[pt] Seja S uma superfície fechada orientável, de gênero > 2 e sem pontos conjugados. Seja F uma folheação no fibrado tangente unitário de S, de codimensão 1, invariante pelo fluxo geodésico e de classe C2. Então, a curvatura de S é constante < 0. A demonstração é conseqüência dos dois seguintes resultados, que têm interesse por si mesmos. O primeiro é que se T1S admite uma folheação contínua de codimensão 1 por folhas C1 invariantes pelo fluxo geodésico então a superfície não tem pontos conjugados e a folheação coincide com a folheação centro-estável ou com a centro-instável. O segundo resultado é o seguinte. Seja S uma superfície fechada orientável, de gênero > 2 e sem pontos conjugados. Então, a folheação centro-estável Fcs de T1S é conjugada à folheação centro-estável da métrica hiperbólica em S. Esta conjugação é da mesma classe de diferenciabilidade de Fcs . Portanto, se Fcs é de classe C2, uma extensão da teoria de Godbillon-Vey implica que a curvatura da superfície é constante negativa. / [en] Lets be a orientable closed surface with no conjugate points. Let F be a foliation in the unitary tangent fiber bundle of S, of codimension 1, invariant by the geodesic flow and of class C2. Then, the curvature of S is constant < 0 . The demonstration is a consequence of the two following results, which are of interest by themselves. The first one is that if T1S admits a continuous foliation of codimension 1 by leaves C1 invariants by the geodesic flow, then the surface is with no conjugate points, and the foliation coincides with either the center stable foliation or the center unstable foliation. The second result is the following. Let S be a orientable closed surface of genus > 2 and with no conjugate points. Then, the center unstable foliation Fcs of T1S is conjugate to the center stable foliation of the hyperbolic metric in S. This conjugation is of the same class of differentiability of Fcs. Therefore, if Fcs is of class C2, an extension of the Godbillon-Vey theory implies that the curvature of the surface is constant negative.

O objetivo central desta dissertação é apresentar as folheações infinitesimalmente polares, fornecendo uma demonstração para o teorema que as caracteriza. Seguimos a abordagem original encontrada em Lytchak e Thorbergsson [25], de 2010. Diretamente da definição e do teorema principal obtem-se dois exemplos: folheações polares e folheações riemannianas singulares de codimensão 1 ou 2. Dedicamos especial atenção a um terceiro exemplo: folheações sem pontos horizontalmente conjugados. A demonstração deste resultado utiliza resultados obtidos anteriormente pelos mesmos autores em 2007, Lytchak e Thorbergsson [24]. Abordamos também, brevemente, as implicações do teorema caracterizador (que é um resultado local) sobre o quociente global de uma folheação infinitesimalmente polar. Variedades com folheações infinitesimalmente polares podem ser encaradas como um objeto que apresenta aspectos clássicos do teorema do toro maximal para grupos de Lie compactos, em um contexto mais amplo. / The present work aims at introducing infinitesimally polar foliations -- as defined by Lytchak and Thorbergsson [25] -- providing a proof for the classification theorem. Polar foliations and low codimension singular Riemannian foliations are two immediate examples. A third example is given by foliations without horizontally conjugate points. The proof of this assertion relies on previous results established by the same authors in Lytchak and Thorbergsson [24]. The classification theorem for infinitesimally polar foliations is a local result; we also derive from it some global consequences on the quotient space of such foliations. Infinitesimally polar foliations may be regarded as a generalised setting where one can find characteristic features from the maximal torus theorem for compact Lie groups.

O objetivo central desta dissertação é apresentar as folheações infinitesimalmente polares, fornecendo uma demonstração para o teorema que as caracteriza. Seguimos a abordagem original encontrada em Lytchak e Thorbergsson [25], de 2010. Diretamente da definição e do teorema principal obtem-se dois exemplos: folheações polares e folheações riemannianas singulares de codimensão 1 ou 2. Dedicamos especial atenção a um terceiro exemplo: folheações sem pontos horizontalmente conjugados. A demonstração deste resultado utiliza resultados obtidos anteriormente pelos mesmos autores em 2007, Lytchak e Thorbergsson [24]. Abordamos também, brevemente, as implicações do teorema caracterizador (que é um resultado local) sobre o quociente global de uma folheação infinitesimalmente polar. Variedades com folheações infinitesimalmente polares podem ser encaradas como um objeto que apresenta aspectos clássicos do teorema do toro maximal para grupos de Lie compactos, em um contexto mais amplo. / The present work aims at introducing infinitesimally polar foliations -- as defined by Lytchak and Thorbergsson [25] -- providing a proof for the classification theorem. Polar foliations and low codimension singular Riemannian foliations are two immediate examples. A third example is given by foliations without horizontally conjugate points. The proof of this assertion relies on previous results established by the same authors in Lytchak and Thorbergsson [24]. The classification theorem for infinitesimally polar foliations is a local result; we also derive from it some global consequences on the quotient space of such foliations. Infinitesimally polar foliations may be regarded as a generalised setting where one can find characteristic features from the maximal torus theorem for compact Lie groups.

[pt] Segundo a teoria desenvolvida por Kolmogorov, Arnold e Moser na década de sessenta, a grande maioria dos toros invariantes persistem após uma perturbação C3 de um Hamiltoniano integrável. Uma pergunta natural é se perturbações em topologias Ck, para k < 3, ainda preservam tais toros. Bangert mostrou que a situação é a oposta na topologia C1 : arbitrariamente próximo de uma métrica Riemanniana plana no toro existem métricas sem nenhum toro invariante. Ruggiero estendeu esses resultados para Lagrangeanos mecânicos no toro e mostrou que, no caso de métricas Riemannianas, esse fenômeno é C1 genérico. Neste trabalho, mostramos que, dado ǫ > 0, E 2 R e um Hamiltoniano de Tonelli reversível H : TT2 -> R, existe β E (0, 1) e uma ǫ perturbação H0 de H tal que H0 não possui gráficos contínuos invariantes. Para tal, construimos explicitamente uma métrica Finsler, sem nenhum campo contínuo de minimizantes, através de um estudo analítico do operador de Jacobi. / [en] According to the theory developed by Kolmogorov, Arnold and Moser in the sixties, the majority of invariant tori persists under a C3 perturbation of a integrable Hamiltonian. A natural question is if a perturbation in the Ck topology, k < 3, still preserves such tori. Bangert showed that, in the C1 topology, what happens is the opposite: there are metrics with no invariant torus arbitrarily close to any given Riemannian metric. Ruggiero extended these results to mechanical Lagrangians in the torus and showed that for Riemannian metrics this phenomenon is C1 generic. In this work, we show that, given e > 0, e 2 R and a reversible Tonelli Hamiltonian H : TT2 -> R, there exists β E (0, 1) and an ǫ perturbation H0 of H in the C1,β topology such that H0 has no continuous invariant graphs. The result is achieved by explicitly exhibiting a Finsler metric, without any continuous field of minimizers, constructed after an analytic study of the Jacobi operator.

[pt] Nesta tese, estudamos algumas propriedades dinâmicas e geométricas do fluxo geodésico de certas variedades compactas sem pontos conjugados. A tese tem duas partes principais. Primeiro estendemos o trabalho de Gelfert-Ruggiero sobre a existência de um fator expansivo para o fluxo geodésico ao caso de superfícies compactas sem pontos conjugados e gênero maior que um. A idéia principal é definir uma relação de equivalência que colapsa as órbitas bi-asintóticas do fluxo geodésico. Isto induz um fator que preserva o tempo e é semi-conjugado ao fluxo geodésico sob o mapa do quociente. Além disso, o fator é expansivo, topologicamente misto e tem uma estrutura de produto local. Estas propriedades implicam que o fator tem uma única medida de máxima entropia. Levantamos esta medida para o fibrado tangente unitário e nos certificamos de que é a única medida de máxima entropia para o fluxo geodésico. Isto fornece uma prova alternativa do teorema de Climenhaga-Knieper-War para o resultado de unicidade. Na última parte da tese, estendemos alguns resultados de Gelfert e Ruggiero de superfícies compactas do gênero superior e sem pontos conjugados para n-variedades compactas sem pontos conjugados e recobrimento universal Gromov hiperbólico. Assumindo que os fibrados de Green são contínuos e a existência de uma geodésica fechada hiperbólica, mostramos que os fibrados de Green são tangentes às foliações horósfericas. Além disso, as foliações horósfericas são as únicas foliações contínuas do fibrado tangente unitário, invariantes pelo fluxo geodésico e que satisfazem uma condição de transversalidade local. Este fato só foi conhecido para superfícies compactas sem pontos conjugados pelo trabalho de Barbosa-Ruggiero, e em dimensões mais elevadas assumindo a condição mais forte de assíntota limitada pelo trabalho de Eschenburg. / [en] In this thesis, we study some dynamical and geometrical properties of the geodesic flow of certain compact manifolds without conjugate points. The thesis has two main parts. We first extend Gelfert-Ruggiero s work about the existence of an expansive factor for the geodesic flow to the case of compact surfaces without conjugate points and genus greater than one. The main idea is to define an equivalence relation that collapses biasymptotic orbits of the geodesic flow. This induces a factor time-preserving semi-conjugate to the geodesic flow under the quotient map. Moreover, the factor is expansive, topologically mixing and has a local product structure. These properties imply that the factor has a unique measure of maximal entropy. We lift this measure to the unit tangent bundle and make sure that it is the unique measure of maximal entropy for the geodesic flow. This provides an alternative proof of Climenhaga-Knieper-War’s theorem for the uniqueness result. In the last part of the thesis, we extend some results of Gelfert and Ruggiero from compact higher genus surfaces without conjugate points to compact n-manifolds without conjugate points and Gromov hyperbolic universal covering. Assuming that Green bundles are continuous and the existence of a hyperbolic closed geodesic, we show that Green bundles are tangent to the horospherical foliations. Moreover, the horospherical foliations are the only continuous foliations of the unit tangent bundle, invariant by the geodesic flow and satisfying a condition of local transversality. This fact was only known for compact surfaces without conjugate points by Barbosa-Ruggiero s work, and in higher dimensions assuming the stronger condition of bounded asymptote by Eschenburg s work.