Dans ce document, nous étudions l’évitabilité de différentes formes de répétitions dans les mots. En particulier 3 des 6 chapitres sont dédiés aux répétitions abéliennes en lien notamment avec deux questions d’Erdős de 1957 et 1961. Nous commençons par montrer qu’il existe un algorithme décidant, sous certaines conditions, si un mot morphique évite des puissances abéliennes. Cet algorithme élargit la classe sur laquelle les précédents algorithmes pouvaient décider. Une généralisation de cet algorithme nous permet de montrer que les longs carrés abéliens sont évitables sur l’alphabet ternaire et que les carrés additifs sont évitables sur Z2 . Le premier résultat répond à une question ouverte de Mäkelä datant de 2003 alors que le deuxième rappelle la question ouverte de 1994 concernant l’évitabilité des carrés additifs sur Z.Une autre généralisation de notre algorithme permet d’étudier l’évitabilité des motifs au sens abélien. Nous montrons que les motifs binaires de longueur supérieure à 14 sont évitables sur l’alphabet binaire, améliorant la précédente borne de 118.Nous donnons des conditions suffisantes pour qu’un morphisme soit sans longues puissances nème k-abéliennes. Ce résultat nous permet de calculer, pour tout k ≥ 3, le nombre minimum de carrés k-abéliens qu’un mot binaire infini doit contenir en facteur. Il permet aussi de montrer que les longs carrés 2-abéliens sont évitables sur l’alphabet binaire et qu’il existe un mot ternaire qui ne contient qu’un seul carré 2-abélien en tant que facteur.Enfin, nous proposons une classification complète des formules binaires en fonction de la taille d’alphabet qu’il faut pour les éviter et du taux de croissance (exponentiel ou polynomial) du langage les évitant. / In this document, we study the avoidability of different kind of repetitions in words. We firstshow that under some conditions one can decide whether a morphic word avoids abelian n-thpowers. This algorithm can decide over a wider class of morphism than the previousalgorithms. We generalize this algorithm and use it to show that long abelian squares areavoidable over the ternary alphabet and that additive squares are avoidable over Z2 . The firstresult answers a weak version of a question formulated by Mäkelä in 2003 and the second oneis related to an open question from 1994 about the avoidability of additive squares over Z.Another generalization of this algorithm can be used to study avoidability of patterns in theabelian sense. In particular, we show that binary patterns of length more than 14 areavoidable over the binary alphabet in the abelian sense. This improves considerably theprevious bound of 118.We give sufficient conditions for a morphism to be long k-abelian n-th power-free. This resultallows us to compute for every k ≥ 3 the number of different k-abelian squares that a binaryword must contain. We prove that long 2-abelian squares are avoidable over the binaryalphabet and that over the ternary alphabet there exists a word that contains only one 2-abelian square.We also give a complete classification of binary formulas based on the size of the smallestalphabet over which they are avoidable and on the growth (exponential or polynomial) of theassociated language.

Nous étudions dans cette thèse différents problèmes d'évitabilité des répétitions dans les mots infinis. Soulevée par Thue et motivée par ses travaux sur les mots sans carrés, la problématique s'est développée au cours du XXe siècle, et est aujourd'hui devenue un des grands domaines de recherche en combinatoire des mots. En 1972, Dejean proposa une importante conjecture, dont la validation étape par étape s'est terminée récemment (2009). La conjecture concerne le seuil des répétitions d'un alphabet, i.e., la borne inférieure des exposants évitables sur cet alphabet. La notion de seuil, comme frontière entre évitabilité et non-évitabilité d'un ensemble donné de mots, est le fil directeur de nos travaux. Nous nous intéressons d'abord à une généralisation du seuil des répétitions (nous donnons des encadrements de sa valeur). Cette notion permet d'ajouter, pour décrire l'ensemble des répétitions à éviter, au paramètre de l'exposant, celui de la longueur des répétitions. Puis, nous étudions des problèmes d'existence de mots dans lesquels, simultanément, certaines répétitions sont interdites et d'autres sont forcées. Nous répondons, pour l'alphabet ternaire, à la question : quels réels sont l'exposant critique d'un mot infini sur un alphabet fixé? Nous introduisons ensuite une notion de haute répétitivité, et établissons une description partielle des couples d'exposants paramètrant une double contrainte de haute répétitivité et d'évitabilité. Pour finir, nous utilisons des résultats et techniques issus de ces problématiques pour résoudre une question de coloration de graphes : nous introduisons un seuil des répétitions, calqué sur celui connu pour les mots, et donnons sa valeur pour deux classes de graphes, les arbres et les graphes de subdivisions. / In this thesis we study various problems on repetition avoidance in infinite words. Raised by Thue and motivated by his work on squarefree words, the topic developed during the 20th century, and has nowadays become a principal area of research in combinatorics on words. In 1972, Dejean proposed an important conjecture whose verification in steps was completed recently (2009). The conjecture concerns the repetition threshold for an alphabet, i.e., the infimum of the avoidable exponents for that alphabet. The notion of threshold as a borderline between avoidability and unavoidability for a given set of words is the guiding line of our work. First, we focus on a generalization of the repetition threshold. This concept allows us to include, in addition to the exponent, the length of the repetitions as a parameter in the description of the set of repetitions to avoid. We obtain various bounds in that respect. We then study existence problems for words in which simultaneously some repetitions are forbidden, and others are forced. For the ternary alphabet, we answer the question: what real numbers are the critical exponent of some infinite word over a given alphabet? Also, we introduce a notion of highly repetitive words and give a partial description of the pairs of exponents which parameterize the existence of words both highly repetitive and repetition-free. Finally, we use results and techniques stemming from those problems to solve a question on graph colouring: we introduce a repetition threshold adapted from the thresholds we know for words, and give its value for two classes of graphs, namely, trees and subdivision graphs.