[pt] Este trabalho apresenta um método para extração de malhas poligonais adaptativas em multi-resolução, a partir de objetos volumétricos. As principais aplicações da extração de malhas estão ligadas à área médica, dinâmica de fluidos, geociências, meteorologia, dentre outras. Nestas áreas os dados podem ser representados como objetos volumétricos. Nos dados volumétricos as informações estão representadas implicitamente, o que dificulta o processamento direto dos objetos que se encontram representados dentro do volume. A extração da malha visa obter uma representação explícita dos objetos, de modo a viabilizar o processamento dos mesmos. O método apresentado na tese procura extrair a malha a partir de processos de Simplicação e Refinamento. Durante a simplificação é extraída uma representação super amostrada do objeto (na mesma resolução do volume inicial), a qual é simplificada de modo a se obter uma malha base ou malha grossa, em baixa resolução, porém contendo a topologia correta do objeto. A etapa de refinamento utiliza a transformada de distâ ncia para obter uma representação da malha em multi-resolução, ou seja, a cada instante é obtida uma malha de maior resolução que vai se adaptando progressivamente à geometria do objeto. A malha final apresenta uma série de propriedades importantes, como boa razão de aspecto dos triângulos, converge para a superfície do objeto, pode ser aplicada tanto a objetos com borda quanto a objetos sem borda, pode ser aplicada tanto a superfície conexas quanto a não conexas, dentre outras. / [en] This work presents a method for extracting multiresolution adaptive polygonal meshes, from volumetric objects. Main aplications of this work are related to medical area, fluid dynamics, geosciences, metheorology and others. In these areas data may be represented as volumetric objects. Volumetric datasets are implicit representations of objects, so it s very dificult to apply directly any process to these objects. Mesh extraction obtains an explicit representation of the objetc, such that it s easier to process directly the objects. The presented method extracts the mesh from two main processes: Simplification and Refinement. The simplification step extracts a supersampled representation of the object (in the same volume resolution), and simplifies it in such a way to obtain a base mesh (or coarse mesh), in a low resolution, but containing the correct topology of the object. Refinement step uses the distance transform to obtain a multiresolution representation of the mesh, it means that at each instant it s obtained an adaptive higher resolution mesh. The final mesh presents a set of important properties, like good triangle aspect ratio, convergency to the object surface, may be applied as to objects with boundary and as to objects with multiple connected components, among others properties.

[pt] Nesta dissertação nós discutimos as técnicas de modelos de matrizes para gravidade quântica em duas dimensões, as triangulações dinâmicas (DT) e sua versão causal, chamada de triangulações dinâmicas causais (CDT). Em virtude do teorema de Gauss-Bonnet a ação de Einstein-Hilbert se torna um invariante topológico em duas dimensões, por conseguinte, a avaliação da integral de caminho se transforma em um simples problema combinatório de contagem dos diagramas desenhados em uma superfície de Riemann, o que implica numa expansão topológica da função de partição. Usando métodos de integrais da teoria quântica de campos, podemos entender a correspondência entre modelos de matrizes e a formulação em grade da gravidade quântica, onde as N × N matrizes Hermitianas geram gráficos planares. Uma vez que a integral matricial se reduz a uma integração dos seus autovalores, solucionamos o modelo matricial utilizando duas técnicas: polinômios ortogonais e a análise do ponto de sela. Usando os polinômios ortogonais calculamos a energia livre no limite planar para diferentes potenciais. Por fim, partindo dos modelos matriciais estudamos DT e CDT numa analogia com o gás de Coulomb. / [en] In this thesis we discuss the matrix models techniques applied to two dimensional quantum gravity, the dynamical triangulations (DT) approach and its causal version, so-called causal dynamical triangulations (CDT). By virtue of the Gauss-Bonnet theorem, the Einstein-Hilbert action in two dimensions becomes a topological invariant, thereupon the evaluation of the path integral becomes a simple combinatorial counting problem of graphs drawn on a Riemann surface, which leads to a topological expansion of the partition function. Using integral methods from quantum field theory we can understand the correspondence between large N matrix models and a lattice (DT and CDT) formulation of quantum gravity, where the N ×N Hermitian matrices generates planar graphs (fatgraphs). Once the matrix integral is reduced to an integral of its eigenvalues, we solve the matrix model using two techniques: Orthogonal polynomials and saddle point analysis. Using orthogonal polynomials we compute the free energy in the Large N limit for different potentials. Finally, we study DT and CDT using matrix models and further make contact with a Coulomb gas analogy.