En 1955, las álgebras de Boole monádicas fueron introducidas por P. Halmos ([23]), como un modelo algebraico para el cálculo de predicados monádicos de la lógica clásica. Estas álgebras han sido ampliamente estudiadas por varios autores ([1], [24]) y en la actualidad se siguen realizando investigaciones en esta dirección ([4], [12], [37]). Por otra parte, Gr. C. Moisil introduce las álgebras de Boole cíclicas en [32], que han sido estudiadas también por A. Monteiro ([28], [29]), y A. V. Figallo ([15]). En esta tesis, investigamos la clase de las Tkm-álgebras, esto es, álgebras de Boole monádicas con un automorfismo monádico de período k, que generalizan a las álgebras de Boole monádicas simétricas ([1]) y están relacionadas de un modo especial, con la clase de las Df2-álgebras. Al trabajo lo hemos organizado en cuatro capítulos. El Capítulo 1 consta de cuatro secciones y casi todos los resultados indicados en ellas son conocidos. En la Sección 1, damos las definiciones básicas y hacemos un repaso de los resultados más importantes de álgebra universal. En las Secciones 2, 3 y 4, hacemos una breve exposición de definiciones y propiedades de las álgebras de Boole monádicas, Df2-álgebras, y Tk-álgebras, respectivamente. Todos estos temas los hemos incluido tanto para facilitar la lectura como para fijar los conceptos y propiedades que utilizaremos en los capítulos posteriores. En el Capítulo 2, comenzamos el estudio de las Tkm-álgebras. En la Sección 1, damos las definiciones básicas, determinamos las estructuras de Tkm-álgebras que se pueden definir sobre el álgebra de Boole con n átomos para n = 1, ..., 4. Destacamos tres subálgebras en una Tkm-álgebra B y mostramos algunas de sus propiedades, las que nos permiten luego caracterizar los miembros subdirectamente irreducibles y simples de esta variedad. En la Sección 2, determinamos la relación entre cuantificadores existenciales y subálgebras especiales del álgebra de Boole subyacente de una Tkm-álgebra, a partir de la cual obtenemos otra caracterización de estas álgebras. En la Sección 3, logramos una nueva descripción de las Tkm-álgebras finitas, por medio de ciertas particiones asociadas al conjunto de sus átomos. Luego, en la sección siguiente exploramos, en el caso finito, la relación entre la clase BTkm y la clase Df2 de las álgebras cilíndricas libres de elementos diagonales de dimensión dos. En las Secciones 5 y 6, estudiamos una clase especial de filtros, los Tkm-filtros, los cuales nos permiten caracterizar las Tkm-congruencias. Además, determinamos la relación entre esta clase de filtros y la de los Tk-filtros, los -filtros y los filtros que se pueden definir en una Tkm-álgebra B. A partir de estas relaciones caracterizamos, en el capítulo siguiente, las álgebras subdirectamente irreducibles y simples. Finalmente, en la Sección 7 realizamos un breve estudio de los Tkm-homomorfismos. La mayoría de los resultados obtenidos en este capítulo se publicaron en [16], mientras que otros se presentaron y discutieron previamente en la Reunión Anual de Comunicaciones Científicas de la Unión Matemática Argentina en 2007. En el Capítulo 3, con el propósito de obtener una mayor información sobre la variedad de las Tkm-álgebras, hacemos un estudio detallado de las congruencias e indicamos dos descripciones de las mismas, una por medio de los Tkm-filtros y la otra por una operación binaria definida sobre el álgebra. Esto nos permitió caracterizar las álgebras subdirectamente irreducibles y simples, y determinar algunas propiedades especiales de las Tkm-congruencias. Además, probamos que las Tkm-álgebras constituyen una variedad localmente finita, semisimple y residualmente finita. En las dos últimas secciones, aplicando los resultados de las secciones previas, obtenemos el término discriminador ternario para esta variedad y mostramos con ello que es discriminadora. Como consecuencia deducimos algunas propiedades de las Tkm-congruencias y, en particular, establecemos una descripción ecuacional de las congruencias principales. Cabe mencionar que algunos de los temas investigados en este capítulo se publicaron en [16]. El Capítulo 4 consta de cuatro secciones. En la primera, hemos incluido una breve exposición de la dualidad de P. Halmos para las álgebras de Boole monádicas. En la segunda sección, nos dedicamos a determinar una dualidad topológica para las Tkm-álgebras la que nos permitió, caracterizar al retículo de las congruencias. Finalmente, a partir de la dualidad topológica para la variedad BTkm, hemos establecido para una Tkm-álgebra B, una biyección entre las familias de las Tkm-subálgebras de B y de ciertas relaciones de equivalencia definidas en el conjunto de filtros primos de B. La mayor parte de los resultados obtenidos en las tres primeras secciones de este capítulo se presentaron previamente en el XIII Congreso Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur. / In 1955, P. Halmos introduced monadic Boolean algebras as an algebraic counterpart of the one-variable fragment of the classical predicate logic ([23]). These algebras have been widely studied by various authors ([1], [24]) and there are still investigations in this direction ([4], [12], [37]). On the other hand, Gr. C. Moisil introduces cyclic Boolean algebras in [32], which have been studied by A. Monteiro ([28], [29]), and A. V. Figallo ([15]). In this thesis, we investigate the class of the Tkm-algebras, this is, monadic Boolean algebras endowed with a monadic automorphism of period k. These algebras constitute a generalization of monadic symmetric Boolean algebras ([1]) and, in a special way, they are related with the class of Df2-algebras. We have organized this volume in four chapters. Chapter 1 consists of four sections and almost all results reported in them are well-known. In Section 1, we give the basic definitions and we review the most important results of universal algebra. In Sections 2, 3 and 4, we do a brief exposition of definitions and properties of monadic Boolean algebras, Df2-algebras and Tk-algebras, respectively. We have included them either to facilitate the reading as to fix the concepts and properties that we will use in later chapters. In Chapter 2, we start the study of Tkm-algebras. In Section 1, we give basic definitions, we determine the structures of Tkm-algebras that can be defined on the Boole algebra with $n$ atoms for n=1,...,4. We distinguish three subalgebras in a Tkm-algebra B and we show some of its properties, which allow us later to characterize the subdirectly irreducible and simple members of this variety. In the second section, we determine the relationship between existential quantifiers and special subalgebras of the underlying Boolean algebra of a Tkm-algebra, from which we obtain another characterization of these algebras. In Section 3, we give a new description of finite Tkm-algebras by means of certain partitions of the set of their atoms. Then, in the next section, we explore, in the finite case, the relationship between the class BTkm and the class Df2 of diagonal-free two-dimensional cylindric algebras. In Sections 5 and 6, we study a special class of filters, the Tkm-filters, which allow us to characterize the Tkm-congruences. Also, we determine relationships between classes of Tkm-filters, Tk-filters, -filters and filters that can be defined in a Tkm-algebra B. From these relationships, we characterize, in the next chapter, sub-directly irreducible and simple algebras. Finally, in Section 7 we carry out a brief study of the Tkm-homomorphisms. Most of the results obtained in this chapter were published in [16], while others were previously presented and discussed in Annual Meeting of the Unión Matemática Argentina in 2007. In Chapter 3, in order to obtain further information on the variety of Tkm-algebras, we make a detailed study of the congruences and indicate two descriptions of them, one by means of the Tkm-filters and the other by a binary operation defined on the algebra. This allowed us to characterize subdirectly irreducible and simple algebras, and determine some special properties of the Tkm-congruences. Furthermore, we prove that Tkm-algebras constitute a semisimple, locally finite and residually finite variety. In Sections 6 and 7, by applying the results of the previous sections, we obtain the ternary discriminator term for this variety and we show with it that this variety is discriminator. As a consequence, we deduce some properties of the Tkm-congruences and, in particular, we establish an equational description of the principal congruences. It is worth mentioning that several of the topics investigated in this chapter were published in [16]. Chapter 4 consists of four sections. In the first one, we have included a brief exposition of P. Halmos' duality for monadic Boolean algebras. In the second section, we devote to determine a topology duality for the Tkm-álgebras which allowed us to characterize the lattice of congruences. Finally, bearing in mind the above duality for the variety BTkm, we have established for a Tkm-algebra B, a bijection between the families of the Tkm-subalgebras of B and of certain equivalence relations defined in the set of prime filters of B. Most of the results obtained in the first three sections of this chapter were previously presented at the XIII Congress Dr. Antonio Monteiro, Universidad Nacional del Sur.

Orientador: Prof. Dr. Eduardo Guéron / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT, Santo André, 2018. / Calculadoras são aparelhos comuns no cotidiano do homem moderno, contudo, os conceitos matemáticos envolvidos em sua concepção ainda são conhecidos por poucos. Durante séculos, a obstinação da humanidade em construir máquinas capazes de computar de forma autônoma resultou tanto no surgimento dos atuais computadores, como também em um magnífico legado de conhecimentos matemáticos agregados a tal conquista. Conteúdos tais como congruências e álgebra booleana suscitaram a revolução dos sistemas informatizados e tem sido amplamente explorados por meio de inúmeras aplicações, nossa trajetória perpassou pela aritmética modular, o teorema de Euler-Fermat e as classes residuais, além de bases numéricas, tópicos de eletrônica digital e funções booleanas, com foco no desenvolvimento de circuitos lógicos e o engendrar de componentes eletrônicos, que configuram a base para idealização e construção de calculadoras que efetuem as operações aritméticas em bases arbitrárias, objetivo preponderante deste trabalho. O esmiuçar das etapas de construção das calculadoras, viabiliza o aprofundamento dos conceitos matemáticos que a fomentaram. A abordagem dos temas supracitados culmina para aprimorar e evidenciar a aplicabilidade da matemática à essência da era moderna. / Calculators are common apparatuses in the everyday of modern man, however, the mathematical concepts involved in its conception are still known by few. For centuries, mankind¿s obstinacy in building machines capable of computing autonomously resulted in both the emergence of current computers and a magnificent legacy of mathematical knowledge added to such achievement. Contents such as congruences and Boolean algebra have aroused the revolution of computerized systems and it has been extensively explored through numerous applications, our trajectory ran through modular arithmetic, Euler-Fermat¿s theorem and residual classes, as well as numerical bases, topics of digital electronics and Boolean functions, focusing on the development of logic circuits and the generation of electronic components, which form the basis for the design and construction of calculators that perform arithmetic operations on arbitrary bases, a preponderant objective of this work. The to detail of the construction steps of the calculators, enables the deepening of the mathematical concepts that fomented it. The approach to the aforementioned themes culminates in improving and evidencing the applicability of mathematics to the essence of the modern era.

O principal objetivo deste trabalho é estudar diversas aplicações de combinatória infinita em espaços de funções contínuas, definidas em espaços compactos Hausdorff. Usando combinatória infinita para uma álgebra de Boole, por meio da dualidade de Stone, obtemos um espaço compacto Hausdorff. Com certas propriedades na álgebra de Boole é possível analisar propriedades analíticas no espaço de funções contínuas definidas em tal espaço. Especificamente, analisamos a propriedade de Grothendieck. Também analisamos a relação entre o espaço de funções contínuas e o espaço compacto Hausdorff sobre o qual é definido. Apresentamos um resultado que permite obter diversos resultados conhecidos de uma maneira uniforme (só usando fatos de topologia e teoria de conjuntos), dotando o espaço de funções contínuas de uma ordem peculiar. Finalmente, estudamos um pouco de jogos topológicos mediante diversos exemplos. / The main purpose of this work is to study some infinite combinatorics applications in spaces of continuous functions, defined in Hausdorff compact spaces. Using infinite combinatorics in Boolean algebras, through Stone duality, we obtain a compact Hausdorff space. With certain properties in Boolean algebras it is possible to analyze analytic properties in the space of continuous functions defined in such space. Specifically, we analyze the Grothendieck property. We also analyze the relationship between the space of continuous functions and the compact Hausdorff space on which it is defined. We present a result that allows to obtain several known results in a uniform way (only using facts of topology and set theory), giving the space of continuous functions a peculiar order. Finally, we study some topological games through several examples.

O principal objetivo deste trabalho é estudar diversas aplicações de combinatória infinita em espaços de funções contínuas, definidas em espaços compactos Hausdorff. Usando combinatória infinita para uma álgebra de Boole, por meio da dualidade de Stone, obtemos um espaço compacto Hausdorff. Com certas propriedades na álgebra de Boole é possível analisar propriedades analíticas no espaço de funções contínuas definidas em tal espaço. Especificamente, analisamos a propriedade de Grothendieck. Também analisamos a relação entre o espaço de funções contínuas e o espaço compacto Hausdorff sobre o qual é definido. Apresentamos um resultado que permite obter diversos resultados conhecidos de uma maneira uniforme (só usando fatos de topologia e teoria de conjuntos), dotando o espaço de funções contínuas de uma ordem peculiar. Finalmente, estudamos um pouco de jogos topológicos mediante diversos exemplos. / The main purpose of this work is to study some infinite combinatorics applications in spaces of continuous functions, defined in Hausdorff compact spaces. Using infinite combinatorics in Boolean algebras, through Stone duality, we obtain a compact Hausdorff space. With certain properties in Boolean algebras it is possible to analyze analytic properties in the space of continuous functions defined in such space. Specifically, we analyze the Grothendieck property. We also analyze the relationship between the space of continuous functions and the compact Hausdorff space on which it is defined. We present a result that allows to obtain several known results in a uniform way (only using facts of topology and set theory), giving the space of continuous functions a peculiar order. Finally, we study some topological games through several examples.