Inspiré par l'algèbre d’échange et birapport de rang n introduit par F. Labourie, nous construisons un anneau muni de la structure de Poisson--- l’algèbre d’échangée de rang n Zn(P) pour étudier les espaces de modules de birapports . Nous prouvons que Zn(P) hérite d'une structure de Poisson provenant de l’algèbre d’échangée. Pour tenir compte des “birapports” dans l’anneau de fraction, en interprétant Zn(P) par un modèle géométrique dans l'étude de la géométrie théorie des invariants, nous montrons que Zn(P) est intègre. Ensuite, nous considérons l'anneau Bn(P) engendreré par les birapports dans l'anneau de fraction de Zn(P). Pour n = 2,3, nous trouvons un homomorphisme injectif poissonienne de l'anneau engendré par coordonnées de Fock-Goncharovde sur l'espace des configurations de drapeaux dans Rn vers Bn(P). En étudiant le système intégrable discret pour l'espace des configurations de polygones N-tordus dans RP1, à une transformation de Fourier discrète, nous rapportons asymptotiquement l'algèbre d’échangée à l'algèbre de Virasoro sur une hypersurface de MN, 1. / Inspired by the swapping algebra and the rank n cross-ratio introduced by F. Labourie, we construct a ring equipped with the swapping Poisson structure---the rank n swapping algebra Zn(P) to study the moduli spaces of cross ratios. We prove that Zn(P) inherits a Poisson structure form the swapping bracket. To consider the "cross-ratios" in the fraction ring, by interpreting Zn(P) by a geometric model in the study of geometry invariant theory, we prove that Zn(P) is an integral domain. Then we consider the ring Bn(P) generated by the cross ratios in the fraction ring of Zn(P). For n = 2,3, we embed in a Poisson way the ring generated by Fock-Goncharov coordinates for configuration space of flags in Rn into Bn(P). By studying the discrete integrable system for the configuration space MN,1 of N-twisted polygons in RP1, up to a discrete Fourier transformation, we asymptotically relate the swapping algebra to the Virasoro algebra on a hypersurface of MN,1.

Cette thèse contient plusieurs études expérimentales centrées sur la dynamique des bosons dans une dimension (1D). En utilisant une expérience de type puce atomique, nous créons des géométries de piègage très allongées pour des atomes de 87Rb. Cela conduit à geler deux dimensions et à créer un gaz 1D avec des interactions de contact qui est décrit par le modèle de Lieb-Liniger. Le manuscrit contient trois études expérimentales indépendantes: La première étude traite de la dynamique hors équilibre suite à une trempe des interactions. Nous observons l'évolution temporelle des modes de Bogoliubov comprimés et montrons que cette dynamique continue sur des temps qui ne seraient pas observable sur la fonction de corrélation d'ordre un.La deuxième étude montre que les pertes à trois-corps refroidissent un gaz de Bose 1D dans le régime quasi-condensat. Ce travail est accompagné d'une étude théorique qui prédit ce refroidissement pour les pertes à j-corps.La troisième étude est la première étude expérimentale d'une nouvelle théorie des systèmes intégrables, nommé HydroDynamics Généralisé (HDG).Nous montrons que HDG est la seule théorie <<simple>> qui décrit correctement les résultats expérimentaux.En particulier, l’approche de l'HydroDynamique Conventiennelle (HDC) ne reproduit pas l’observation expérimentale. Contrairement au HDG, HDC ne prend pas en compte l’intégrabilité du système. / This thesis contains several experimental studies centered around the dynamics of bosons in one dimension (1D). With the use of an atomchip setup we create very elongated trapping geometries for $^{87}$Rb. This leads to the freeze-out of two dimensions and the creation of a 1D gas with contact interactions, described the Lieb-Liniger model. The manuscript contains three independent experimental studies: The first one investigates the out-of-equilibrium dynamics after an interaction quench. We observe the time evolution of squeezed Bogoliubov modes and show that this dynamics continues on times which cannot be observed on the first order correlation function.The second study shows that three-body losses cool a 1D Bose gas in the quasi-condensate regime. This work is accompanied by a theoretical study, which predicts this cooling for $j$-body losses.The third study consists of the first experimental study of a new theory in integrable systems -- the Generalized HydroDynamics (GHD).We show that GHD is the only "simple" theory which correctly describes the experimental results.In particular, the Conventional HydroDynamics (CHD) approach fails to reproduce the experimental observation. In contrast to GHD, CHD does not take into account the integrability of the system.

Nous proposons de construire dans cette thèse un invariant combinatoire, appelée la "monodromie spectrale" à partir du spectre d'un seul opérateur h-pseudo-différentiel (non auto-adjoint) à deux degrés de liberté dans la limite semi-classique. Notre inspiration est issue de la monodromie quantique qui est définie pour le spectre conjoint d'un système intégrable de n opérateurs h-pseudo-différentiels auto-adjoints qui commutent, donnée par S. Vu Ngoc. Le premier cas simple traité dans ce travail est celui d'un opérateur normal. Dans ce cas, son spectre discret peut être identifié au spectre conjoint d'un système quantique intégrable. Le deuxième cas plus complexe que nous proposons est une petite perturbation d'un opérateur auto-adjoint en supposant une propriété d'intégrabilité classique. Nous montrons que son spectre discret (dans une petite bande autour de l'axe réel) possède également une monodromie combinatoire. La difficulté ici est qu'on ne connaît pas la description du spectre partout, mais seulement dans un ensemble de type Cantor. De plus, nous montrons aussi que cette monodromie peut être identifiée à la monodromie classique (qui est définie par J. Duistermaat). Ce sont les résultats principaux de cette thèse.