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[en] KERNEL BASED SHEPARD`S INTERPOLATION METHOD / [pt] MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO DE SHEPARD BASEADO EM NÚCLEOSJOANA BECKER PAULO 01 June 2010 (has links)
[pt] Muitos problemas reais em modelagem computacional requerem o uso
de aproximação de funções. Em alguns casos a função a ser avaliada
no computador é muito complexa, portanto seria desejável que ela fosse
substituída por uma função mais simples e mais eficiente de ser calculada.
Para fazer isso, calcula-se o valor da função escalar f em um conjunto
de N pontos {x1, x2, . . . , XN}, onde x(i) (pertence a) R(n), e faz-se uma estimativa dos
valores dessa função f em qualquer outro ponto através de um método
de interpolação. Um método de interpolação é qualquer procedimento que
toma um conjunto de restrições e determina uma boa função que satisfaça
essas condições. O método de interpolação de Shepard originalmente calcula
o valor estimado dessa função num ponto qualquer x (pertence a) R(N) como uma média
ponderada dos valores da função original nas N amostras dadas. Sendo que
o peso para cada amostra x(i) é função das potências negativas das distâncias
euclidianas entre os pontos x e x(i). Os núcleos K: R(N) × R(N) (EM) R são funções
que correspondem ao produto interno no espaço de Hilbert F da imagem dos
pontos x e z por uma função phi (conjunto vazio) : R(N) (EM) F, ou seja K(x, z) = < phi (conjunto vazio) (x), phi (conjunto vazio) (z) >.
Na prática, as funções núcleos representam implicitamente o mapeamento
feito pela função phi (conjunto vazio) , ou seja, se define qual núcleo usar e não qual phi (conjunto vazio) usar. Esse trabalho propõe uma modificação do método de interpolação de Shepard que
é uma simples substituição no método original: ao invés de usar a distância
euclidiana entre os pontos x e xi sugere-se usar a distância entre as imagens
dos pontos x e x(I) por phi (conjunto vazio) no espaço de Hilbert F, que pode ser calculada
diretamente com o uso da função núcleo K. Os resultados mostram que essa
pequena modificação gera resultados melhores quando comparados com o
método de Shepard original. / [en] Several real problem in computational modeling require function approximations.
In some cases, the function to be evaluated in the computer is very
complex, so it would be nice if this function could be substituted by a simpler
and efficient one. To do so, the function f is sampled in a set of N
pontos {x1, x2, . . . , xN}, where x(i) (is an element of) R(n), and then an estimate for the value of f in any other point is done by an interpolation method. An interpolation
method is any procedure that takes a set of constraints and determines
a nice function that satisfies such conditions. The Shepard interpolation
method originally calculates the estimate of F(x) for some x (is an element of) R(n) as a
weighted mean of the N sampled values of f. The weight for each sample
xi is a function of the negative powers of the euclidian distances between
the point x and xi. Kernels K : R(n) ×R(n) (IN) R are functions that correspond
to an inner product on some Hilbert space F that contains the image of
the points x and z by a function phi (the empty set) : R(n) (IN) F, i.e. k(x, z) =< phi (the empty set) (x), phi (the empty set) (z) >. In practice, the kernels represent implicitly the mapping phi (the empty set), i.e. it is more suitable to defines which kernel to use instead of which function phi (the empty set). This work proposes a simple modification on the Shepard interpolation method that is: to substitute the euclidian distance between the points x and xi by a distance between the image of these two point by phi (the empty set) in the Hilbert space F, which can be computed directly with the kernel k. Several tests show that such simple modification has better results when compared to the original
method.
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[pt] OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS GEOMETRICAMENTE NÃOLINEARES BASEADA EM UM ESQUEMA DE INTERPOLAÇÃO DE ENERGIA / [en] TOPOLOGY OPTIMIZATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR STRUCTURES BASED ON AN ENERGY INTERPOLATION SCHEMEANDRE XAVIER LEITAO 26 May 2020 (has links)
[pt] Em muitos problemas de engenharia, e.g., no projeto de próteses biomédicas flexíveis ou em dispositivos de absorção de energia, estruturas sofrem grandes deslocamentos. Nestes casos, a não linearidade geométrica deve ser levada em conta na resposta estrutural. Contudo, algoritmos de otimização topológica considerando não linearidades, e modelados segundo o método de elementos finitos, sofrem instabilidades numéricas causadas por distorções excessivas nas regiões de baixa densidade dentro do domínio de
projeto. Em particular, a matriz de rigidez pode não ser positiva definida comprometendo a convergência do processo de otimização. Esta dissertação visa estudar um esquema de interpolação entre as formulações lineares e não lineares de elementos finitos para aliviar tais distorções. Em cada etapa da otimização, para determinar a configuração de equilíbrio, o sistema de equações não-lineares é resolvido pelo procedimento de Newton-Raphson. Utilizando-se das informações dos gradientes calculadas através do método
adjunto, o Método das Assíntotas Móveis é empregado para atualizar as variáveis de projeto. Por meio de problemas de referência considerando grandes deslocamentos, são demonstradas a eficácia e a eficiência deste esquema de interpolação. Mais especificamente, as topologias otimizadas estão de acordo com aquelas obtidas na literatura e exibem a dependência esperada em relação ao nível de carga. O esquema de interpolação em estudo desempenha papel crucial na solução de problemas não lineares em níveis
elevados de carga, permitindo que a rotina de otimização convirja e se obtenha a distribuição de material ótima. / [en] In many engineering problems, e.g., design of flexible biomedical prostheses or energy absorption devices, structures undergo large displacements. In those problems, the structural response must take into account
the geometric nonlinearity. However, topology optimization algorithms regarding nonlinearities, and based on the finite element method, typically suffer from numerical instabilities caused by excessive distortions of
low-density regions within the design domain. In particular, the stiffness matrix may be no longer positive definite, which can jeopardize the convergence of the optimization process. This thesis aims to study
an interpolation scheme between linear and nonlinear finite element formultation to alleviate this convergence issue. At each step of the optimization, the nonlinear state equation is solved by the Newton-Raphson procedure to determine the equilibrium configuration. Making use of the gradient information computed from the adjoint method, the Method of Moving Asymptotes is employed to update the design variables. Through several benchmark problems considering large displacements, it is demonstrated the effectiveness and efficiency of this interpolation scheme. More specifically, the optimized designs are in agreement with those obtained in the literature and exhibit correct load-level dependence. The investigated interpolation scheme plays a crucial role in the solution of nonlinear problems with high load levels, allowing the optimization routine to converge and to obtain the optimal material arrangement.
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