In this work we study peridynamics, a non-local model in continuum me- chanics introduced by Silling (2000). The non-locality is reflected in the fact that points at finite distance exert a force upon each other. If, however, these points are more distant than a characteristic length called horizon, it is customary to assume that they do not interact. We compare peridynamics with elasticity, especially in the limit of small horizon. We restrict ourselves, concerning this vanishing non-locality, to variational formulation of time- independent processes. We compute a Γ-limit for homogeneous and isotropic solid in linear peridynamics. In some cases this Γ-limit coincides with linear elasticity and the Poisson ratio is equal to 1 4. We conclude by clarifying why in some situation the computed Γ-limit can differ from the linear elasticity. 1

Ce travail porte principalement sur l'étude mathématique de méthodes numériques<br />pour l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales utilisées en élasticité non linéaire. Ces mé-<br />thodes couplent, au niveau mésoscopique, un matériau hyperélastique hétérogène ou un réseau de<br />liens en interaction, avec, au niveau macroscopique, un modèle d'élasticité non linéaire. La loi de<br />constitution macroscopique est obtenue par la résolution de problèmes mésoscopiques, continus ou<br />discrets. Aux chapitres 1, 2 et 3 on introduit les modèles mécaniques et les outils mathématiques et<br />numériques utilisés par la suite. Aux chapitres 5, 6 et 7, on présente une méthode directe de réso-<br />lution numérique du comportement homogénéisé d'un matériau composite périodique en grandes<br />déformations et un cadre général pour l'analyse des méthodes d'homogénéisation numérique. On<br />démontre notamment la convergence de méthodes numériques classiques sous des hypothèses gé-<br />nérales ainsi qu'un résultat de correcteur numérique. On étend enfin les résultats au couplage avec<br />des méthodes de sur-échantillonnage. Aux chapitres 8, 9 et 10, nous considérons une modélisation<br />mésoscopique par un système discret. Nous étudions d'abord un problème de G-fermeture pour un<br />réseau de résistances. Au chapitre suivant nous démontrons un résultat de représentation intégrale<br />pour l'énergie d'un système de spins en interaction. Enfin, nous dérivons un modèle hyperélastique<br />continu à partir d'un réseau stochastique de points en interaction, et l'appliquons pour démontrer<br />la convergence de modèles discrets développés en mécanique. Dans une dernière partie, chapitre 11,<br />nous présentons une nouvelle méthode numérique pour résoudre des problèmes d'interaction fluide<br />structure, où la structure est décrite par une coque tridimensionnelle.

In this thesis we study the asymptotic behavior of bi-Lipschitz diffeomorphic weighted Riemannian manifolds with techniques from the theory of homogenization. To do so we re-interpret the problem as different induced metrics on one reference manifold. Our analysis is twofold. On the one hand we consider second-order uniformly elliptic operators on weighted Riemannian manifolds. They naturally emerge when studying spectral properties of the Laplace-Beltrami operator on families of manifolds with rapidly oscillating metrics. We appeal to the notion of H-convergence introduced by Murat and Tartar. In our first main result we establish an H-compactness result that applies to elliptic operators with measurable, uniformly elliptic coefficients on weighted Riemannian manifolds. We further discuss the special case of locally periodic coefficients and study the asymptotic spectral behavior of Euclidean submanifolds with rapidly oscillating geometry. On the other hand we study integral functionals featuring non-convex integrands with non-standard growth on the Euclidean space in a stochastic framework. Our second main result is a Γ-convergence statement under certain assumptions on the statistics of their integrands. Such functionals provide a tool to study the Dirichlet energy on non-uniformly bi-Lipschitz diffeomorphic manifolds. We show Mosco-convergence of the Dirichlet energy and deduce conditions for the spectral behavior of weighted Riemannian manifolds with locally oscillating random structure, especially in the case of Euclidean submanifolds.:Introduction Outline Notation I. Preliminaries 1. Convergence of Riemannian Manifolds 1.1. Hausdorff-Convergence 1.2. Gromov-Hausdorff-Convergence 1.3. Spectral Convergence 1.4. Mosco-Convergence 2. Homogenization 2.1. Periodic Homogenization 2.2. Stochastic Homogenization II. Uniformly bi-Lipschitz Diffeomorphic Manifolds 3. Uniformly Elliptic Operators on a Riemannian Manifold 3.1. Setting 3.2. Main Results 3.3. Strategy of the Proof and Auxiliary Results 3.4. Identi cation of the Limit via Local Coordinate Charts 3.5. Examples 3.6. Proofs 4. Application to Uniformly bi-Lipschitz Diffeomorphic Manifolds 4.1. Setting and Results 4.2. Examples 4.3. Proofs III. Rapidly Oscillating Random Manifolds 5. Integral Functionals with Non-Uniformal Growth 5.1. Setting 5.2. Main Results 5.3. Strategy of the Proof and Auxiliary Results 5.4. Proofs 6. Application to Rapidly Oscillating Riemannian Manifolds 6.1. Setting and Results 6.2. Examples 6.3. Proofs Summary and Discussion Bibliography List of Figures

Nous étudions le problème de rupture des systèmes de couches minces soumis à contraintes de tension dues aux chargements mécaniques ou à d'autres phénomènes élastiques, associés e.g. à couplages thérmiques où humidité. Dans ces systèmes, chargements homogènes conduisent à la nucléation de fissures interagissantes transverses et de décollement, produisant l'auto-structuration de réseaux de fissures quasi-périodiques et la propagation de patterns complexes qui montrent caractéristiques morphologiques robustes. On s'intéresse à décrire l'évolution de ces fissures, en prenant en compte les phases de nucléation, sélection du trajet de fissure et évolution irreversible en espace et en temps. Les résultats disponibles en littérature se basent sur des modèles phénoménologiques, dépourvus d'une dérivation rigoureuse, et sont limités à des cas géométriquement simples. Dans ces derniers, le problème de nucléation, les mécanismes de sélection du chemin de fissuration et l'évolution non régulière en espace et en temps ne sont pas explorés, à cause des limitations de la théorie classique de la mécanique de la rupture. Nous proposons la dérivation d'une théorie variationnelle asymptotique, bidimensionnelle et globale, à partir d'un problème tridimensionnel d'élasticité fragile dans le cadre de l'approche variationnelle à la mécanique de la rupture, en faisant intervenir une notion de convergence variationnelle. Ensuite, nous introduisons une régularisation du problème faible de rupture par le moyen d'un modèle en gradient d'endommagement, adapté à la solution numérique via la méthode des éléments finis. Le travail proposé permet d'obtenir une compréhension des mécanismes couplés élastiques, de fissuration et décollement; d'établir un modèle asymptotique, réduit et variationnel, valable pour des systèmes de couches minces suffisamment riche pour capturer les mécanismes physiques essentiels; et d'aborder une étude détaillé des expériences numériques qui révèlent les patterns complexes de fissures observés dans les systèmes de couches minces.