Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

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Dans un premier temps, nous décrivons le complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique d'un D-module M en fonction des solutions de M. Pour cela, nous définissons un foncteur de transformation de Mellin faisceautique. Nous montrons alors que le transformé de Mellin du complexe des solutions à décroissance rapide en 0 et à l'infini d'un D-module holonome régulier M est quasi-isomorphe au complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique de M, l'hypothèse de régularité n'étant plus nécessaire à une variable.<br />Dans un second temps, nous faisons un travail analogue avec la transformation de Mellin inverse : les résultats sont plus partiels. Nous définissons une transformation de Mellin inverse faisceautique. Nous démontrons alors qu'il existe des morphismes naturels reliant le complexe des solutions du transformé de Mellin inverse algébrique d'un module aux différences avec le transformé de Mellin inverse faisceautique du complexe des solutions à croissance au plus exponentielle d'ordre 1 à l'infini dans des bandes verticales. Nous montrons ensuite que dans le cas d'un module aux différences à une variable et à une seule pente strictement positive, ces morphismes sont des isomorphismes.