Dans une première partie, nous considérons des problèmes de Cauchy pour des équations et systèmes hyperboliques du premier ordre. Nous donnons une représentation de l'opérateur solution comme produit infini d'opérateurs intégraux de Fourier à phase complexe. Nous démontrons la convergence de cette représentation dans les espaces de Sobolev, ainsi que celle du front d'onde. Pour les systèmes, nous traitons les cas symétriques et symétrisables. La représentation proposée conduit naturellement à des schémas numériques pour la résolution des problèmes de Cauchy. Nous présentons des applications de cette méthode dans le domaine de l'imagerie sismique. Dans ce cadre, grâce à des approximations microlocales nous obtenons des schémas efficaces. D'autres applications de l'analyse microlocale à la sismologie sont présentées.<br />Dans une seconde partie, nous étudions la contrôlabilité aux trajectoires pour des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas d'opérateurs sous forme divergentielle où le coefficient de la partie principale est non continu. Nous prouvons tout d'abord une inégalité de Carleman, en dimension un d'espace, pour un coefficient $C^1$ par morceaux. Par un passage à la limite dans l'inégalité de Carleman, ce résultat est étendu au cas d'un coefficient $BV$. Avec ces résultats, nous prouvons la contrôlabilité de ces équations paraboliques en dimension un d'espace sans faire d'hypothèse de compatibilité entre la région de contrôle et les signes des sauts du coefficient discontinu. De plus, nous exhibons un cas en dimension supérieure pour lequel la même conclusion est obtenue. Finalement, nous utilisons une inégalité de Carleman afin d'identifier le coefficient discontinu à partir de mesures faites sur la solution.

Cette thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie, nous appliquons la méthode de Menikoff-Sjöstrand au laplacien de Kohn, défini sur une varieté CR compacte orientée connexe et nous obtenons un développement asymptotique complet du projecteur de Szegö pour les (0,q) formes quand la forme de Levi est non-dégénérée. Cela généralise un résultat de Boutet de Monvel et Sjöstrand pour les (0,0) formes. Nous calculons aussi le terme dominant.<br /><br />Dans la deuxiéme partie, nous introduisons un nouvel opérateur analogue au laplacien de Kohn, défini sur le bord du domaine et nous y appliquons la méthode de Menikoff-Sjöstrand. Cela donne une description modulo des opérateurs régularisants d'un nouvel projecteur de Szegö. Finalement, en utilisant l'opérateur de Poisson, nous obtenons un développement asymptotique complet de la singularité du noyau de Bergman pour les (0,q) formes quand la forme de Levi est non-dégénérée.

On decrit un procede de regularisation de la theorie de Birman-Krein pour des perturbations a longue portee du Laplacien. Si les coefficients de la perturbation ne sont plus integrables, en particulier L^2, on etend un resultat du a Koplienko qui prouve l'existence d'une phase de diffusion qui regularise la phase de diffusion usuelle de Birman-Krein. On donnne diverses asymptotiques semi-classiques de cette phase regularisees ainsi que des liens avec les matrices de diffusions et des determinants de Fredholm. Puis, on applique ces resultats a la demonstration d'une formule de trace du type "formule de Levinson".

Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité et la stabilisation de certaines équations aux dérivées partielles dispersives. On s'intéresse d'abord au problème du contrôle interne. Grâce à des méthodes d'analyse microlocale et à l'utilisation des espaces de Bourgain, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps de l'équation de Schrödinger non linéaire, d'abord sur un intervalle, puis sur des variétés de dimension 3. Dans le cas d'un intervalle, on raisonne à la régularité L^2, permettant ainsi de traiter une non-linéarité focalisante ou défocalisante. On obtient aussi des résultats de régularité supplémentaire pour le contrôle. De plus, on prouve la contrôlabilité aux trajectoires, dont on déduit une deuxième preuve de la contrôlabilité globale. On applique ensuite ces méthodes à l'équation de Korteweg-de Vries en données périodiques. Pour cette équation, on donne aussi un terme d'amortissement dépendant du temps permettant d'avoir un taux de décroissance exponentielle arbitraire. On étudie aussi l'équation de Klein-Gordon sur des variétés compactes avec une nonlinéarité critique. Sous des hypothèses légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps pour des données haute fréquence. La preuve nécessite la mise en oeuvre d'une décomposition en prols sur des variétés pour laquelle des effets géométriques doivent être analysés. Dans une dernière partie, on étudie le contrôle bilinéaire. Grâce à un effet régularisant, on établit la contrôlabilité locale de l'équation de Schrödinger sur un intervalle avec une preuve plus simple que dans la littérature existante, permettant ainsi d'atteindre les espaces optimaux et en temps arbitraire. La méthode est assez robuste pour être étendue à d'autres situations : les données radiales sur la boule, l'équation de Schrödinger non linéaire et des ondes non linéaire sur un intervalle.

Une variété riemannienne est dite rigide lorsque la longueur des géodésiques périodiques (cas des variétés fermées) ou des géodésiques diffusées (cas des variétés ouvertes) permet de reconstruire globalement la géométrie de la variété. Cette notion trouve naturellement son origine dans des dispositifs d’imagerie numérique tels que la tomographie par rayons X. Grâce une approche résolument analytique initiée par Guillarmou et fondée sur de l’analyse microlocale (plus particulièrement sur certaines techniques récentes dues à Faure-Sjostrand et Dyatlov-Zworski permettant une étude analytique fine des flots Anosov), nous montrons que le spectre marqué des longueurs, c’est-à-dire la donnée des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l’homotopie, d’une variété fermée Anosov ou Anosov à pointes hyperboliques détermine localement la métrique de la variété. Dans le cas d’une variété ouverte avec ensemble capté hyperbolique, nous montrons que la distance marquée au bord, c’est-à-dire la donnée de la longueur des géodésiques diffusées marquées par l’homotopie, détermine localement la métrique. Enfin, dans le cas d’une surface asymptotiquement hyperbolique, nous montrons qu’une notion de distance renormalisée entre paire de points au bord à l’infini permet de reconstruire globalement la géométrie de la surface. / A Riemannian manifold is said to be rigid if the length of periodic geodesics (in the case of a closed manifold) or scattered geodesics (in the case of an open manifold) allows to recover the full geometry of the manifold. This notion naturally arises in imaging devices such as X-ray tomography. Thanks to a analytic framework introduced by Guillarmou and based on microlocal analysis (and more precisely on the analytic study of hyperbolic flows of Faure-Sjostrand and Dyatlov-Zworski), we show that the marked length spectrum, that is the lengths of the periodic geodesics marked by homotopy, of a closed Anosov manifold or of an Anosov manifold with hyperbolic cusps locally determines its metric. In the case of an open manifold with hyperbolic trapped set, we show that the length of the scattered geodesics marked by homotopy locally determines the metric. Eventually, in the case of an asymptotically hyperbolic surface, we show that a suitable notion of renormalized distance between pair of points on the boundary at infinity allows to globally reconstruct the geometry of the surface.

Ce travail a consisté en la présentation et la validation d'une nouvelle méthode ayant pour thème la simulation de la propagation d'ondes. Le problème analysé est celui de la diffraction d'ondes en régime harmonique par des obstacles tridimensionnels quelconques. Pour modéliser ces phénomènes, nous nous sommes intéressés aux équations intégrales. La méthodes proposée a pour objectif de les utiliser à hautes fréquences en réduisant la complexité du calcul et surtout en stockage mémoire. Son originalité réside en une approche en deux temps de la solution cherchée. Dans un premier temps, on utilise une discrétisation microlocale. Dans un second temps, on propose une transformation par ondelettes. L'approche microlocale, qui repose sur l'usage systèmatique d'une localisation en espace et en direction de propagation, conduit à inverser des matrices creuses mais très mal conditionnées. Pour surmonter cette difficulté, nous aovns considéré la seconde approche qui consiste à opérer un filtrage par ondelettes. Ces approximations se sont avérées particulièrement efficaces pour diminuer le remplissage et la taille des matrices issues de la résolutions d'équations intégrales.<br />Le développement et la mise au point d'un code ont été effectués au CERMICS-INRIA Sophia-Antipolis. La vérification de la validité de notre code s'appuie sur des calculs de surface équivalente radar. Des résultats numériques encourageants sont présentés pour des obstacles convexes et non-connexes.<br />La méthode est ensuite étendue aux opérateurs pseudo-différentiels et Fourier-intégraux. Ils interviennent dans le cas de milieux hétérogènes et anisotropes.

Ce mémoire a pour but de présenter un panorama des recherches que j'ai effectuées depuis la soutenance de ma thèse en 1998. J'en ai également profité pour réordonner mes résultats et émailler le texte de réflexions parfois nouvelles afin de tenter de combiner l'introduction au sujet avec la synthèse de mes recherches. Il sera question de systèmes hamiltoniens complètement intégrables, de leur étude locale, de leurs singularités, de leurs aspects globaux et de certains liens qu'il entretiennent avec les variétés toriques, tout ceci du point de vue de la mécanique classique ainsi que de celui de leur quantification semi-classique. Une étude détaillée des singularités dites non-dégénérées sera présentée.

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld. / In this thesis, we prove some direct and inverse spectral results, in the semiclassical limit, for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces. For pseudodifferential operators, these results are already known, and it is natural to expect their extension to the Toeplitz setting. The usual Bohr-Sommerfeld conditions, characterizing the eigenvalues close to a regular value of the principal symbol, have been obtained a few years ago for Toeplitz operators. Our contribution consists in extending these conditions near nondegenerate critical values. We handle the case of an elliptic value thanks to a normal form technique; the model operator is the realization of the harmonic oscillator in the Bargmann space, whose spectrum is well-known. In the case of a hyperbolic value, the normal form is no longer sufficient and we conclude by using additional arguments due to Colin de Verdière and Parisse, who derived the analogous result for pseudodifferential operators. Finally, we write an inverse spectral result for self-adjoint Toeplitz operators on surfaces; more precisely, we show that under some generic hypotheses, the knowledge of the spectrum up to order two in the semiclassical limit allows to recover the principal symbol up to symplectomorphism. This result essentially relies on Bohr-Sommerfeld rules.

Cette thèse à pour objet l’étude des résonances du laplacien sur les variétés à pointes. Ce sont des variétés dont les bouts sont des pointes hyperboliques réelles. Ces objets ont été introduits par Selberg pour les surfaces à pointes de courbure constante dans les années 50. Leur définition a ensuite été étendue en courbure variable par Lax et Phillips. Les résonances sont les poles d’une famille méromorphe de fonctions propres généralisées du laplacien. Elles sont associées au spectre continu du laplacien. Pour analyser ce spectre continu, plusieurs directions de recherche sont explorées ici. D’une part, on obtient des résultats sur la localisation de ces résonances. En particulier, si la courbure est négative, on montre que pour un ensemble générique de métriques, les résonances se séparent en deux ensembles. Le premier est contenu dans une bande près du spectre continu. L’autre partie est composé de résonances qui s’éloignent du spectre. Ceci laisse une zone de taille log sans résonance.D’autre part, on étudie les mesures microlocales associées à certaines suites de paramètre spectraux. En particulier, on montre que pour des suites de paramètres spectraux qui s’approche du spectre, mais pas trop vite, la mesure microlocale associée est nécessairement la mesure de Liouville. Cette propriété est valable quand la courbure de la variété est négative. / In this thesis, we study the resonances of the Laplace operator on cusp manifolds. They are manifolds whose ends are real hyperbolic cusps. The resonances were introduced by Selberg in the 50's for the constant curvature cusp surfaces. Their definition was later extended to the case of variable curvature by Lax and Phillips. The resonances are the poles of a meromorphic family of generalized eigenfunctions of the Laplace operator. They are associated to the continuous spectrum of the Laplace operator. To analyze this continuous spectrum, different directions of research are investigated.On the one hand, we obtain results on the localization of resonances. In particular, if the curvature is negative, for a generic set of metrics, they split into two sets. The first one is included in a band near the spectrum. The other is composed of resonances that are far from the spectrum. This leaves a log zone without resonances. On the other hand, we study the microlocal measures associated to certain sequences of spectral parameters. In particular we show that for some sequences of parameters that converge to the spectrum, but not too fast, the associated microlocal measure has to be the Liouville measure. This property holds when the curvature is negative.