[pt] Com diversas aplicações em matemática, física e finanças, Teoria das Matrizes Aleatórias (RMT) recentemente atraiu muita atenção. Enquanto o RMT Hermitiano é de especial importância na física por causa da Hermenticidade de operadores associados a observáveis em mecânica quântica, O RMT não-Hermitiano também atraiu uma atenção considerável, em particular porque eles podem ser usados como modelos para sistemas físicos dissipativos ou abertos. No entanto, devido à ausência de uma simetria simplificada, o estudo de matrizes aleatórias não-Hermitianas é, em geral, uma tarefa difícil. Um subconjunto especial de matrizes aleat órias não-Hermitianas, as chamadas matrizes aleatórias normais, são modelos interessantes a serem considerados, uma vez que oferecem mais simetria, tornando-as mais acessíveis às investigções analíticas. Por definição, uma matriz normal M é uma matriz quadrada que troca com seu adjunto Hermitiano. Nesta tese, amplicamos a derivação de estatísticas de valores extremos (EVS) de matrizes aleatórias Hermitianas, com base na abordagem de polinômios ortogonais, em matrizes aleatórias normais e em gases Coulomb 2D em geral. A força desta abordagem a sua compreensão física e intuitiva. Em primeiro lugar, essa abordagem fornece uma derivação alternativa de resultados na literatura. Precisamente falando, mostramos a convergência do autovalor redimensionado com o maior módulo de um conjunto de Ginibre para uma distribuição de Gumbel, bem como a universalidade para um potencial arbitrário radialmente simtérico que atenda certas condições. Em segundo lugar, mostra-se que esta abordagem pode ser generalizada para obter a convergência do autovalor com menor módulo e sua universalidade no limite interno finito do suporte do autovalor. Um aspecto interessante deste trabalho é o fato de que podemos usar técnicas padrão de matrizes aleatórias Hermitianas para obter o EVS de matrizes aleatórias não Hermitianas. / [en] With diverse applications in mathematics, physics, and finance, Random Matrix Theory (RMT) has recently attracted a great deal of attention. While Hermitian RMT is of special importance in physics because of the Hermiticity of operators associated with observables in quantum mechanics, non-Hermitian RMT has also attracted a considerable attention, in particular because they can be used as models for dissipative or open physical systems. However, due to the absence of a simplifying symmetry, the study of non-Hermitian random matrices is, in general, a diffcult task. A special subset of non-Hermitian random matrices, the so-called random normal matrices, are interesting models to consider, since they offer more symmetry, thus making them more amenable to analytical investigations. By definition, a normal matrix M is a square matrix which commutes with its Hermitian adjoint, i.e., (M, M (1)). In this thesis, we present a novel derivation of extreme value statistics (EVS) of Hermitian random matrices, namely the approach of orthogonal polynomials, to normal random matrices and 2D Coulomb gases in general. The strength of this approach is its physical and intuitive understanding. Firstly, this approach provides an alternative derivation of results in the literature. Precisely speaking, we show convergence of the rescaled eigenvalue with largest modulus of a Ginibre ensemble to a Gumbel distribution, as well as universality for an arbitrary radially symmetric potential which meets certain conditions. Secondly, it is shown that this approach can be generalised to obtain convergence of the eigenvalue with smallest modulus and its universality at the finite inner edge of the eigenvalue support. One interesting aspect of this work is the fact that we can use standard techniques from Hermitian random matrices to obtain the EVS of non-Hermitian random matrices.

[pt] Este trabalho tem por objetivo investigar a redução do custo computacional associado ao cálculo das principais estatísticas das saídas dos modelos de propagação de incertezas. Para tal, apresentamos uma implementação alternativa ao método tradicional de Monte Carlo, chamado Caos Polinomial; que é adequado a problemas onde o número de variáveis de incerteza não é muito alto. No método Caos Polinomial, o valor esperado e a variância das saídas do simulador são diretamente estimados, como funções de distribuições de probabilidade de variáveis de incerteza na entrada do simulador. A principal vantagem do método de Caos Polinomial é que o número de pontos necessários para uma boa estimativa das estatísticas da saída de um simulador, comparado com Monte Carlo, é menor. Aplicações de Caos Polinomial em reservatórios de petróleo serão apresentadas para a propagação de até quatro variáveis, apesar do método poder ser aplicado a problemas de dimensões maiores. Nossos principais resultados são aplicados a dois modelos de reservatórios de petróleo sintéticos. / [en] In this work we investigate the reduction of the computational cost of the calculus of statistical moments of simulator s output in uncertainties propagation s models. For do that, we present an alternative s implementation to the traditional Monte Carlo s Method, called Polynomial Chaos; that is adequate to problems where the number of uncertain variables is not so high. In the Polynomial Chaos method, the expectation and the variance of the simulator s output are directly estimated, as functions of the probability distribuition of the uncertain variables in simulator input. The great advantage of Polynomial Chaos is that number of points necessary for a good estimation of the output statistics have smaller magnitude, compared to the Monte Carlo Method. Applications of Polynomial Chaos on oil reservoir simulations will be presented. As it is just a preliminar implementation, we just treat propagation s problems with at most four uncertainties variables, despite of the method being applicable to problems with more dimensions. Our main results are applied to two models of synthetic oil reservoirs.

[pt] Estudamos as noções básicas da Teoria das Matrizes Aleatórias e em particular discutimos o Emsemble Unitário Gaussiano. A continuação descrevemos o gaz de Dyson em equilíbrio e fora do equilíbrio que permite interpretar a informação estatística dos autovalores das matrizes aleatórias. Além desso mostramos descrições alternativas dessa informação estatística. Em seguida discutimos aspectos diferentes dos polinômios ortogonais. Uma dessas caracterizações é dada pelos problemas de Riemann-Hilbert. As técnicas dos problemas de Riemann-Hilbert são uma ferramenta eficaz e potente na Teoria das Matrizes Aleatórias a qual discutimos com mais cuidado. Finalmente usamos o método de máxima gradiente na análise assintótico dos polinômios ortogonais. / [en] We review the basic notions of the Random Matrix Theory and in particular the Gaussian Unitary Ensemble. In what follows we describe the Dyson gas in equilibrium and nonequilibrium that allows one to interpret the statistical information of the eigenvalues of random matrices. Furthermore we show alternative descriptions of this statistical information. In the following we discuss different aspects of orthogonal polynomials. One of these caracterizations is given by a Riemann Hilbert problem. Riemann Hilbert problem techniques are an efficient and powerfull tool for Random Matrix Theory which we discuss in more detail. In the final part we use the steepest descent method in the asymptotic analysis of orthogonal polynomials.

[pt] Nesta dissertação nós discutimos as técnicas de modelos de matrizes para gravidade quântica em duas dimensões, as triangulações dinâmicas (DT) e sua versão causal, chamada de triangulações dinâmicas causais (CDT). Em virtude do teorema de Gauss-Bonnet a ação de Einstein-Hilbert se torna um invariante topológico em duas dimensões, por conseguinte, a avaliação da integral de caminho se transforma em um simples problema combinatório de contagem dos diagramas desenhados em uma superfície de Riemann, o que implica numa expansão topológica da função de partição. Usando métodos de integrais da teoria quântica de campos, podemos entender a correspondência entre modelos de matrizes e a formulação em grade da gravidade quântica, onde as N × N matrizes Hermitianas geram gráficos planares. Uma vez que a integral matricial se reduz a uma integração dos seus autovalores, solucionamos o modelo matricial utilizando duas técnicas: polinômios ortogonais e a análise do ponto de sela. Usando os polinômios ortogonais calculamos a energia livre no limite planar para diferentes potenciais. Por fim, partindo dos modelos matriciais estudamos DT e CDT numa analogia com o gás de Coulomb. / [en] In this thesis we discuss the matrix models techniques applied to two dimensional quantum gravity, the dynamical triangulations (DT) approach and its causal version, so-called causal dynamical triangulations (CDT). By virtue of the Gauss-Bonnet theorem, the Einstein-Hilbert action in two dimensions becomes a topological invariant, thereupon the evaluation of the path integral becomes a simple combinatorial counting problem of graphs drawn on a Riemann surface, which leads to a topological expansion of the partition function. Using integral methods from quantum field theory we can understand the correspondence between large N matrix models and a lattice (DT and CDT) formulation of quantum gravity, where the N ×N Hermitian matrices generates planar graphs (fatgraphs). Once the matrix integral is reduced to an integral of its eigenvalues, we solve the matrix model using two techniques: Orthogonal polynomials and saddle point analysis. Using orthogonal polynomials we compute the free energy in the Large N limit for different potentials. Finally, we study DT and CDT using matrix models and further make contact with a Coulomb gas analogy.

[pt] O objetivo do presente trabalho é o desenvolvimento de um algoritmo estatístico de previsão da potência transmitida pela usina geradora termelétrica de Linhares, localizada no Espírito Santo, medida no ponto de entrada da rede da concessionária regional, a ser integrado em plataforma composta por sistema supervisório em tempo real em ambiente MS Windows. Para tal foram comparadas as metodologias de Modelos Arima(p,d,q), regressão usando polinômios ortogonais e técnicas de amortecimento exponencial para identificar a mais adequada para a realização de previsões 5 passos-à-frente. Os dados utilizados são provenientes de observações registradas a cada 5 minutos, contudo, o alvo é produzir estas previsões para observações registradas a cada 5 segundos. Os resíduos estimados do modelo ajustado foram analisados via gráficos de controle para checar a estabilidade do processo. As previsões produzidas serão usadas para subsidiar decisões dos operadores da usina, em tempo real, de forma a evitar a ultrapassagem do limite de 200.000 kW por mais de quinze minutos. / [en] The objective of this study is to develop a statistical algorithm to predict the power transmitted by a thermoelectric power plant in Linhares, located at Espírito Santo state, measured at the entrance of the utility regional grid, which will be integrated to a platform formed by a real time supervisor system developed in MS Windows. To this end we compared Arima (p,d,q), Regression using Orthogonal Polynomials and Exponential Smoothing techniques to identify the best suited approach to make predictions five steps ahead. The data used are observations recorded every 5 minutes, however, the target is to produce these forecasts for observations recorded in every five seconds. The estimated residuals of the fitted model were analysed via control charts to check on the stability of the process. The forecasts produced by this model will be used to help not to exceed the 200.000 kW energy generation upper bound for more than fifteen minutes.