[ES] El objetivo principal de esta tesis es el estudio de diferentes propiedades (principalmente ergódicas) de operadores de composición y de composición ponderados actuando en espacios de funciones holomorfas definidas en un espacio de Banach de
dimensión infinita.
Sea X un espacio de Banach y U un subconjunto abierto. Dada una aplicación
φ : U → U, la acción f 7 → Cφ ( f ) = f ◦ φ define un operador, llamado operador de
composición (y a φ se le llama símbolo del operador). Consideramos este operador
actuando en diferentes espacios de funciones. La filosofía general es intentar caracterizar en cada caso las propiedades de nuestro interés en función de condiciones en φ.
También, dada ψ: U → C, el operador de multiplicación se define como Mψ( f ) = ψ · f
y (con φ como antes), el operador de composición ponderado como Cψ,φ ( f ) = ψ·( f ◦φ)
(en este caso ψ se conoce como el peso o multiplicador del operador). Nuevamente, la
idea es describir propiedades de estos operadores en términos de condiciones sobre φ
y/o ψ. Claramente Cψ,φ = Mψ ◦ Cφ , y tomando φ = idU (la identidad en U) o ψ ≡ 1
(la función constante 1) recuperamos Mψ y Cφ .
Denotamos con B a la bola unidad abierta de X . El espacio de funciones holomorfas
f : B → C se denota H(B). Escribimos Hb(B) para el espacio de funciones holomorfas
en B de tipo acotado y H∞(B) para el espacio de funciones holomorfas y acotadas
en B. Vamos a considerar operadores de composición y de composición ponderados
definidos en cada uno de estos espacios (tomando entonces U = B en la definición).
También consideramos operadores de composición definidos en el espacio vectorial
de polinomios continuos y m-homogéneos (denotado P (m X )). En este caso tomamos
U = X .
La tesis consta de cinco capítulos. En el Capítulo 1 damos las definiciones y resultados básicos necesarios para que el texto sea autocontenido. En el Capítulo 2 tratamos
con operadores de composición ergódicos en media y acotados en potencias definidos en P (m X ). En el Capítulo 3 estudiamos operadores de composición ergódicos
en media y acotados en potencias definidos en H(B), Hb(B) y H∞(B); tratando también el caso particular en que B es la bola de un espacio de Hilbert. En el Capítulo 4
estudiamos la compacidad de operadores de composición ponderados definidos en
H∞(B), así como la acotación, reflexividad, cuándo es Montel y la compacidad (débil) en Hb(B). Finalmente, en el Capítulo 5 obtenemos resultados sobre la acotación
en potencias y ergodicidad en media de operadores de composición ponderados actuando en H(B), Hb(B) y H∞(B); así como sobre compacidad y ergodicidad en media
del operador de multiplicación. / [CA] L’objectiu principal d’aquesta tesi és l’estudi de diferents propietats (principalment
ergòdiques) d’operadors de composició i de composició ponderats actuant en espais
de funcions holomorfes en un espai de Banach de dimensió infinita.
Siga X un espai de Banach i U un subconjunt obert. Donada una aplicació φ : U →
U, l’acció f 7 → Cφ ( f ) = f ◦ φ defineix un operador, anomenat operador de compo-
sició (i φ s’anomena símbol de l’operador). Considerem aquest operador actuant en
diferents espais de funcions. La filosofia general és intentar caracteritzar en cada
cas les propietats del nostre interés en funció de condicions en φ. També, donada
ψ: U → C, l’operador de multiplicació es defineix com a Mψ( f ) = ψ · f i (amb φ com
abans), l’operador de composició ponderat com a Cψ,φ ( f ) = ψ · ( f ◦ φ) (en aquest cas
ψ es coneix com el pes o multiplicador de l’operador). Novament, la idea és descriure
propietats d’aquests operadors en termes de condicions sobre φ i/o ψ. Clarament
Cψ,φ = Mψ ◦ Cφ , i prenent φ = idU (la identitat en U) o ψ ≡ 1 (la funció constant 1)
recuperem Mψ i Cφ .
Denotem per B la bola unitat oberta d’X . L’espai de funcions holomorfes f : B → C
es denota H(B). Escrivim Hb(B) per a l’espai de funcions holomorfes en B de tipus fitat
i H∞(B) per a l’espai de funcions holomorfes i fitades en B. Anem a considerar ope-
radors de composició i de composició ponderats definits en cadascun d’aquests espais
(prenent llavors U = B en la definició). També considerem operadors de composició
definits en l’espai vectorial de polinomis continus i m-homogenis (denotat P (m X )).
En aquest cas prenem U = X .
La tesi consta de cinc capítols. En el Capítol 1 donem les definicions i resultats
bàsics necessaris perquè el text siga autocontingut. En el Capítol 2 tractem amb ope-
radors de composició ergòdics en mitjana i fitats en potències definits en P (m X ). En el
Capítol 3 estudiem operadors de composició ergòdics en mitjana i fitats en potències
definits en H(B), Hb(B) i H∞(B); tractant també el cas particular en que B és la bola
d’un espai de Hilbert. En el Capítol 4 estudiem la compacitat d’operadors de composi-
ció ponderats definits en H∞(B), així com també la fitació, reflexivitat, quan és Montel
i la compacitat (feble) en Hb(B). Finalment, en el Capítol 5 obtenim resultats sobre
la fitació en potències i ergodicitat en mitjana d’operadors de composició ponderats
actuant en H(B), Hb(B) i H∞(B); així com també sobre compacitat i ergodicitat en
mitjana de l’operador de multiplicació. / [EN] The main aim in this thesis is to study different properties (mostly ergodic) of compo-
sition and weighted composition operators acting on spaces of holomorphic functions
defined on an infinite dimensional complex Banach space.
Let X be a Banach space and U some open subset. Given a mapping φ : U → U
the action f 7 → Cφ ( f ) = f ◦ φ defines an operator, called composition operator (and
φ is called the symbol of the operator). We consider this operator acting on different
spaces of functions. The general philosophy is to try to characterise in each case the
properties of our interest in terms of conditions on φ. Also, given ψ: U → C the
multiplication operator is defined as Mψ( f ) = ψ· f and (with φ as above), the weighted
composition operator as Cψ,φ ( f ) = ψ · ( f ◦ φ) (here ψ is called the weight or multiplier
of the operator). Again, the idea is to describe properties of these operators in terms
of conditions on ψ and/or φ. Clearly Cψ,φ = Mψ ◦ Cφ , and taking φ = idU (the identity
on U) or ψ ≡ 1 (the constant function 1) we recover Mψ and Cφ .
We denote the open unit ball of X by B. The space of all holomorphic functions
f : B → C is denoted by H(B). We write Hb(B) for the space holomorphic functions of
bounded type on B, and H∞(B) for the space of bounded holomorphic functions on
B. We are going to consider composition and weighted composition operators defined
on each one of these spaces (taking then U = B in the definition). We also consider
composition operators defined on the vector space of all continuous m-homogeneous
polynomials on X (which is denoted by P (m X )). In this case we take U = X .
The thesis consists of 5 chapters. In Chapter 1 we introduce definitions and ba-
sic results, needed to make the text self-contained. In Chapter 2 we deal with mean
ergodic and power bounded composition operators defined on P (m X ). In Chapter 3
we study mean ergodic and power bounded composition operators defined on H(B),
Hb(B) and H∞(B); considering also the particular case when B is the ball of a Hilbert
space. In Chapter 4 we study compactness of weighted composition operators defined
on H∞(B), as well as boundedness, reflexivity, being Montel and (weak) compactness
on Hb(B). Finally, in Chapter 5 we obtain different results about power bounded-
ness and mean ergodicity of weighted composition operators acting on H(B), Hb(B)
and H∞(B), as well as about compactness and mean ergodicity of the multiplication
operator. / Santacreu Ferra, D. (2022). Composition Operators on Classes of Holomorphic Functions on Banach Spaces [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/185235 / TESIS
| Identifer | oai:union.ndltd.org:upv.es/oai:riunet.upv.es:10251/185235 |
| Date | 05 September 2022 |
| Creators | Santacreu Ferra, Daniel |
| Contributors | Jornet Casanova, David, Sevilla Peris, Pablo, Universitat Politècnica de València. Departamento de Matemática Aplicada - Departament de Matemàtica Aplicada |
| Publisher | Universitat Politècnica de València |
| Source Sets | Universitat Politècnica de València |
| Language | English |
| Detected Language | Spanish |
| Type | info:eu-repo/semantics/doctoralThesis, info:eu-repo/semantics/acceptedVersion |
| Rights | http://rightsstatements.org/vocab/InC/1.0/, info:eu-repo/semantics/openAccess |
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