On y construit une forme normale de Birkhoff au voisinage de chaque tore KAM ayant une fréquence diophantienne. Dans les chapitres 3 et 4 on établit une forme normale de Birkfoff quantique afin de construire des familles C1 de quasi-modes. Ces dernières permettent de relier les propriétés spectrales de Pt aux propriétés dynamiques des tores KAM. Les deux derniers chapitres proposent des applications en lien avec la transformée de Radon ainsi qu’une étude sur les surfaces de rotation. / The aim of this work is to obtain spectral rigidity results for C1 families of elliptic self-adjoint (pseudo-)differential operators Pt, t ϵ [0, ẟ], on a smooth closed manifold M of dimension n ≥ 2. In the first two chapters, we investigate Hamiltonians close to a given integrable Hamiltonian which is non-degenerate in the sense of Kolmogorov (KAM system). This allows us to obtain a Birkhoff normal form in a neighborhood of any KAM tori with a Diophantine frequency. In the third and fourth chapters, we construct a quantum Birkhoff normal form and obtain C1 families of quasimodes. Using the quasi-modes, we establish a connection between the spectral properties of Pt and the dynamical properties of the KAM tori. The last two chapters provide applications of these results to the Radon transform and the surfaces of revolution.

J'ai principalement étudié la classification des champs de vecteurs holomorphes Z , ayant une singularité isolée en (0,0) de type noeud-col, sous l'action des changements de coordonnées holomorphes locaux. On montre comment celle-ci se réduit à l'étude de deux équations homologiques, une pour la classification du feuilletage sous-jacent et l'autre pour la classification du flot à feuilletage fixé. On complète ainsi les invariants fonctionnels dégagés par Martinet/Ramis pour les feuilletages. Les invariants de classification expriment les obstructions à l'existence d'une fonction holomorphe F solution d'une équation du type Z(F)=G . En intégrant le second membre selon des chemins tangents à Z , on localise ces obstructions dans la non-nullité de certaines intégrales le long de cycles asymptotiques. Cette approche géométrique se distingue des méthodes utilisées par Meshcheryakova/Voronin pour obtenir indépendament et à la même époque un résultat similaire, en particulier puisqu'elle permet de donner une représentation intégrale "naturelle" aux invariants de Martinet/Ramis. En estimant ces quantités on dégage finalement de nombreuses classes explicites de champs (et d'équations différentielles) mutuellement non conjugué(e)s, alors que dans d'autre cas on peut donner des formes normales.

C'est l'histoire d'un mathématicien qui est allé à la recherche des tores perdus<br />dans la jungle des systèmes complètement intégrables. Il a trouvé des feuilles<br />particulières et des tores pour construire une petite cabane qui donne une vue<br />topologique sur la jungle.

La première partie de cette thèse présente le cadre des équations différen- tielles à retard. Ces équations apparaissent notamment dans des modélisations de phénomènes physiques (calcul de marées) et physiologiques. La recherche de forme normale d'équation différentielle à retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On présente une méthode de calcul due à T. Faria qui permet de réduire cette difficulté en utilisant des variétés centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On étend ensuite ce résultat à l'aide d'une méthode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des équations différentielles ordinaires. En utilisant ces deux méthodes, on démontre un théorème donnant l'existence d'une forme renormalisée d'équation différentielle à retard. Dans une deuxième partie, on présente et on étudie le formalisme moulien développé par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique à des champs hamiltoniens en coordonnées cartésiennes, puis en coordonnées action-angle. On obtient ainsi une nouvelle démonstration de la version formelle du théorème de Kolmogorov et du théorème de Birkhoff. On présente également une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et témoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien à être utilisé dans les logiciels de calcul formel.

Cette thèse est consacrée au calcul des solutions formelles d'un système différentiel linéaire méromorphe dans un voisinage de l'origine de c de la forme y(z)=a(z)y(z). Il est bien connu qu'une matrice fondamentale de solutions s'écrit formellement sous forme h(z)=f(z)g(z), ou f(z) est une série formelle en racine de z et g(z) est une matrice de fonctions élémentaires qui constituent des exponentiels polynomiaux en racine de z#1, puissance complexe de z##1, et puissance entière positive de log z. H. L. Turrittin et w. Wasow ont propose une methode algorithmique pour calculer h(z). Cette methode coute chére en calcul. Devant ce fait, nous proposons une nouvelle approche algorithmique pour trouver h(z). Cette approche a l'avantage d'utiliser des transformations simples et moins couteuses en calcul. De plus, notre approche permet de calculer le plus grand degré des polynômes exponentiels qui se trouvent dans la matrice g(z). En pratique, les systèmes a deux dimensions sont importants. Dans ce cas, nous proposons une methode programmable, inspirée de l'approche générale précédente pour calculer les solutions au voisinage d'une singularité

L'algèbre linéaire est une brique de base essentielle du calcul scientifique. Initialement dominée par le calcul numérique, elle connaît depuis les dix dernières années des progrès considérables en calcul exact. Ces avancées algorithmiques rendant l'approche exacte envisageable, il est devenu nécessaire de considérer leur mise en pratique. Nous présentons la mise en oeuvre de routines de base en algèbre linéaire exacte dont l'efficacité sur les corps finis est comparable celles des BLAS numériques. Au délà des applications propres au calcul exact, nous montrons qu'elles offrent une alternative au calcul numérique multiprécision pour la résolution de certains problèmes numériques mal conditionnés.<br /><br />Le calcul du polynôme caractéristique est l'un des problèmes classiques en algèbre linéaire. Son calcul exact permet par exemple de déterminer la similitude entre deux matrices, par le calcul de la forme normale de Frobenius, ou la cospectralité de deux graphes. Si l'amélioration de sa complexité théorique reste un problème ouvert, tant pour les méthodes denses que boîte noire, nous abordons la question du point de vue de la praticabilité : des algorithmes adaptatifs pour les matrices denses ou boîte noire sont dérivés des meilleurs algorithmes existants pour assurer l'efficacité en pratique. Cela permet de traiter de façon exacte des problèmes de dimensions jusqu'alors inaccessibles.

Cette thèse a pour objet détudier des problèmes réversibles dans la dynamique holonome et non-holonome du corps solide. Dans la thèse sont analysés les rotations permanentes, les oscillations et les mouvements rotatifs dun ellipsoïde homogène pesant sur un plan absolument rugueux et dun satellite sur une orbite elliptique ; le problème de la stabilité de ces mouvements est également étudié.<br />Les recherches présentées dans cette thèse démontrent lefficacité des méthodes fondées sur les propriétés de réversibilité des systèmes mécaniques, propriété dont lusage est essentiel dans tous les résultats obtenus :<br />Létude de la stabilité des rotations autour de laxe vertical de lellipsoïde pesant homogène sur le plan horizontal.<br />Létude de la stabilité des mouvements de roulement sans glissement dun ellipsoïde creux pesant le long de la ligne droite sur le plan horizontal : conclusion sur linstabilité causée par la résonance paramétrique et conditions nécessaires de stabilité, obtenues par calcul numérique.<br />Lexpression détaillée du coefficient de résonance en cas de résonance paramétrique pour les systèmes réversibles du troisième ordre (et la réalisation du code de calcul correspondant).<br />La conservation des oscillations 2pik périodiques du satellite sur lorbite circulaire sous leffet des moments gravitationnel et aérodynamique dans le cas de lorbite faiblement elliptique.<br />Lexistence des rotations 2pi périodiques du satellite sur lorbite elliptique arbitraire sous leffet des moments gravitationnel et aérodynamique (détermination des vitesses initiales pour les rotations, étude de leur stabilité).<br />La détermination des rotations rapides dans le problème de V.V. Beletsky (le satellite étant soumis aux seules forces gravitationnelles sans prendre en considération la résistance de latmosphère) et létude de leur stabilité.

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Depuis quelques années, l'extension de l'utilisation de l'informatique dans tous les domaines de recherche scientifique et technique se traduit par un besoin croissant de puissance de calcul. Il est donc vital d'employer les microprocesseurs en parallèle. Le problème principal que nous cherchons à résoudre dans cette thèse est le calcul d'une forme canonique de très grandes matrices creuses à coefficients entiers, la forme normale de Smith. Par "très grandes", nous entendons un million d'inconnues et un million d'équations, c'est-à-dire mille milliards de variables. De tels systèmes sont même, en général, impossibles à stocker actuellement. Cependant, nous nous intéressons à des systèmes dans lesquels beaucoup de ces variables sont identiques et valent zéro; on parle dans ce cas de système creux. Enfin, nous voulons résoudre ces systèmes de manière exacte, c'est-à-dire que nous travaillons avec des nombres entiers ou dans une structure algébrique plus petite et autorisant toutes les opérations classiques, un corps fini. La reconstruction de la solution entière à partir des solutions plus petites est ensuite relativement aisée.

Nous proposons de construire dans cette thèse un invariant combinatoire, appelée la "monodromie spectrale" à partir du spectre d'un seul opérateur h-pseudo-différentiel (non auto-adjoint) à deux degrés de liberté dans la limite semi-classique. Notre inspiration est issue de la monodromie quantique qui est définie pour le spectre conjoint d'un système intégrable de n opérateurs h-pseudo-différentiels auto-adjoints qui commutent, donnée par S. Vu Ngoc. Le premier cas simple traité dans ce travail est celui d'un opérateur normal. Dans ce cas, son spectre discret peut être identifié au spectre conjoint d'un système quantique intégrable. Le deuxième cas plus complexe que nous proposons est une petite perturbation d'un opérateur auto-adjoint en supposant une propriété d'intégrabilité classique. Nous montrons que son spectre discret (dans une petite bande autour de l'axe réel) possède également une monodromie combinatoire. La difficulté ici est qu'on ne connaît pas la description du spectre partout, mais seulement dans un ensemble de type Cantor. De plus, nous montrons aussi que cette monodromie peut être identifiée à la monodromie classique (qui est définie par J. Duistermaat). Ce sont les résultats principaux de cette thèse.