En 2003, Kechris, Pestov et Todorcevic démontrèrent que la structure de certains espaces métriques - dits ultrahomogènes - est intimement liée au comportement combinatoire de la classe de leurs sous-espaces métriques finis. La présente thèse a pour but d'explorer les différents aspects de cette connexion. Dans la première partie, la notion d'ultrahomogénéité métrique et les espaces ultrahomogènes complets séparables les plus remarquables, à savoir la sphère unité S_H de l'espace de Hilbert, l'espace de Baire et la sphère d'Urysohn S_U (à isométrie près, le seul espace complet séparable ultrahomogène et universel pour la classe des espaces métriques séparables de diamètre inférieur à 1) sont présentés. Dans la seconde partie, la notion de classe de Ramsey d'espaces métriques finis ordonnés est introduite et mise en lien avec les propriétés dynamiques des groupes d'isométries des espaces ultrahomogènes. Une importance particulière est attachée au théorème de Nesetril et à sa conséquence (originalement due à Pestov) selon laquelle toute action continue du groupe des autoisométries de S_U sur un compact admet un point fixe. Des résultats analogues sont ensuite obtenus dans d'autres cas, en particulier les espaces ultramétriques et l'espace de Baire. La troisième partie est quant à elle axée sur la notion de stabilité par oscillations. Pour la sphere de l'espace de Hilbert, la stabilité par oscillations n'est pas satisfaite ; il sagit d'un résultat essentiel en analyse fonctionnelle dû à Odell et Schlumprecht et équivalent à l'existence d'une application uniformément continue f de S_H dans [0,1] qui ne stabilise (ne devient presque constante) sur aucune copie isométrique de S_H dans S_H. En revanche, pour la majorité des autres espaces séparables ultrahomogènes, rien ne permet de démontrer ou de réfuter la stabilité par oscillations. C'est à ce problème qu'est consacré l'essentiel de la dernière partie. Cela conduit à la caractérisation complète des espaces ultramétriques séparables ultrahomogènes stables par oscillations et à une solution partielle dans le cas de la sphère d'Urysohn S_U.

Dans ce document, nous étudions l’évitabilité de différentes formes de répétitions dans les mots. En particulier 3 des 6 chapitres sont dédiés aux répétitions abéliennes en lien notamment avec deux questions d’Erdős de 1957 et 1961. Nous commençons par montrer qu’il existe un algorithme décidant, sous certaines conditions, si un mot morphique évite des puissances abéliennes. Cet algorithme élargit la classe sur laquelle les précédents algorithmes pouvaient décider. Une généralisation de cet algorithme nous permet de montrer que les longs carrés abéliens sont évitables sur l’alphabet ternaire et que les carrés additifs sont évitables sur Z2 . Le premier résultat répond à une question ouverte de Mäkelä datant de 2003 alors que le deuxième rappelle la question ouverte de 1994 concernant l’évitabilité des carrés additifs sur Z.Une autre généralisation de notre algorithme permet d’étudier l’évitabilité des motifs au sens abélien. Nous montrons que les motifs binaires de longueur supérieure à 14 sont évitables sur l’alphabet binaire, améliorant la précédente borne de 118.Nous donnons des conditions suffisantes pour qu’un morphisme soit sans longues puissances nème k-abéliennes. Ce résultat nous permet de calculer, pour tout k ≥ 3, le nombre minimum de carrés k-abéliens qu’un mot binaire infini doit contenir en facteur. Il permet aussi de montrer que les longs carrés 2-abéliens sont évitables sur l’alphabet binaire et qu’il existe un mot ternaire qui ne contient qu’un seul carré 2-abélien en tant que facteur.Enfin, nous proposons une classification complète des formules binaires en fonction de la taille d’alphabet qu’il faut pour les éviter et du taux de croissance (exponentiel ou polynomial) du langage les évitant. / In this document, we study the avoidability of different kind of repetitions in words. We firstshow that under some conditions one can decide whether a morphic word avoids abelian n-thpowers. This algorithm can decide over a wider class of morphism than the previousalgorithms. We generalize this algorithm and use it to show that long abelian squares areavoidable over the ternary alphabet and that additive squares are avoidable over Z2 . The firstresult answers a weak version of a question formulated by Mäkelä in 2003 and the second oneis related to an open question from 1994 about the avoidability of additive squares over Z.Another generalization of this algorithm can be used to study avoidability of patterns in theabelian sense. In particular, we show that binary patterns of length more than 14 areavoidable over the binary alphabet in the abelian sense. This improves considerably theprevious bound of 118.We give sufficient conditions for a morphism to be long k-abelian n-th power-free. This resultallows us to compute for every k ≥ 3 the number of different k-abelian squares that a binaryword must contain. We prove that long 2-abelian squares are avoidable over the binaryalphabet and that over the ternary alphabet there exists a word that contains only one 2-abelian square.We also give a complete classification of binary formulas based on the size of the smallestalphabet over which they are avoidable and on the growth (exponential or polynomial) of theassociated language.

Le but de ce mémoire est d'effectuer un survol de mes travaux effectués depuis janvier 2007. Le sujet d'étude se situe à l'une des intersections entre la combinatoire, la dynamique topologique et la logique via le formalisme des structures ultrahomogènes et de la théorie de Fraïssé. Ce domaine a récemment connu un essor considérable grâce à deux contributions majeures par Kechris, Pestov et Todorcevic, et par Kechris et Rosendal. Mon travail part de la première de ces contributions et se concentre autour des deux thèmes suivants : Théorie de Ramsey structurale et dynamique topologique des groupes de transformation associés.