Το περίφημο Ευκλείδειο Αίτημα (5ο αίτημα), όπως διατυπώνεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, απασχόλησε τον μαθηματικό κόσμο για περίπου 2000 χρόνια. Ξεκινώντας λοιπόν από το βιβλίο που αποτέλεσε ορόσημο για τη μαθηματική σκέψη, αναφερόμαστε σε ορισμένες αδυναμίες (κυρίως στο βαθμό αυστηρότητας) που έχουν επισημάνει σε αυτό οι κριτικοί και στεκόμαστε στο εξής γεγονός: Ο Ευκλείδης δεν έδωσε αποδείξεις για ορισμένες ιδέες και δηλώσεις του. Επειδή όμως αυτές οι δηλώσεις ήταν απαραίτητες για τις περαιτέρω μελέτες του τις έθεσε ως αληθινές. Η ιδέα ότι ορισμένες προτάσεις, μέσα στο πλαίσιο μιας θεωρίας, θα πρέπει να λαμβάνονται ως αληθινές χωρίς απόδειξη, είναι πολύ αρχαιότερη του Ευκλείδη. Ήδη ο Αριστοτέλης είχε εκθέσει στα «Αναλυτικά» του, μια θεωρητική επεξεργασία αυτής της αναγκαιότητας. Ο Ευκλείδης ακολουθεί την παγιωμένη αυτή τακτική προτάσσοντας τα πέντε αιτήματά του στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του. Πολλές προσπάθειες απόδειξης του 5ου αιτήματος έγιναν από σεβαστό αριθμό μαθηματικών. Όμως η εμφάνιση απόδειξης στο πρόβλημα δεν φαινόταν να «επιθυμεί» να έρθει στο φως. Έτσι, και ενώ είχε περάσει ένα αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, τελικά μέσα από την άρνηση του ίδιου του 5ου αιτήματος ήρθαν στο προσκήνιο οι Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες. Η άρνηση του 5ου αιτήματος οδήγησε στην άποψη πως είναι δυνατή η ύπαρξη μίας Γεωμετρίας ανεξάρτητης από το 5ο αίτημα θέτοντας έτσι τη βάση για την ανάπτυξη μίας νέας λογικά συνεπούς θεωρίας, η οποία έμελε να εκφράζει πιο πιστά αυτό που πράγματι συμβαίνει γενικά στη φύση και όχι σε μια ειδική περιοχή της . Σε πρώτο στάδιο, για να παρουσιάσουμε μία πλήρη ιστορική αναδρομή, χρησιμοποιούμε ως "σημείο εκκίνησης" τα χρόνια που προηγήθηκαν της συγγραφής των Στοιχείων. Μέσω αυτής της αναδρομής στόχος μας είναι να αναδειχθούν τόσο η φύση, όσο και ο σημαντικός ρόλος του Ευκλείδειου αιτήματος στη μαθηματική εξέλιξη. Στην καταγραφή αυτή, είναι δυνατό να συναντήσει κανείς πληροφορίες για το κλίμα που ευνόησε τη συγγραφή των Στοιχείων, ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του συγγραφέα τους, αλλά και του ίδιου του έργου, μέσα από μία γενική θεώρηση που στόχο έχει πάντα την βαθύτερη κατανόηση του 5ου αιτήματος. Στη συνέχεια και έχοντας εξετάσει εν συντομία τα ιδιαίτερα αλλά και τα βασικά χαρακτηριστικά των Στοιχείων και του συγγραφέα τους μεταβαίνουμε στο βασικό θέμα της εργασίας. Πρόκειται, αρχικά, για την έκθεση των πέντε αιτημάτων, ενώ ακολουθεί η εκτενής παρουσίαση του 5ου αιτήματος. Βασικό αντικείμενο μελέτης μας σε αυτό το στάδιο είναι οι διαφορετικές διατυπώσεις που χρησιμοποιήθηκαν για να καταγραφεί το ίδιο ακριβώς θέμα, καθώς επίσης και οι ποικίλες προσπάθειες απόδειξής του. Παρουσιάζουμε ορισμένες από τις βασικότερες αποδείξεις του 5ου αιτήματος, τα δυνατά σημεία τους αλλά και τις αδυναμίες/ σφάλματα που επισημάνθηκαν από τους μελετητές. Το δέκατο ένατο αιώνα, οι μαθηματικοί άλλαξαν τακτική και επιχείρησαν να δείξουν ότι το 5ο αίτημα έπεται από τα άλλα τέσσερα: για να το κάνουν αυτό, πήραν τα τέσσερα αξιώματα και την άρνηση του 5ου και προσπάθησαν να εντοπίσουν τυχόν αντιφάσεις. Μόνο που αντί για αντιφάσεις, ανακάλυψαν μια καινούρια, διαφορετική, εσωτερικά συνεπή γεωμετρία. Το βασικότερο βήμα προς την ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών έγινε με την άρνηση του 5ου αιτήματος. Η καινούρια ιδέα που ήρθε στο προσκήνιο πρότεινε ουσιαστικά την αντικατάσταση του 5ου αιτήματος από την άρνησή του. Επομένως, εάν επιχειρούσαμε να καταγράψουμε το περιεχόμενο της εργασίας συνοπτικά θα καταλήγαμε στα εξής: Πρόκειται για μία ιστορική αναδρομή που έχει βασικό της θέμα, αρχικά την παρουσίαση του Ευκλείδειου αιτήματος, έπειτα τις προσπάθειες απόδειξής του και τέλος την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών μέσω της άρνησής του. / --

[pt] A dissertação em tela foi desenvolvida com o intuito de proporcionar ao professor de matemática uma introdução ao estudo das Geometrias Não Euclidianas, um assunto carente em nossas salas de aulas tanto do Ensino Básico como das Licenciaturas em Matemática. Em consonância com os Parâmetros Curriculares Nacionais, são historicamente construídos os conhecimentos matemáticos apresentados para discutir o Quinto Postulado dos Elementos de Euclides e para apresentar a descoberta de novas geometrias. Para ser apresentada de forma mais detalhada, foi escolhida uma Geometria Não Euclidiana que pode ser facilmente entendida e contextualizada por alunos do Ensino Médio: a Geometria do Táxi. Tal geometria, além de possibilitar ligações com outros conteúdos do Ensino Básico também é um modelo para a geografia urbana, oferecendo ao alunado a possibilidade de interação com questões motivadoras, interdisciplinares e próximas do seu cotidiano. É apresentada uma sugestão de dinâmica que compara os conceitos das distâncias euclidiana e do táxi além de discutir a definição de circunferência e sua representação tanto na Geometria Euclidiana como na Geometria do Táxi. Além disso, alguns resultados da aplicação da referida dinâmica em turmas do 3o. ano do Ensino Médio do C.E. Professor Ney Cidade Palmeiro, localizado na cidade de Itaguaí no Rio de Janeiro, também são relatados. Pretende-se que este trabalho seja mais uma contribuição para o aprimoramento da formação continuada dos professores das escolas de ensino básico no país. / [en] The present dissertation was developed with the intention of providing the mathematics teacher an introduction to the study of Non Euclidean Geometry, one lacking subject in our classrooms as much as the basic education and undergraduate mathematics. In line with the National Curriculum Parameters, mathematical knowledge presented to discuss the Fifth Postulate of Euclid s Elements, and to present the discovery of new geometries are historically constructed. To be presented in more details, we choose a non Euclidean Geometry that can be easily understood and contextualized by high school students: the Taxicab Geometry. This geometry, in addition to allowing connections with other content of basic education, such geometry is a model for urban geography, offering the pupils the opportunity to their everyday issues. A suggested activity to be developed in the classroom by students who compares the concepts of taxi distance and euclidean distance and besides discussing the definition of a circle and its representation in both Euclidean Geometry as in the Taxi appears. Futhermore, some results of implementing this activity in class 3rd. year of high school the Colégio Estadual Professor Ney Cidade Palmeiro, located in Itaguaí in Rio de Janeiro, are also reported. It is intended that this work is a futher contribuition to the improvement of continuing education of teachers of primary schools in the country.