La première partie de ce mémoire est consacrée à la résolution numérique du problème de Poisson avec conditions aux limites de Dirichlet dans un domaine prismatique ou axisymétrique, possédant une arête rentrante sur sa frontière. Nous présentons la Méthode de Fourier et du Complément Singulier consistant à combiner un développement en série (de Fourier) dans la direction parallèle à l'arête et la Méthode du Complément Singulier pour les problèmes bidimensionnels associés aux modes (de Fourier). L'analyse de la MFCS conduit à une vitesse de convergence optimale en O(h) lorsqu'on utilise les éléments finis de Lagrange P1 pour la discrétisation. La méthode ne requiert aucun raffinement de maillage au voisinage de la singularité. Nous nous intéressons ensuite au calcul de la densité de charge à la pointe d'une électrode lorsque celle-ci présente un faible rayon de courbureque nous abordons par la résolution du problème électrostatique. La relation entre le rayon de courbure et le champ électrique à la surface de la pointe est décrit par la loi empirique de Peek. Toutefois, celle-ci n'est valable que pour des électrodes minces à géométrie cylindriques ou sphériques. On justifie mathématiquement cette loi et on l'étend à d'autres géométries. A l'aide des développements asymptotiques multi-échelles, on établit explicitement le comportement de la densité de charge pour des géométries coincidant avec un cône à l'infini. Enfin, nous illustrons ce comportement asymptotique par des expériences numériques réalisées en dimension deux, et en dimension trois, pour des domaines axisymétriques. Les résultats sont comparés à ceux obtenue par une méthode intégrale.

L'équation de Schrödinger est une équation fondamentale de la physique, qui fait intervenir une fonction appelée potentiel, linéaire ou non linéaire, pouvant prendre différentes expressions selon le contexte physique. Pour résoudre numériquement cette équation, il faut se restreindre à un domaine borné en espace, en précisant sur la frontière de ce domaine de calcul des conditions aux limites artificielles (CLA) appropriées. En dimension un et pour un potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue. L'objectif de cette thèse est de généraliser ces résultats en construisant des CLA approchées dans le cas d'un potentiel, linéaire ou non linéaire. A cette fin, nous proposons une recherche détaillée de méthodes permettant de tenir compte du potentiel, sans distinction selon ses propriétés mathématiques. Cette construction repose sur l'analyse microlocale et les règles du calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels. Les CLA obtenues se prêtent alors à une discrétisation et une implémentation numérique effective à l'aide d'un schéma de Crank-Nicolson suivi d'une méthode éléments finis linéaires. Dans ce travail, nous avons élaboré des familles de CLA pour l'équation en dimension un ou deux d'espace avec un potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que pour le problème stationnaire en dimension un. Dans chaque cas, de nombreuses simulations numériques ont été effectuées afin de comparer l'efficacité des conditions aux limites proposées par rapport aux autres méthodes existantes, ainsi que pour comparer entre elles les différentes familles de conditions aux limites construites suivant différentes stratégies / The Schrödinger equation is a fundamental equation involved in many physical domains. It deals with a linear or nonlinear function called potential, which can appear under various different expressions depending on the physical context. In order to solve the equation numerically, one has to restrict to a bounded spatial domain, and to add appropriate artificial boundary conditions (ABC) on the boundary of the computational domain. For the free-potential equation in one dimension, the exact boundary condition is known. The aim of this thesis is to generalize these results thanks to the construction of approximate ABC in the case of a linear or nonlinear potential. To this end, we propose a detailed research of methods taking the potential into account in the artifical boundary condition, without considering the mathematical properties of the considered potential. The construction of these CLA relies on microlocal analysis and the rules of symbolic calculus associated to pseudodifferential operators. These approximate boundary conditions can then be discretized and numerically computed, using a Crank-Nicolson scheme and a linear finite element method. In this work, we have derived families of ABCs for the Schrödinger equation in dimension one and two, with a linear or nonlinear potential, and for the stationary one-dimensional problem. In each case, many numerical simulations have been implemented in order to compare the efficiency of the new boundary conditions with respect to existing methods, and also in order to compare with one another the different families of boundary conditions developed following different strategies

Cette thèse porte sur la modélisation de la diffraction d'ondes en régime harmonique dans des milieux bidimensionnels comportant des fentes minces. Tout d'abord, nous introduisons et analysons un modèle approché dont la propriété principale est d'utiliser une approximation unidimensionnelle dans la fente. L'originalité de ce modèle se situe au niveau des conditions de couplage par raccord ``brutal'' à travers les extrémités de la fente. La précision de cette première technique étant limitée, nous utilisons la technique des développements asymptotiques raccordés pour obtenir et justifier le développement asymptotique de la solution à tout ordre en fonction de l'épaisseur de la fente. Les résultats sont radicalement différents suivant que la longueur de la fente est un multiple de la demi-longueur d'onde ou non, auquel cas un phénomène de résonance est observé. De nouvelles procédures de raccord 1D-2D peuvent être déduites de cette étude.

Dans de nombreux problèmes physiques, on s'intéresse à l'interaction de phénomènes ayant des longueurs caractéristiques très différentes. On parle alors de phénomènes multi-échelles. Les méthodes numériques classiques, comme les éléments finis ou les différences finies, nécessitent alors un pas de maillage de l'ordre de la plus petite longueur caractéristique. Ceci a pour effet de faire exploser le nombre de degrés de liberté et les coûts de calcul. Afin de pallier à cette difficulté, on trouve dans la littérature différentes méthodes qui consistent soit à 1. développer des méthodes purement numériques de raffinement local. Ainsi, on limitera le nombre de degrés de liberté. 2. dériver à l'aide de l'analyse asymptotique des modèles approchés dont la solution peut être approchée numériquement sans raffinement local. De nombreux auteurs se sont intéressés à ces problématiques. 3. combiner une analyse asymptotique avec une méthodes de type éléments finis en augmentant l'espace de Galerkin par des fonctions reproduisant les propriétés locales de la solution du modèle exacte. Cette problématique est particulièrement présente en propagation d'ondes. En effet, des détails géométriques de petites tailles (fil mince, fente mince, petit trou, couche mince) devant la longueur d'ondes peuvent avoir une influence significative. Lors de ces dernières années, j'ai étudié ces phénomènes dans le cadre des problèmes de propagation d'ondes linéaires scalaires en régime fréquentiel. Dans cet exposé, je vous présenterai quelques résultats que j'ai obtenu à l'aide de la technique des développements asymptotiques raccordés.

Dans le domaine du calcul de structure, l'augmentation de la puissance des ordinateurs permet aujourd'hui de traiter des structures complexes avec des modèles de plus en plus fins.<br />Néanmoins, pour des structures hétérogènes ou minces, des modèles tridimensionnels détaillés conduisent à des temps de réalisation du maillage importants, et à une analyse des résultats très difficile compte tenu du volume d'informations à traiter.<br />Il est donc nécessaire de construire des modèles simplifiés de ces structures, en exploitant l'existence d'un ou plusieurs petits paramètres, traduisant la finesse des hétérogénéités et la minceur de la structure. Pour ce faire, des méthodes très diverses sont proposées dans la littérature. Dans ce travail, c'est principalement la méthode des développements asymptotiques qui est utilisée.<br />Pour des structures à hétérogénéité périodique, cette méthode permet de déterminer une structure homogène équivalente, à partir de laquelle on pourra obtenir une approximation de la solution du problème hétérogène. Il s'agit donc d'un processus d'homogénéisation, puisque les hétérogénéités sont lissées. <br />Dans le cas des structures minces, l'objectif est de construire, à partir d'une formulation 3D initiale, des modèles approchés mono- ou bidimensionnels. <br />Dans une première partie de ce mémoire, intitulée "Modèles Homogénéisés du 1er ordre", un premier niveau d'application des méthodes d'homogénéisation est présenté. L'objectif est simplement l'obtention du comportement macroscopique du matériau, ou de la structure mince périodique.<br />Au chapitre 1, la modélisation d'un joint de culasse est exposée. Le joint présente une périodicité de ses constituants dans le plan. Or, sur le moteur, du fait du serrage entre le bloc et la culasse, une modélisation tridimensionnelle du joint est nécessaire. Il s'agit là d'une source de difficultés car on n'a pas périodicité dans les 3 directions de l'espace. Ceci conduit à développer de méthodes spécifiques, dans le cadre de la méthode des moyennes. Dans ce même chapitre, figure également un travail sur la modélisation du comportement élastoplastique d'un constituant du joint.<br />Le chapitre 2 est consacré à l'étude des structures minces périodiques. Comme indiqué auparavant, ces structures se caractérisent par l'existence de deux petits paramètres. Ceci donne lieu à plusieurs méthodes d'homogénéisation, selon l'ordre dans lequel on fait tendre vers 0 ces deux petits paramètres. Cependant, le domaine de validité de ces méthodes n'est pas très bien défini, et d'une manière générale, très peu d'applications ont été traitées, notamment à l'aide de méthodes numériques. Une synthèse de ces différentes méthodes est présentée, avec des applications à différents exemples de poutres, plaques et coques périodiques. Toutes ces méthodes rentrent dans le cadre de la méthode des développements asymptotiques.<br />Au chapitre 3, le cas des milieux poreux est étudié. En effet, les plaques périodiques que nous avons étudiées au chapitre 2 sont très peu denses, et il est intéressant de les aborder en tant que structures discrètes, où de nombreux travaux existent sur les méthodes d'équivalence. Ces méthodes sont comparées à celles utilisées au chapitre 2. D'autre part, une méthode numérique pour le calcul des caractéristiques équivalentes de ces milieux est proposée, avec une application aux matériaux cellulaires.<br />Dans la deuxième partie de ce mémoire, intitulée "Modèles homogénéisés d'ordre supérieur et effets de bords", il s'agit de dépasser le stade de la détermination du comportement macroscopique Notre objectif est en effet d'étudier quelles sont les erreurs induites par l'utilisation d'un milieu homogène équivalent dans un problème aux limites, en substitution du milieu hétérogène 3D d'origine, et comment faire pour les diminuer.<br />Au chapitre 4, pour une poutre périodique, un modèle asymptotique d'ordre supérieur est construit, en déterminant formellement l'expression des termes du développement asymptotique à un ordre quelconque. Les aspects pratiques de mise en oeuvre de la méthode sont également abordés, et une approche pour calculer la série complète à partir de la résolution d'un seul problème macroscopique est présentée.<br />Pour que le modèle macroscopique d'ordre supérieur soit plus précis que le modèle du 1er ordre, il faut travailler avec une approximation cohérente des équations différentielles et des conditions aux limites. Ceci nous amène à étudier les effets de bords, qui résultent de l'incompatibilité entre la solution asymptotique et les conditions aux limites appliquées à la structure 3D hétérogène. Une approche pour les prendre en compte est exposée au chapitre 5.<br />Des exemples d'application sont ensuite présentés au chapitre 6, où la solution issue du modèle asymptotique d'ordre supérieur avec prise en compte des effets de bords est comparée à la solution du modèle fin tridimensionnel hétérogène. L'efficacité de la méthode proposée est ainsi démontrée.<br />En plus de ces deux parties, on présente au chapitre 7 les développements numériques utilisés dans les différentes parties du mémoire. Ce chapitre comprend également l'exposé d'une méthode de calcul originale pour la résolution des problèmes à l'échelle microscopique.<br />Enfin, le chapitre 8 concerne un travail en cours sur la modélisation des câbles synthétiques.

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'influence d'une fine couche hétérogène sur le comportement élastique linéaire d'une structure tridimensionnelle.Deux types d'hétérogénéités sont pris en compte : des cavités et des inclusions élastiques. Une étude complémentaire, dans le cas d'inclusions de grande rigidité, a été réalisée en considérant un problème de conduction thermique.Une analyse formelle par la méthode des développements asymptotiques raccordés conduit à un problème d'interface qui caractérise le comportement macroscopique de la structure. Le comportement microscopique de la couche est lui déterminé sur une cellule de base. Le modèle asymptotique obtenu est ensuite implémenté dans un code éléments finis. Une étude numérique permet de valider les résultats de l'analyse asymptotique. / This thesis is devoted to the study of the influence of a thin heterogeneous layeron the linear elastic behavior of a three-dimensional structure. Two types of heterogeneties are considered : cavities and elastic inclusions. For inclusions of high rigidty a further study was performed in the case of a heat conduction problem.A formal analysis using the matched asymptotic expansions method leads to an interface problem which characterizes the macroscopic behavior of the structure. The microscopic behavior of the layer is determined in a basic cell.The asymptotic model obtained is then implemented in a finite element software.A numerical study is used to validate the results of the asymptotic analysis.

Ce travail considère un modèle linéaire semi-paramétrique dont les erreurs sont modélisées par une copule choisie parmi la famille archimédienne ou bien la copule normale. La modélisation des erreurs par une copule apporte une flexibilité et permet de caractériser la structure de dépendance d’une manière simple et efficace. La simplicité réside dans le fait qu’un seul paramètre α contrôle le degré de dépendance présent dans les données. L’efficacité réside dans le fait que ce modèle semi-paramétrique permet de lever des hypothèses standards souvent rencontrées en statistique appliquée à savoir la normalité et l’indépendance. Après une mise en œuvre du modèle basée sur une copule nous avons proposé une étude théorique du comportement asymptotique de l’estimateur du paramètre de dépendance α en montrant sa convergence et sa normalité asymptotique sous des hypothèses classiques de régularité. L’estimation des paramètres du modèle a été réalisée en maximisant une pseudo-vraisemblance. La sélection de la meilleure copule pour un jeu de données a été faite à l’aide du critère d’Akaike. Une comparaison avec le critère de la validation croisée a été proposée également. Enfin, une étude numérique sur des jeux de données simulés et réels a été proposée dans la sélection. / This work considers a semi-parametric linear model with error terms modeled by a copula chosen from the Archimedean family or the normal copula. The modeling of errors by a copula provides flexibility and makes it possible to characterize the dependency structure in a simple and effective manner. The simplicity lies in the fact that a single parameter α controls the degree of dependency present in the data. The efficiency is in the fact that this semi-parametric model weakens standard assumptions often encountered in applied statistics namely normality and independence. After an implementation of the model based on a copula we proposed a theoretical study on the asymptotic behavior of the estimator of the dependence parameter α by showing its consistency and its asymptotic normality under classical assumptions of regularity. Estimation of the model parameters is performed by maximizing a pseudo-likelihood. The selection of the best copula that fits the data for each case is based on the Akaike selection criterion. A comparison with the criterion of cross-validation is presented as well. Finally, a numerical study on simulated and real data sets is proposed.

La flamme à point d'arrêt est une configuration académique d'écoulement réactif offrant la possibilité de comparer les résultats de l'analyse théorique avec les données expérimentales. La disposition géométrique retenue pource travail est celle d'un écoulement axisymétrique turbulent heurtant sous indice normale une paroi solide : dans ces conditions, une flamme de prémélange peut être stabilisée entre le plan d'injection et la paroi solide. Les conditions de faible turbulence et l'hypothèse d'un régime de flammelette permettent de mener une analyse asymptotique de cet écoulement réactif et en particulier d'exprimer les termes de transport turbulent de masse sous la forme d'une expression algébrique. Sur le plan de l'application, la combustion dans des écoulements étirés et éventuellement non-isenthalpiques du fait des pertes thermiques pariétales est une problématique récurrente rencontrée dans la conception des foyers industriels : l'étude des propriétés dynamiques et structurales d'une flamme stabilisée au voisinage d'une paroi adiabatique ou non permet d'étudier les influences respectives de l'étirement et de la température de paroi. Sur le plan fondamental, l'ambition est le développement de modèles de combustion à fonction densité de probabilité multi-dimensionnelles, prenant en compte une variable d'avancement de la combustion, l'enthalpie, voire la fraction de mélange. Dans un premier temps, l'objectif est limité à la mesure simultanée des champs de vitesse et de variable d'avancement de la combustion en condition de paroi adiabatique. Le banc Vestales, conçu pour atteindre cet objectif, est composé d'un injecteur de prémélange réactif (propane-air), équipé d'une grille de turbulence et d'une paroi solide disposée en vis-à-vis. Les mesures de vitesse sont effectuées par Anémométrie Doppler Laser (A.D.L.) et Vélocimétrie par Images de Particules (V.I.P.). Afin de déterminer simultanément la variable d'avancement à partir des images V.I.P., un traitement d'image original a été développé pour l'extraction du contour des fronts de flammes locales (flammelettes). Le couplage des contours actifs aux approches frontières et régions s'avère une méthode robuste et précise permettant une analyse topologique du contour. L'étude est limitée à deux valeurs de l'étirement (100 et 120 s−1) et de richesse (0,89 et 0,99). L'écoulement a été caractérisé par A.D.L. et V.I.P. dans différents plans. Une analyse statistique et fréquentielle de la turbulence est proposée. Les grandeurs caractéristiques de la turbulence sont exprimées en terme de moyenne de Reynolds et de Favre, en particulier le flux turbulent de la variable d'avancement, ce qui autorise la comparaison avec des résultats issus de la théorie asymptotique d'une part et de la simulation numérique bidimensionnelle d'autre part.

La thèse porte sur l'apport de la méthode de Laplace pour l'approximation du filtre bayésien dans des modèles de Markov cachés généraux, c'est-à-dire dans un cadre séquentiel, avec comme domaine d'application privilégié la poursuite de cibles mobiles. A la base, la méthode de Laplace est une méthode asymptotique pour le calcul d'intégrales, c'est-à-dire dans un cadre statique, valide en théorie dès que la fonction à intégrer présente un maximum de plus en plus significatif, lequel apporte la contribution essentielle au résultat. En pratique, cette méthode donne des résultats souvent très précis même en dehors de ce cadre de validité théorique. Les deux contributions principales de la thèse sont les suivantes. Premièrement, nous avons utilisé la méthode de Laplace en complément du filtrage particulaire : on sait en effet que les méthodes de Monte Carlo séquentielles basées sur l'échantillonnage pondéré sont mises en difficulté quand la fonction de pondération (ici la fonction de vraisemblance) est trop localisée, par exemple quand la variance du bruit d'observation est trop faible, or c'est précisément là le domaine où la méthode de Laplace est efficace et justifiée théoriquement, d'où l'idée naturelle de combiner les deux points de vue. Nous proposons ainsi un algorithme associant la méthode de Laplace et le filtrage particulaire, appelé le Laplace particle filter. Deuxièmement, nous avons analysé l'approximation du filtre bayésien grâce à la méthode de Laplace seulement (c'est-à-dire sans génération d'échantillons aléatoires) : il s'agit ici de contrôler la propagation de l'erreur d'approximation d'un pas de temps au pas de temps suivant, dans un cadre asymptotique approprié, par exemple quand le bruit d'observation tend vers zéro, ou quand le bruit d'état et le bruit d'observation tendent conjointement (et à la même vitesse) vers zéro, ou plus généralement quand l'information contenue dans le système tend vers l'infini, avec une interprétation en terme d'identifiabilité.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution des équations de Maxwell dans une structure périodique constituée d'un anneau mince de matériau diélectrique de rayon moyen r à l'intérieur duquel s'enroulent deux nappes de fils hélicoïdaux. L'épaisseur de l'anneau et la distance entre deux fils consécutifs sont du même ordre de grandeur d et nous supposons que d est bien inférieur à la longueur d'onde de l'onde incidente ainsi qu'au rayon moyen r. La présence des deux échelles rend les simulations numériques directes difficiles (il est alors nécessaire de mailler la structure à l'échelle du fil). C'est pourquoi nous construisons des modèles approchés dans lesquels l'anneau périodique est remplacé par une condition de transmission posée sur l'interface médiane S. La résolution du modèle approché par une méthode d'éléments finis est bien moins coûteuse que celle du problème exact car il n'y a plus besoin de mailler les fils. La construction des modèles approchés repose sur un développement asymptotique de la solution en fonction du petit paramètre d. Nous utilisons une méthode couplant les techniques d'homogénéisation et des développements asymptotiques raccordés. Les conditions de transmission approchées se construisent alors à l'aide du développement asymptotique tronqué. Nous accordons une attention particulière à la stabilisation des modèles approchés ainsi qu'à leur justification théorique. Enfin, nous validons nos modèles par des simulations numériques.