Visualization of trivariate functions and vector fields with three components in scientific computation is still a hard problem in compute graphic area. People build their own visualization packages for their special purposes. And there exist some general-purpose packages (MatLab, Vis5D), but they all require extensive user experience on setting all the parameters in order to generate images. We present a simple package to produce simplified but productive images of 3-D vector fields. We used this method to render the magnetic field and current as solutions of the Ginzburg-Landau equations on a 3-D domain.

A dissertation submitted to the Faculty of Science, University of the Witwatersrand, Johannesburg, in fulfilment of requirements for the degree of Master of Science. Johannesburg, 2015. / The AdS/CFT correspondence asserts a duality between non-Abelian gauge theories and quantum theories of gravity, established by the value of the gauge coupling . Gerard t'Hooft found that the large N0 limit in non-Abelian Yang-Mills gauge theories results in a planar diagram simpli cation of the topological expansion. In this dissertation, SU(2) gauge theories are written in terms of vector models (making use of collective eld theory to obtain an expression for the Jacobian), a saddle point analysis is performed, and the large N limit taken. Initially this procedure is done for gauge theories dimensionally reduced on T4 and R T3, and then attempted for the full eld theory (without dimensional reduction). In each case this results in an expression for the non-perturbative propagator. A nite volume must be imposed to obtain a gap equation for the full eld theory; directives for possible solutions to this di culty are discussed.

Este trabalho consiste em um estudo sobre a propriedade de hipoeliticidade global para campos vetoriais complexos não singulares no plano. As órbitas de Sussmann de um tal campo desempenham um papel fundamental nesta análise. Mostramos que se todas as órbitas são unidimensionais o campo não é globalmente hipoelítico. Quando o campo apresenta uma órbita bidimensional e ao menos uma órbita unidimensional mergulhada também foi demonstrado que este campo não é globalmente hipoelítico. No caso em que o plano é a única órbita, define-se, como em Hounie (1982), uma determinada relação de equivalência entre pontos em que o campo deixa de ser elítico. As classes de equivalência desta relação são homeomorfas a um ponto, a um intervalo compacto ou a uma semirreta. Se todas as classes de equivalência são compactas, o campo é globalmente hipoelítico. Caso haja uma classe de equivalência fechada e homeomorfa a uma semirreta, o campo não é globalmente hipoelítico. / This work is a study about global hypoellipticity for nonsingular complex vector fields in the plane. Sussmanns orbits play a fundamental role in this analysis. We show that if all the orbits are one-dimensional then the vector field is not globally hypoelliptic. When there exist a two-dimensional orbit and an embedded one-dimensional one then the vector field is not globally hypoelliptic. In the case when the plane is the only orbit, one defines, as in Hounie (1982), a certain equivalence relation between points where the vector field is not elliptic. The equivalence classes are homeomorphic to a single point, a compact interval or a ray. If all the equivalence classes are compact then the vector field is globally hypoelliptic. If there exists an equivalence class that is closed and homeomorphic to a ray then the vector field is not globally hypoelliptic.

Seja M um conjunto compacto e conexo do plano que seja a união dos subconjuntos conexos N e S. Seja Z_L=(X_L,Y_L) uma família a um parâmetro de campos vetoriais descontínuos, onde X_L está definida em N e Y_L em S. Ambos os campos X_L e Y_L, assim como as suas dependências em L, são suaves i. e. de classe C^\\infty; a descontinuidade acontece na fronteira comum entre N e S. O objetivo deste trabalho é estudar as bifurcações que ocorrem em certas famílias de campos vetoriais descontínuos seguindo as convenções de Filippov. Aplicando o método da regularização, introduzido por Sotomayor e Teixeira e posteriormente aprofundado por Sotomayor e Machado à família de campos vetoriais descontínuos Z_L obtemos uma família de campos vetoriais suaves que é próxima da família descontínua original. Usamos esta técnica de regularização para estudar, por comparação com os resultados clássicos da teoria suave, as bifurcações que ocorrem nas famílias de campos vetoriais descontínuos. Na literatura há uma lista de bifurcações de codimensão um, no contexto de Filippov, apresentada mais completamente, no artigo de Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Alguns dos casos dessa lista já eram conhecidos por Kozlova, Filippov e Machado. Neste trabalho nos propomos a estudar as bifurcações de alguns dos casos, apresentados no artigo de Kuznetsov et. al, através do método da regularização dessas famílias. Nesta Tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As bifurcações das famílias descontínuas analisadas ficam completamente conhecidas através das bifurcações apresentadas pelas respectivas famílias regularizadas, usando recursos da teoria clássica suave. / Let M be a connected and compact set of the plane which is the union of the connected subsets N and S. Let Z_L=(X_L,Y_L) be a one-parameter family of discontinuous vector fields, where X_L is defined on N and Y_L on S. The two fields X_L, Y_L and their dependences on L are smooths, i. e., are of C^\\infty class; the discontinuity happens in the common boundary of N and S. The objective of this work is to study the bifurcations which occurs in certains families of discontinuous vector fields following the conventions of Filippov. Applying the regularization method, introduced by Sotomayor and Teixeira, to the family of discontinuous vector fields Z_L we obtain a family of regular vector fields which is close to the original family of discontinuous vector fields. In the literature there is a list of codimension one bifurcation, in the Filippov sense, presented more completely, in the article of Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Some of those cases was already known by Kozlova, Filippov and Machado. In this work we propose to study the bifurcations of some of those cases, presented in the article of Kuznetsov et. al, by the method of regularization of those families. In this thesis we justify mathematically the following conclusion: The bifurcations of the analysed discontinuous families are completelly known by the bifurcations contained in the respective regularized families, using the methods of the classical theory of regular vector fields.

Seja M um conjunto compacto e conexo do plano que seja a união dos subconjuntos conexos N e S. Seja Z_L=(X_L,Y_L) uma família a um parâmetro de campos vetoriais descontínuos, onde X_L está definida em N e Y_L em S. Ambos os campos X_L e Y_L, assim como as suas dependências em L, são suaves i. e. de classe C^\\infty; a descontinuidade acontece na fronteira comum entre N e S. O objetivo deste trabalho é estudar as bifurcações que ocorrem em certas famílias de campos vetoriais descontínuos seguindo as convenções de Filippov. Aplicando o método da regularização, introduzido por Sotomayor e Teixeira e posteriormente aprofundado por Sotomayor e Machado à família de campos vetoriais descontínuos Z_L obtemos uma família de campos vetoriais suaves que é próxima da família descontínua original. Usamos esta técnica de regularização para estudar, por comparação com os resultados clássicos da teoria suave, as bifurcações que ocorrem nas famílias de campos vetoriais descontínuos. Na literatura há uma lista de bifurcações de codimensão um, no contexto de Filippov, apresentada mais completamente, no artigo de Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Alguns dos casos dessa lista já eram conhecidos por Kozlova, Filippov e Machado. Neste trabalho nos propomos a estudar as bifurcações de alguns dos casos, apresentados no artigo de Kuznetsov et. al, através do método da regularização dessas famílias. Nesta Tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As bifurcações das famílias descontínuas analisadas ficam completamente conhecidas através das bifurcações apresentadas pelas respectivas famílias regularizadas, usando recursos da teoria clássica suave. / Let M be a connected and compact set of the plane which is the union of the connected subsets N and S. Let Z_L=(X_L,Y_L) be a one-parameter family of discontinuous vector fields, where X_L is defined on N and Y_L on S. The two fields X_L, Y_L and their dependences on L are smooths, i. e., are of C^\\infty class; the discontinuity happens in the common boundary of N and S. The objective of this work is to study the bifurcations which occurs in certains families of discontinuous vector fields following the conventions of Filippov. Applying the regularization method, introduced by Sotomayor and Teixeira, to the family of discontinuous vector fields Z_L we obtain a family of regular vector fields which is close to the original family of discontinuous vector fields. In the literature there is a list of codimension one bifurcation, in the Filippov sense, presented more completely, in the article of Yu. A. Kuznetsov, A. Gragnani e S. Rinaldi, One-Parameter Bifurcations in Planar Filippov Systems, Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 8: 2157--2188, (2003). Some of those cases was already known by Kozlova, Filippov and Machado. In this work we propose to study the bifurcations of some of those cases, presented in the article of Kuznetsov et. al, by the method of regularization of those families. In this thesis we justify mathematically the following conclusion: The bifurcations of the analysed discontinuous families are completelly known by the bifurcations contained in the respective regularized families, using the methods of the classical theory of regular vector fields.

Este trabalho consiste em um estudo sobre a propriedade de hipoeliticidade global para campos vetoriais complexos não singulares no plano. As órbitas de Sussmann de um tal campo desempenham um papel fundamental nesta análise. Mostramos que se todas as órbitas são unidimensionais o campo não é globalmente hipoelítico. Quando o campo apresenta uma órbita bidimensional e ao menos uma órbita unidimensional mergulhada também foi demonstrado que este campo não é globalmente hipoelítico. No caso em que o plano é a única órbita, define-se, como em Hounie (1982), uma determinada relação de equivalência entre pontos em que o campo deixa de ser elítico. As classes de equivalência desta relação são homeomorfas a um ponto, a um intervalo compacto ou a uma semirreta. Se todas as classes de equivalência são compactas, o campo é globalmente hipoelítico. Caso haja uma classe de equivalência fechada e homeomorfa a uma semirreta, o campo não é globalmente hipoelítico. / This work is a study about global hypoellipticity for nonsingular complex vector fields in the plane. Sussmanns orbits play a fundamental role in this analysis. We show that if all the orbits are one-dimensional then the vector field is not globally hypoelliptic. When there exist a two-dimensional orbit and an embedded one-dimensional one then the vector field is not globally hypoelliptic. In the case when the plane is the only orbit, one defines, as in Hounie (1982), a certain equivalence relation between points where the vector field is not elliptic. The equivalence classes are homeomorphic to a single point, a compact interval or a ray. If all the equivalence classes are compact then the vector field is globally hypoelliptic. If there exists an equivalence class that is closed and homeomorphic to a ray then the vector field is not globally hypoelliptic.

No description available.

Not available

Vector interpolation functions which approximate electromagnetic vector fields are constructed in this thesis. These vector functions are to be used when the solution of Maxwell's equations involves an irrotational or solenoidal vector field. In addition the functions are chosen so that they can easily be used in the implementation of a finite element method. / Four bases are constructed. The first two span the spaces of solenoidal or irrotational two component vector polynomials of order one in two variables whereas the other two span the spaces of solenoidal or irrotational three component vector polynomials of order one in three variables. The vector polynomials are then used within the finite element method to approximate the two component current density J and electric field E over a conducting plate and the three component current density in a three dimensional wire.

Thesis (Ph. D.)--University of Texas at Austin, 2006. / Vita. Includes bibliographical references.