The analysis of large disordered complex networks has recently received enormous attention motivated by both academic and commercial interest. The most important results in this discipline have come from the analysis of stochastic models which mimic the growth and evolution of real networks as they change over time. The purpose of this thesis is to introduce various novel processes which dictate the development of a network on a small scale, and use techniques learned from statistical physics to derive the dynamical and structural properties of the network on the macroscopic scale. We introduce each model as a set of mechanisms determining how a network changes over a small period in time, from these rules we derive several topological properties of the network after many iterations, most notably the degree distribution. 1. In the rst mechanism, nodes are introduced and linked to older nodes in the network in such a way as to create triangles and maintain a high level of clustering. The mechanism resembles the growth of a citation network and we demonstrate analytically that the mechanism introduced su ces to explain the power-law form commonly found in citation distributions. 2. The second mechanism involves edge rewiring processes - detaching one end of an edge and reattaching it, either to a random node anywhere in the network or to one selected locally. 3. We analyse a variety of processes based around a novel fragmentation mechanism. 4. The nal model concerns the problem of nding the electrical resistance across a network. The network grows as a random tree, as it grows the distribution of resistance converges towards a steady state solution. We nd an application of the relatively recent concept of a random Fibonacci sequence in deriving the rate of convergence of the mean.

In this thesis I study a model of self propelled particles exhibiting run-and tumble dynamics on lattice. This non-Brownian diffusion is characterised by a random walk with a finite persistence length between changes of direction, and is inspired by the motion of bacteria such as Escherichia coli. By defining a class of models with multiple species of particle and transmutation between species we can recreate such dynamics. These models admit exact analytical results whilst also forming a counterpart to previous continuum models of run-and- tumble dynamics. I solve the externally driven non-interacting and zero-range versions of the model exactly and utilise a field theoretic approach to derive the continuum fluctuating hydrodynamics for more general interactions. I make contact with prior approaches to run-and-tumble dynamics of lattice and determine the steady state and linear stability for a class of crowding interactions, where the jump rate decreases as density increases. In addition to its interest from the perspective of nonequilibrium statistical mechanics, this lattice model constitutes an efficient tool to simulate a class of interacting run-and-tumble models relevant to bacterial motion. Pattern formation in bacterial colonies is confirmed to be able to stem solely from the interplay between a diffusivity that depends on the local bacterial density and regulated division of the cells, in particular without the need for any explicit chemotaxis. This simple and generic mechanism thus provides a null hypothesis for pattern formation in bacterial colonies which has to be falsified before appealing to more elaborate alternatives. Most of the literature on bacterial motility relies on models with instantaneous tumbles. As I show, however, the finite tumble duration can play a major role in the patterning process. Finally a connection is made to some real experimental results and the population ecology of multiple species of bacteria competing for the same resources is considered.

Procuramos neste trabalho investigar um modelo de uma sociedade em que agentes aprendem de seu vizinhos sociais. Buscando inspiração no paradigma de redes neurais, construímos uma analogia entre o modelo e o julgamento moral. Usando dados de questionários on-line obtidos alhures, apresentamos uma análise estatística de dados de sujeitos humanos. A partir destes dados estudamos o modelo, encontrando uma transição de fase entre um estado ordenado e um desordenado, dependente de um parâmetro análogo ao inverso da temperatura beta que denominamos peer pressure e de um parâmetro de controle delta associado ao comportamento dos agentes. Ao compararmos histogramas obtidos do modelo com histogramas dos dados de questionários observamos uma semelhança surpreendente entre os dois. Para determinar o diagrama de fases do modelo, usamos métodos de Monte Carlo e uma aproximação de campo médio usando métodos de máxima entropia. Estudamos também a suscetibilidade do sistema a perturbações no ambiente de discussão e encontramos um decaimento exponencial da distância entre o estado perturbado e o de equilíbrio, com um mínimo no tempo característico de adaptação para um certo valor de delta. / In this work we seek to investigate a model of a society in which agents learn from their social neighbours. Seeking inspiration in the neural network paradigm, we build an analogy between the model and moral judgement. Using data from online questionaries obtained elsewhere, we present a statistical analysis of human data. Starting from these we study the model, finding a phase transition between an ordered and a disordered state, dependent on a parameter akin to the inverse temperature beta that we denominate peer pressure and a control parameter delta associated to the agents\' behavior. Comparing the histograms obtained with the model and histograms obtained from the data we observed a surprising simlarity between the two. To determine the phase diagram of the model we use Monte Carlo methods and a mean-field approximation using maximum entropy methods. We also study the susceptibility of the system to perturbations in the environment and find an exponential decay in the distance between the perturbated and equilibrium states, with a minimum of the characteristic time of adaptation for a given value of delta.

Resultados exatos são estabelecidos em dois trabalhos distintos. O primeiro tema é uma análise da dinâmica de Langevin para um modelo esférico médio com interações competitivas, investigando fenômenos de não equilíbrio como \"aging\" e violação do teorema flutuação-dissipação. O segundo trabalho é uma contribuição ao diagrama de fases do estado fundamental de um ferromagneto diluído e sujeito a um campo externo aleatório regido por uma distribuição bimodal; uma abordagem analítica, embora parcial, indica uma estabilidade da solução réplica-simétrica. / Exact results are established for two distinct works. The first of them is an analysis of Langevin dynamics for a mean spherical model with competiting interactions, searching for non-equilibrium phenomena as aging and the violation of the fluctuation-dissipation theorem. The second work is a contribution to the ground state\'s phase diagram of a diluted ferromagnet under a random external field obeying a bimodal distribution; an analytic study, although partial, indicates a stability of the replica-symmetric solution.

Num sentido geral, qualquer sistema (natural ou artificial) que incorpore informação contida numa amostragem de dados realiza aprendizagem. Dado um conjunto D de amostras que carrega informação sobre sua fonte geradora, existem diferentes medidas para quantificar a aprendizagem sobre ela e, portanto, uma boa representação de tal fonte. Contudo, não estamos interessados numa aprendizagem que apenas torne possível a reprodução de D por um sistema aprendiz, mas principalmente numa que torne possível a geração de novos dados condizentes com a fonte geradora. Portanto, uma vez fixado um sistema (máquina ou algoritmo), aprender significa encontrar um estado do sistema aprendiz que generalize a fonte geradora de D. Em Mecânica Estatística as informações relevantes sobre os estados de qualquer sistema estão contidas em sua função de partição Z. Logo, a inferência de qualquer variável ê obtida tratando-se Z, de forma que o seu conhecimento (cálculo) representa o conhecimento dos estados do sistema, ou seja, do próprio sistema. Num problema de aprendizagem bayesiana a função de partição é representada pela distribuição posterior a D (que já tenha incorporado as informações dos exemplos), P(|D), obtida por meio da regra de Bayes P(A, B) = P(A/B)P(B). Embora a abordagem bayesiana se enquadre originalmente em modelos da Mecânica Estatística em equilíbrio, sua utilização tem sido promissora também em cenários que podem ser interpretados como modelos de mecânica estatística fora do equilíbrio termodinâmico, sendo a aprendizagem de conceitos que mudam no decorrer do processo de aprendizagem um desses problemas que têm atraído bastante atenção. O principal objetivo desta tese foi o estudo da aprendizagem bayesiana quando além do acesso ao conjunto D temos também a informação de que a fonte geradora de D é não-estacionária, introduzindo assim tempo num problema que de outra forma seria classificado como em equilíbrio. Em particular, estudamos a aprendizagem de conceitos com várias formas de dependência temporal por redes neurais (mais especificadamente, perceptrons), para a qual não é necessário modificar a verossimilhança do modelo. Assim nos concentramos na modificação do conhecimento a priori de forma a refletir a possibilidade de envelhecimento dos dados, numa escala de tempo desconhecida. Ao introduzirmos uma distribuição de probabilidades priori para essa escala de tempo, nós encontramos uma distribuição posterior efetiva com uma cauda de decaimento algébrico que resultou num novo algoritmo com uma capacidade de adaptação satisfatória. Também aplicamos esse novo algoritmo na aprendizagem com ruído e discutimos algumas novas possibilidades sobre algoritmos para perceptrons. / In a general sense, any system which incorporates knowledge from sample data can be called a learning machine (natural or artificial). Given a set D of samples which carries information about a rule, there are different measures of how much a system has learnt about the rule and therefore comprises a good representation of its. We are not only interested in learning that can reproduce D, but also generate new consistent data. Therefore, once fixed a system (a machine or an algorithm), to learn means to find a state of the system that generalizes the source rule of D. We looked at Bayesian formulations of the learning problem, which is a formalism identical to Statistical Mechanics. Relevant knowledge about a given system is encoded in a partition function Z. Then, any inference can be made by treating Z, and if we know Z we know the system\'s properties. The function Z is the posterior distribution P(|D) in the Bayesian approach, calculated by the Bayes\' rule P(A, B) = P(A/B)P(B). Although the Bayesian theory is naturally paralleled in equilibrium Statistical Mechanics, it holds the promise of leading to results in problems that can be classified as non-equilibrium. One of this problems that has been the subject of increasing attention is that of learning non-stationary concepts The aim of this thesis was to study Bayesian learning when in addition to the knowledge to the data set D we have the information that the rule which gave rise to the samples is non-stationary, thereby introducing time into what would otherwise, have been an equilibrium problem. ln particular we studied learning of several forms of time dependent concepts by neural networks (more specifically, perceptrons), for which there is no need to change the likelihood. We concentrated on changing the prior knowledge in a way that reflects the aging possibility of the data on an unknown time scale. By introducing a prior probability distribution for the time scale, we found a effective posterior distribution with an algebraic decaying tail, which resulted in a new algorithm that was able to adapt satisfactory. We also applied the new algorithm to the learning with noise data and discussed some new possibilities about algorithms for perceptrons.

Apresentamos um estudo das propriedades de equilíbrio de modelos de rede para solução simples, e de anfifílicas de cauda única e de cauda dupla, a concentração constante e em rede bidimensional. Para estudar estes modelos, desenvolvemos algoritmos e programas de simulação baseados no método de Monte Carlo. Discutimos a questão da ergodicidade e do balanço detalhado na construção dos algoritmos de simulação. Mostramos como a termalização, o cálculo da função de correlação temporal e do calor específico são delicados nas simulações dos modelos de anfifílicas. Obtivemos médias termodinâmicas de diferentes variáveis para todos o diagrama de fases Concentração x Temperatura do modelo de solução de rede de misturas simples, que foram comparadas com os resultados do modelos de anfifílicas. Verificamos que os modelos de anfifílicas apresentam curvas de calor específico alargadas em temperaturas em torno da região do máximo. Esta região alargada, que não existe no modelo de solução de rede de misturas simples, corresponde à fase micelar. Construímos, para o anfifílica de cauda simples, o diagrama de fases Concenmtração x Temperatura, para baixas concentrações, identificando as fases sólida hidratada, micelar e homogênea utilizando critérios derivados de estudos experimentais e teóricos. Este diagrama de fases apresenta uma boa concordância qualitativa com resultados experimentais. Por fim , observamos que as estrutura de agregados dos modelos de detergentes e lipídios não apresentam diferenças de forma e, além disso, apresentam as mesmas fases nas regiões de temperatura correspondentes. / We present a detailed study of the equilibrium properties of square lattice models for solutions of simple molecules, and of single and double tail amphiphiles, at constant concentration. In order to study these models we have developed simulation algorithms and computer programs based on the Monte Carlo method. Ergodicity and detailed balance conditions are discussed. We show that thermal equilibration, and calculations of time correlation functions and of specific heat are a delicate question in model amphiphilic systems. For the simple mixture lattice solution, thermodynamic averages for different equilibrium properties of the system were obtained for the whole Concentration x Temperature phase diagram. The equivalent properties for the amphiphilic systems were measured and compared. Specific heat as a function of temperature presents a broad maximum which does not exist in the case of simple solutions, and can be associated with the micelar phase. We have constructed, for the single tail model, the Concentration x Temperature phase diagram, for low concentrations, in which we identify a hydrated solid, a micelar and a homogeneous phase, using criteria from experimental and theoretical studies. The model phase diagram presents good qualitative agreement with experimental results. Finally, we present evidence that both models, detergent and model phospholipid solutions systems, studied present the same forms for the aggregated structures for either detergent or lipids models are not different and, besides that, they present the same phases in the corresponding temperature region.

Desenvolvemos no presente trabalho um tratamento perturbativo para a matriz densidade reduzida de forma similar à regra áurea de Fermi para espalhamento. Aplicamos a teoria a vários exemplos e em particular reproduzimos os resultados experimentais obtidos no laboratório Kastler Brossel e obtivemos uma relação entre os tempos característicos de dissipação e decoerência. Por outro lado, desenvolvemos um modelo simples para duas moléculas interagindo com um reservatório. Mostramos resultados surpreendentes quando temos mais que dois subsistemas interagindo: no caso particular em que as moléculas estão num estado inicial coerente, bombardeadas por fontes de mesma intensidade, o estado assintótico apresenta urna concentração de energia no modo de menor frequência. Este resultado dá suporte a um modelo fenomenológico de sistemas biológicos onde a condensação de Bose- Einstein é produzida e o estado final também exibe uma concentração de energia no modo de frequência mais baixa. / In the present work we developed a perturbative treatment of reduced density matrices which is similar in spirit to Fermi\'s Golden Rule for scattering. We applied the theory to several e- xamples and in particular reproduced the results obtained in the laboratory Kastler Brossel experiment quantifying the relation between decoherence and dissipation characteristic times. On the other hand we developed a simple model for two molecules interacting through a re- servoir. We show that rather surprising results may arise when we have more than two subsys- tems in interaction: in the particular case where both molecules are initially in coherent states, if they are pumped with the same strength, the asymptotic state shows a concentraction of energy on the mode with smallest frequency. This result gives support to a phenomenological model for biological systems where a Bose- Einstein condensation is predicted and the final state also exhibits a concentration of energy in the lowest frequency mode.

Nesta dissertação de mestrado aplicamos métodos de mecânica estatística a dois problemas relacionados à interação e evolução cultural. O primeiro diz respeito à evolução e manutenção da cooperação altruística. Apresent amos a dinâmica Fisher-Wright em dois níveis, desenvolvida em [49], descreve a evolução do comportamento altruísta através de uma estruturada em grupos com migrac;ao e, assim, contorna algumas das limitações de outros mecanismos propostos ao longo do último século. Neste trabalho, aplicamos este mecanismo ao modelo desenvolvido por Boyd, Gintis e Bowles [12], que explica a manutenção da cooperação através da punição altruística, mostrando que o processo Fisher-Wright em dois níveis permite uma abordagem mais robusta e natural, obtendo viabilidade para o altruísmo mesmo com taxas de migração significativas. 0 segundo problema descrito nesta dissertação consiste de um modelo, proposto em [16], para certos resultados quantitativos em suporte à Teoria de Fundamentos Morais obtidos por Jonathan Haidt [32]. Nestre trabalho estudamos a influencia da rede topológica nos resultados deste modelo de agentes, em particular utilizando a rede do Facebook como exemplo de rede realista. / In this dissertation we apply statistical mechanics methods to two problems involving social interaction and cultural evolution. The first problem concerns the evolution and maintenance of altruistic cooperation. We discuss the two level Fisher-Wright mecanism proposed in [49] which deals with the question of evolutionary viability of altruistic behavior in a group structured population with migration, and is capable of circumventing certain limitations of other mecanisms proposed in the last century. We use this framework to analyse Boyd, Gintis and Bowles\' model [12] for the maintenance and proliferation of cooperation through altruistic punishment, showing that the two level Fisher-Wright process allows for a more robust and natural approach, showing altruism to be viable even at significantly high migration rates. The second problem deals with a model for explaining certain quantitative data obtained by Jonathan Haidt [32] in his Moral Foundation Theory. We study the agent based interaction model proposed in [16] in a scenario where the influcence graph consists of the Facebook social network to understand the network\'s influence in the results.

Estudamos o modelo de Ising com diluição de sítios numa rede de Bethe. a estrutura hierárquica da rede de Bethe leva de forma natural às relações de recorrência satisfeitas pelas distribuições de probabilidade dos campos efetivos. As quantidades termodinâmicas na rede de Bethe são então expressas explicitamente em termos das distribuições limite dos campos efetivos. As distribuições dos campos efetivos em T=0 são obtidas de forma numericamente exata (isto é, se desprezarmos os erros de arrendodamento) e também analiticamente em alguns casos selecionados. Encontramos no caso de interações ferromagnéticas um número sempre finito de campos efetivos possíveis, mas no caso de interações antiferromagnéticas esse número pode divergir para valores irracionais do campo aplicado. Esses resultados fornecem o diagrama de fases campo aplicado versus concentração, numericamente exato, para antiferromagnetismo diluído em T=0. As distribuições dos campos efetivos são determinadas aproximadamente para T>0 e utilizadas para o cálculo de diferentes grandezas termodinâmicas. Apresentamos as curvas de magnetização, energia livre, energia interna e entropia. Esses cálculos fornecem o diagrama de fases aproximado no espaço tridimensional de campo aplicado, temperatura e concentração. / The site diluted Ising model is studied on a Beth lattice. The hierarchical structure of the Bethe lattice leads naturally to recursion relations obeyed by the probability distributions of the effective fields. The thermodynamic quantities on the Bethe lattice are then explicitly written in terms of the limiting distributions of the effective fields. Numerically exact results (i.e. if we neglect roundoff errors) for the distributions of the effective fields for T = 0 are presented, together with analytic results for select cases. It is found that the number of effective fields is always finite in the case of ferromagnetic interactions , but it might diverge for irrational values of the applied field in the case of antiferromagnetic interactions. These results yeld a numerically exact applied field versus concentration phase diagram for diluted antiferromagnet at T = 0. The distributions of the effective fields are computed aproximately for T > 0 and used to evaluete various thermodynamic quantities. Curves for the magnetization, free energy, internal energy and entropy are displayed. These calculations give an approximate three-dimensional phase diagram in the space of applied field, temperature and concentration.

A Multivalent entity, which could represent a protein, nanoparticle, polymer, virus or a lipid bilayer, has the ability to form multiple bonds to a substrate. Hence, a multivalent interaction can be strong, even if the individual bonds are weak. However, much more interestingly, multivalency enables the design of highly specific interactions using non-specific individual bonds. We attempt to rationalise multivalent effects using simple physical models complemented with numerical simulations. Based on physiochemical characteristics of multivalent binders, we aim to predict the overall strength of interaction and its sensitivity to variation in parameters. We start with a simple model of homo-multivalency, where all bonds are equivalent. Such systems can exhibit a super-selective response, which denotes the high sensitivity of the strength of multivalent binding to the number of accessible binding sites on the target surface. We present a theoretical analysis of systems of multivalent particles and show that a certain degree of disorder is necessary for super-selective behaviour. Moreover, we formulate a set of simple design rules for multivalent interactions that yield optimal selectivity. In the second stage, we expand the model to hetero-multivalency, accounting for multiple distinct types of binding partners. We consider targeting of cells based on a density profile of different membrane receptors types and demonstrate, that speci city towards a desired receptor density profile can be obtained. Hence, cells can be reliably targeted in the absence of specific markers. Crucially, we show that for optimal selectivity, individual bonds must be weak. Finally, we add information about specific geometry and positions of binding sites on the multivalent entity. We focus on molecular imprinting; the process whereby a polymer matrix is cross-linked in the presence of template molecules. The cross-linking process endows the polymer matrix with a chemical ‘memory’, such that the target molecules can subsequently be recognised by the matrix. We show how the binding multivalency and the polymer material properties affect the efficiency and selectivity of molecular imprinting.