Cette thèse traite une version de traitement des singularités en décomposition de domaine. En premier lieu, on a rappelé les principes des méthodes de décomposition de domaine, puis on a rappelé en quelques points la théorie de V.Kondratiev qui permet d'étudier la régularité des problèmes elliptiques dans des domaines à coins. On a introduit la transformée de Mellin qui permet de décrire la régularité H^{s} dans les domaines à coins, ainsi que les types asymptotiques qui interviennent dans la résolution des problèmes elliptiques dans des domaines à singularités conique. La transformée de Mellin est un outil fondamental qui permet de comprendre l'inadéquation entre les problèmes dans les sous domaines et le problème global: tout se joue au niveau des types asymptotiques. Nous avons c! onsidéré deux types de problème: le premier le cas où le domaine global est singulier et non convexe et le second le cas où le domaine global est régulier et dans ce cas on crée des singularités. Nous avons construit un opérateur d'interface d'ordre deux dans la dérivée tangente et nous avons proposer algorithme dont nous étudions la convergence en fonction de ses paramètres et nous avons traité numériquement le problème et on montre que la convergence avec les paramètres optimisés trouvés théoriquement conduit à un gain en vitesse de convergence par rapport à d'autres paramètres.

Dans ce travail de thèse, une stratégie de calcul multi-échelle en dynamique transitoire basée sur la méthode LATIN est proposée. Ce travail fait suite, entre autre, à la thèse de H. Lemoussu qui a appliqué la méthode LATIN dans sa version mono-échelle au cas de la dynamique, ainsi qu'aux avancées plus récentes concernant l'introduction d'une vision à deux échelles au sein de la méthode LATIN pour des calculs statiques et quasi-statiques. Notre but a été d'étendre cette vision à deux échelles au cas de la dynamique transitoire. Une écriture de la stratégie de résolution multi-échelle est proposée pour le cas de la dynamique. Ce travail a permis de mettre en évidence plusieurs particularités de la méthode au sujet des conditions d'admissibilité des quantités macroscopiques en dynamique. L'introduction de l'approche multi-échelle en dynamique a permis d'obtenir l'extensibilité numérique de la méthode de décomposition de domaine pour le cas des interfaces. L'autre volet de cette thèse concerne la prise en compte de variabilité paramétrique en dynamique transitoire. Le but était ici de s'appuyer sur le savoir faire du LMT-Cachan, en matière de technique de calcul multi-résolution pour des problèmes avec contact pour développer une stratégie de calcul multi-résolution multi-échelle en dynamique, apte à prendre en compte les incertitudes, tout en diminuant de façon drastique le coût de calcul par rapport aux approches conventionnelles.

Cette thèse présente quelques idées pour l'accélération des calculs ab initio de systèmes physico-chimiques. Après une introduction générale aux modèles et aux méthodes faite au chapitre 1, le chapitre 2 est consacré à une présentation mathématique de la construction des pseudo-potentiels qui mènent à une réduction considérable de la taille du problème électronique. On s'intéresse ensuite au problème aux valeurs propres généralisé qui constitue l'étape limitante de la résolution du problème électronique. On propose dans le chapitre 3 une méthode de décomposition de domaine de complexité linéaire avec le nombre d'électrons du système en terme de temps CPU et d'encombrement mémoire. Cette méthode, adaptée au traitement des systèmes isolants, remédie à certaines insuffisances des méthodes existantes. Dans le même esprit, le chapitre 4 est dédié à une tentative d'adaptation des méthodes dites de projection pour le traitement des gros systèmes métalliques. Un autre problème est abordé au chapitre 5. Il s'agit de l'application de la méthode des bases réduites au problème électronique. Dans un premier temps, des résultats montrant la faisabilité de l'approche ont été obtenus sur les systèmes H2+ et H2 où la base de discrétisation pour la résolution du problème électronique dépend de la position des noyaux, paramètres du système. Dans un second temps, une adaptation de la méthode des bases réduites pour traiter un problème non linéaire est présentée. Le chapitre 6 présente enfin des conclusions générales sur l'ensemble des approches abordées dans la thèse, ainsi que quelques pistes pour des développements futurs.

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'influence d'une fine couche hétérogène sur le comportement élastique linéaire d'une structure tridimensionnelle.Deux types d'hétérogénéités sont pris en compte : des cavités et des inclusions élastiques. Une étude complémentaire, dans le cas d'inclusions de grande rigidité, a été réalisée en considérant un problème de conduction thermique.Une analyse formelle par la méthode des développements asymptotiques raccordés conduit à un problème d'interface qui caractérise le comportement macroscopique de la structure. Le comportement microscopique de la couche est lui déterminé sur une cellule de base. Le modèle asymptotique obtenu est ensuite implémenté dans un code éléments finis. Une étude numérique permet de valider les résultats de l'analyse asymptotique. / This thesis is devoted to the study of the influence of a thin heterogeneous layeron the linear elastic behavior of a three-dimensional structure. Two types of heterogeneties are considered : cavities and elastic inclusions. For inclusions of high rigidty a further study was performed in the case of a heat conduction problem.A formal analysis using the matched asymptotic expansions method leads to an interface problem which characterizes the macroscopic behavior of the structure. The microscopic behavior of the layer is determined in a basic cell.The asymptotic model obtained is then implemented in a finite element software.A numerical study is used to validate the results of the asymptotic analysis.

Le travail porte sur la description et l¤évaluation de stratégies adaptées pour la simulation de grandes structures avec non-linéarités non équitablement réparties, tel le flambage local dans les structures aéronautiques. Une stratégie dite de « relocalisation nonlinéaire » est présentée, permettant l¤introduction de schémas de résolution non-linéaire par sous-structure au sein des méthodes de décomposition de domaine classiques. Deux types de conditions aux limites sont proposés pour les problèmes locaux indépendants. Les résultats en termes de performances sont présentés sur des exemples de structures représentatives des cas industriels. Enfin, une stratégie de résolution multiéchelle s¤appuyant sur une décomposition micro/macro des champs d¤interface est proposée pour la résolution des problèmes linéarisés obtenus pour les structures de plaques et coques. Son application dans le cadre non-linéaire est présentée, ainsi que les perspectives de recherche ouvertes par ces travaux.

L'objectif de ce travail est de développer des algorithmes de décomposition de domaine pour des équations de l'océanographie. Les méthodes de décomposition de domaine consistent à décomposer un domaine de calcul de grand taille en plusieurs sous-domaines plus petits. Elles s'appliquaient jusqu'à présent à des problèmes stationnaires, nous généralisons ici ce type de méthodes aux problèmes en temps ('Schwarz Waveform Relaxation Methods'). Le principal but de cette nouvelle approche est de simuler des problèmes multiphysiques pour lesquels il est intéressant d'avoir une discrétisation temporelle différente dans chaque sous-domaine. Nous généralisons aux équations d'évolution une méthode récente qui consiste à écrire les conditions transparentes (Conditions aux Limites Absorbantes) puis les approche par des opérateurs différentiels d'ordre 1 dans la direction normale à l'interface et d'ordre 0 ou 1 dans la direction tangentielle. Nous développons cette méthode premièrement pour l'équation de convection diffusion qui traduit notamment l'advection des traceurs (température, salinité, traceurs passifs) dans l'océan. Nous approchons les opérateurs exacts par développement de Taylor, ou par optimisation du taux de convergence. Nous démontrons que les problèmes aux limites introduits sont bien posés. Puis nous montrons la convergence des algorithmes correspondants. Des résultats numériques sont implémentés dans le cas avec ou sans recouvrement et mettent en évidence la réelle efficacité des méthodes optimisées. Nous faisons ensuite un premier pas vers le couplage d'équations en implémentant un algorithme de couplage de l'équation de convection avec l'équation de convection diffusion. Ensuite nous traitons les équations de Saint Venant, moyennes verticales des équations de Navier-Stokes en milieu tournant. Nous introduisons pour ce système un algorithme de décomposition de domaine avec des conditions d'interface qui s'obtiennent par des considérations physiques. Nous montrons que cet algorithme est bien posé puis nous en démontrons la convergence. Des résultats numériques concluants sont également exposés.

Le travail a porté sur le développement d'une méthode de décomposition de domaine pour le calcul de structures électroniques avec les modèles de Hartree-Fock ou DFT (Density Functional Theory). La simulation de ces modèles passe traditionnellement par la résolution d'un problème aux valeurs propres généralisé, dont la complexité cubique est un verrou pour pouvoir traiter un grand nombre d'atomes. La méthode MDD (Multilevel Domain Decomposition), introduite au cours de la thèse de Maxime Barrault (2005), est une alternative à cette étape bloquante. Elle consiste à se ramener à un problème de minimisation sous contraintes où on peut exploiter les propriétés de localisation de la solution. Les résultats acquis au cours de la présente thèse sont :* l'analyse numérique de la méthode : on a montré, sur un problème simplifié présentant les mêmes difficultés mathématiques, un résultat de convergence locale de l'algorithme ; * l'augmentation de la vitesse de calcul et de la précision, pour les répartitions "1D" des sous-domaines, ainsi que la démonstration de la scalabilité jusqu'à $1000$ processeurs; * l'extension de l'algorithme et de l'implémentation aux cas où les sous-domaines sont répartis en "2D/3D".

Cette thèse est consacrée à étudier et à améliorer les modèles mathématiques et les méthodes utilisées pour les modèles de solvatation implicite en chimie quantique. Ce manuscrit est composée de deux parties. Dans la première partie où nous analysons l'interface soluté-solvant, nous donnons, pour la première fois, une caractérisation complète de la surface moléculaire lisse, c'est-à-dire la surface exclue du solvant (SES). À partie de cette caractérisation, nous développons un algorithme de maillage par morceaux pour les surfaces moléculaires différentes, en particulier pour la SES, en utilisant la triangulation à front avançant. De plus, la cavité de la SES (la région entourée par la SES) est une description plus précise de la cavité de soluté. Dans la deuxième partie, nous construisons donc un modèle de continuum polarisable basé (PCM) sur la SES, dans lequel le paramètre de permittivité diélectrique est continu. Le problème électrostatique de ce modèle consiste à résoudre une équation de Poisson définie sur R3. Nous développons ensuite une méthode de Schwarz particulière, où seules les équations locales restreintes à des boules doivent être résolues. Enfin, nous étudions le modèle de solvatation de Poisson-Boltzmann, un autre modèle de solvatation implicite, qui tient compte à la fois de la permittivité diélectrique et de la force ionique du solvant. Une méthode de Schwarz similaire est proposée pour résoudre l'équation de Poisson-Boltzmann associée en résolvant des équations locales restreintes aux boules comme pour le PCM basé sur la SES. / This thesis is devoted to study and improve the mathematical models and methods used in implicit solvation models in quantum chemistry. The manuscript is composed of two parts. In the first part where we analyze the solute-solvent interface, we give, for the first time, a complete characterization of the so-called “smooth” molecular surface, i.e., the solvent excluded surface (SES). Based on this characterization, we develop a piecewise meshing algorithm for different molecular surfaces, especially the SES, using the advancing-front triangulation. Further, it has been pointed out in the literature that the SES-cavity (the region enclosed by the SES) is a more accurate description of the solute cavity. In the second part, we therefore construct an SES-based polarizable continuum model (PCM), in which the dielectric permittivity parameter is continuous. The electrostatic problem of this model involves solving a Poisson equation defined in R3. We then develop a particular Schwarz domain decomposition method where only local equations restricted to balls need to be solved. Finally, the Poisson-Boltzmann solvation model, another implicit solvation model, is also investigated, which takes into account both the dielectric permittivity and the ionic strength of the solvent. A similar Schwarz domain decomposition method is proposed to solve the associated Poisson-Boltzmann equation by solving local equations restricted to balls as it is for the SES-based PCM.

Les schémas de calcul déterministes permettent une modélisation à moindre coût du comportement de la population de neutrons en réacteur, mais sont traditionnellement construits sur des approximations (décomposition réseau/cœur, homogénéisation spatiale et énergétique…). La thèse revient sur une partie de ces sources d’erreur, de façon à rapprocher la méthode déterministe d’un schéma de référence. L’objectif est de profiter des architectures informatiques modernes (HPC) pour résoudre le problème neutronique à l’échelle du cœur 3D, tout en préservant l’opérateur de transport et une partie des hétérogénéités de la géométrie. Ce travail est réalisé au sein du solveur cœur Sn Minaret de la plateforme de calcul Apollo3® pour des réacteurs à neutrons rapides.Une méthode de décomposition de domaine en espace, est retenue. L'idée consiste à décomposer un problème de grande dimension en sous-problèmes "indépendants" de taille réduite. La convergence vers la solution globale est assurée par échange de flux angulaires entre sous-domaines au cours d'un processus itératif. En favorisant un recours massif au parallélisme, les méthodes de décomposition de domaine contribuent à lever les contraintes en mémoire et temps de calcul. La mise en place d'un parallélisme hybride, couplant les technologies MPI et OpenMP, est en particulier propice au passage sur supercalculateur. Une méthode d'accélération de type Coarse Mesh Rebalance  est ajoutée pour pallier à la pénalité de convergence constatée sur la méthode de décomposition de domaine. Le potentiel du nouveau schéma est finalement mis en évidence sur un coeur CFV 3D, construit en préservant l'hétérogénéité des assemblages absorbants. / Deterministic calculation schemes are devised to numerically solve the neutron transport equation in nuclear reactors. Dealing with core-sized problems is very challenging for computers, so much that the dedicated core codes have no choice but to allow simplifying assumptions (assembly- then core-scale steps…). The PhD work aims to correct some of these ‘standard’ approximations, in order to get closer of reference calculations: thanks to important increases in calculation capacities (HPC), nowadays one can solve 3D core-sized problems, using both high mesh refinement and the transport operator. Developments were performed inside the Sn core solver Minaret, from the new CEA neutronics platform Apollo3® for fast neutrons reactors of the CFV-kind.This work focuses on a Domain Decomposition Method in space. The fundamental idea involves splitting a core-sized problem into smaller and 'independent' subproblems. Angular flux is exchanged between adjacent subdomains. In doing so, all combined subproblems converge to the global solution at the outcome of an iterative process. Domain decomposition is well-suited to massive parallelism, allowing much more ambitious computations in terms of both memory requirements and calculation time. An hybrid MPI/OpenMP parallelism is chosen to match the supercomputers architecture. A Coarse Mesh Rebalance accelration technique is added to balance the convergence penalty observed using Domain Decomposition. The potential of the new calculation scheme is demonstrated on a 3D core of the CFV-kind, using an heterogeneous description of the absorbent rods.

Au cours des dernières décennies, les plasmas créés par une décharge micro-ondes ont de plusen plus attiré l’attention de la communauté scientifique aérospatiale sur le sujet du contrôled’écoulements. En effet, il a été démontré expérimentalement que le dépôt d’énergie obtenu parle plasma peut modifier les propriétés aérodynamiques de l’écoulement autour d’un objet telleque la trainée de frottement. Or, la conception et l’optimisation de ces actionneurs plasma entant que technique de contrôle d’écoulements nécessitent une compréhension approfondie de laphysique sous-jacente que les seules expériences sont incapables de fournir.Dans ce contexte, nous nous intéressons à la modélisation numérique de l’interaction desondes électromagnétiques avec un plasma et le gaz afin de mieux comprendre la nature desdécharges micro-ondes et leur applicabilité. La modélisation de ces phénomènes présente desdifficultés importantes en raison du couplage multi-physique et donc de la multitude des échellesspatiales et temporelles qui apparaissent. Ce travail de thèse traite des questions de physiqueet de mathématiques appliquées soulevées par la modélisation numérique de ces plasmas.La première partie du travail se focalise sur les questions de validité du modèle physique duclaquage micro-onde fondé sur l’approximation de champ effectif local. En raison des gradientsde densité du plasma très élevés, la validité du concept de champ effectif local peut être misen doute. Pour cela, un modèle fluide du second ordre est développé en incluant une equationd’énergie électronique non-locale. Cette modélisation permet de décrire de façon plus précisele dépôt d’énergie par plasma induisant la formation d’ondes de choc dans le gaz. Une analysedimensionnelle du système d’équations fluide permet de caractériser la non-localité en espace dubilan d’énergie électronique en fonction du champ électrique réduit et de la fréquence de l’onderéduite. Une discussion est également menée sur d’autres approximations des coefficients detransport électronique. Dans une deuxième partie, la construction et l’analyse d’une méthode multi-échelles derésolution numérique du problème de propagation des ondes électromagnétiques dans le plasmasont réalisées. Il s’agit du couplage entre les équations de Maxwell dans le domaine temporel avecune équation de quantité de mouvement pour les électrons. L’approche s’appuie sur la méthodede décomposition de domaine de type Schwartz, basée sur une formulation variationnelle duschéma de Yee et utilisant deux niveaux de grilles Cartésiennes emboitées. Une grille locale,appelée patch, est utilisée pour calculer de manière itérative la solution dans la région du plasmaoù une meilleure précision est requise. La méthode proposée permet le raffinement local etdynamique du maillage spatial tout en conservant l’énergie du système. Une analyse théorique dela convergence de l’algorithme pour les résolutions temporelles explicite et implicite est égalementréalisée. Dans la dernière partie, des simulations numériques sur le claquage micro-ondes et la formation de structures filamentaires de plasma sont conduites. Les effets de différents types d’approximations sur le modèle physique du plasma sont analysés. Puis, ces expériences numériques démontre la précision et l’efficacité, en terme de temps de calcul, de la méthode multi-échelleproposée. Enfin, on étudie les effets de chauffage du gaz sur la formation et l’entretien de structures filamentaires dans l’air à pression atmosphérique. Pour cela, le modèle micro-onde-plasma développé est couplé avec les équations de Navier-Stokes instationnaires pour les écoulements compressibles. Les simulations montrent des caractéristiques intéressantes de la dynamique deces structures plasma pendant le processus de chauffage du gaz, qui sont en accord étroit avec les données expérimentales. / In recent decades, microwave discharge plasmas have attracted increasing attention of aerospace scientific community to the subject of aerodynamic flow control because of their capability of sub- stantially modifying the properties of the flow around bodies by effective energy deposition. The design and optimization of these plasma actuators as flow control technique require a compre- hensive understanding of the complex physics involved that the sole experiments are incapable to provide.In this context, we have interest in the numerical modeling of the mutual interaction of elec- tromagnetic waves with plasma and gas in order to better understand the nature of microwave discharges and their applicability. A challenging problem arises when modeling such phenomena because of the coupling of different physics and therefore the multiplicity of spatial and tempo- ral scales involved. A solution is provided by this thesis work which addresses both physics and applied mathematics questions related to microwave plasma modeling.The first part of this doctorate deals with validity matters of the physical model of microwave breakdown based on the local effective field concept. Because of large plasma density gradients, the local effective field approximation is questionable and thus a second-order plasma fluid model is developed, where the latter approximation is replaced by the local mean energy approximation. This modeling approach enables to take into account the non-locality in space of the electron energy balance that provides a more accurate description of the energy deposition by microwave plasma leading to the shock waves formation into the gas. A dimensionless analysis of the plasma fluid system is performed in order to theoretically characterize the non-locality of the introduced electron energy equation as function of the reduced electric field and wave frequency. It also discusses other approximations related to the choice and method of calculation of electron transport coefficients.Concerning the mathematical aspects, the thesis work focuses on the design and the analysis of a multiscale method for numerically solving the problem of electromagnetic wave propagation in microwave plasma. The system of interest consists of time-dependent Maxwell’s equations coupled with a momentum transfer equation for electrons. The developed approach consists of a Schwartz type domain decomposition method based on a variational formulation of the standard Yee’s scheme and using two levels of nested Cartesian grids. A local patch of finite elements is used to calculate in an iterative manner the solution in the plasma region where a better precision is required. The proposed technique enables a conservative local and dynamic refinement of the spatial mesh. The convergence behavior of the iterative resolution algorithm both in an explicit and implicit time-stepping formulation is then analyzed.In the last part of the doctorate, a series of numerical simulations of microwave breakdown and the filamentary plasma array formation in air are performed. They allow to study in detail the consequences of the different types of physical approximations adopted in the plasma fluid model. Then, these numerical experiments demonstrate the accuracy and the computational efficiency of the proposed patch correction method for the problem of interest. Lastly, a numerically investigation of the effects of gas heating on the formation and sustaining of the filamentary plasma array in atmospheric-pressure air is carried out. For doing this, the developed microwave-plasma model is coupled with unsteady Navier-Stokes equations for compressible flows. The simulations provide interesting features of the plasma array dynamics during the process of gas heating, in close agreement with experimental data.