To αντικείμενο μελέτης της εργασίας αυτής είναι κατά μείζονα λόγο το θεώρημα Tarski-Seidenberg. Στο πρώτο κεφάλαιο μελετάμε το κίνητρο που ώθησε τον Tarski σε αυτή την έρευνα, εξιστορούμε την πορεία της ιδέας του από την ανακάλυψη μέχρι τη δημοσίευση και έπειτα προσπαθούμε να σκιαγραφήσουμε ευκρινώς τη συνολική επίδραση του θεωρήματος στα μαθηματικά και όχι μόνο. Για την ακρίβεια, αναφερόμαστε στην πληρότητα της Ευκλείδειας γεωμετρίας ως συνέπεια του θεωρήματος, στη συμβολή του θεωρήματος στην ανάπτυξη της ημιαλγεβρικής γεωμετρίας. Στο δεύτερο κεφάλαιο αποδικνύεται το εν λόγω θεώρημα, δηλαδή ότι η πρωτοβάθμια θεωρία των πραγματικώς κλειστών σωμάτων είναι πλήρης, με χρήση των θεωρημάτων Sturm και Sylvester. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία διδακτική έρευνα με φοιτητές του τμήματος με σκοπό τη διάγνωση πιθανών γνωστικών κενών των φοιτητών σε θέματα της θεωρίας πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές. / To study object of this work is a fortiori the Tarski-Seidenberg theorem. In the first chapter we study Tarski's motivation in this research, we recount the progress of the idea from ​​the discovery until the publication, and then we try to outline clearly the overall effect of the theorem in mathematics and beyond. In fact, we refer to the completeness of Euclidean geometry as a consequence of the theorem, in its contribution to the development of semialgebraic geometry. In the second chapter we prove the Tarski-Seidenberg theorem, namely that the first order theory of real closed fields is actually complete, using the Sturm and Sylvester theorems. In the third chapter we present a teaching research on students of the Department in purpose to diagnose potential knowledge gaps of the students concerning the theory of polynomials with real coefficients.