Στην εργασία αυτή, αναφερθήκαμε στους εξελικτικούς αλγορίθμους, στον διαφορο-εξελικτικό αλγόριθμο ενώ μελετήσαμε πιο αναλυτικά τον γενετικό αλγόριθμο (θεωρητική και μαθηματική μελέτη). Στην συνέχεια, αναλύθηκαν τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα, η δομή τους, το θεωρητικό τους υπόβαθρο και έγινε μια μαθηματική προσέγγισή τους. Το επόμενο αντικείμενο αυτής της εργασίας ήταν η μελέτη και ανάλυση των ασαφών γνωστικών απεικονίσεων (θεωρητικά, μαθηματικά, χρησιμότητά τους σε διάφορα προβλήματα). Στα επόμενα κεφάλαια γίνεται αναφορά σε συγκεκριμένα παραδείγματα εκπαίδευσης και βελτιστοποίησης του μοντέλου των ασαφών γνωστικών απεικονίσεων και των τεχνητών νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιώντας τον γενετικό αλγόριθμο και εξελικτικές έννοιες. / In this work, we discussed the evolutionary algorithms, the differentiation evolutionary algorithm and studied in more detail the genetic algorithm (theoretical and mathematical study). Then analyzed the artificial neural networks, their structure, their theoretical background and became a mathematical approach. The next object of this work was the study and analysis of fuzzy cognitive representations (in theory, mathematics, useful in different problems). The following chapters refer to specific examples of training and optimization of fuzzy model of cognitive imaging and artificial neural networks using genetic algorithm and evolutionary concepts.

Το κύριο στοιχείο της διατριβής είναι οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζονται οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι. Οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι είναι υβριδικά σχήματα που συνδυάζουν τους Εξελιτκικούς Αλγορίθμους με μεθόδους τοπικής αναζήτησης. Οι Μιμιδικοί Αλγόριθμοι συγκρίθηκαν με τους Εξελικτικούς Αλγορίθμους σε πληθώρα προβλημάτων ολικής βελτιστοποίησης και είχαν καλύτερα αποτελέσματα. Στο δεύτερο μέρος μελετήθηκαν προβλήματα μη γραμμικής δυναμικής. Αυτά ήταν η εκτίμηση της περιοχής ευστάθειας διατηρητικών απεικονίσεων, η ανίχνευση συντονισμών και ο υπολογισμός περιοδικών τροχιών. Τα αποτελέσματα ήταν ικανοποιητικά. / The main objective of the thesis was the study of Evolutionary Algorithms. At the first part, Memetic Algorithms were introduced. Memetic Algorithms are hybrid schemes that combine Evolutionary Algorithms and local search methods. Memetic Algorithms were compared to Evolutionary Algorithms in various problems of global optimization and they had better performance. At the second part, problems from nonlinear dynamics were studied. These were the estimation of the stability region of conservative maps, the detection of resonances and the computation of periodic orbits. The results were satisfactory.

Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή και μελέτη συνολοθεωρητικών λύσεων της κβαντικής εξίσωσης Yang-Baxter (απεικονίσεις Yang-Baxter) και η συσχέτισή τους με την ολοκληρωσιμότητα διακριτών δυναμικών συστημάτων. Οι κατασκευές απεικονίσεων Yang-Baxter που προτείνονται προέρχονται από την αναπαραγοντοποίηση ισχυρών ζευγών Lax εξαρτώμενων από μια φασματική παράμετρο. Οι αντίστοιχοι πίνακες Lax προκύπτουν από την συμπλεκτική εμφύλλωση διωνυμικών πινάκων εφοδιασμένων με μια κατάλληλη δομή Poisson (αγκύλη Sklyanin). Στην περίπτωση των 2x2 πινάκων Lax, οι αντίστοιχες απεικονίσεις είναι συμπλεκτικές, τετράρητες και ταξινομούνται με βάση τον μεγιστοβάθμιο όρο του πίνακα Lax ως προς την ισοδυναμία απεικονίσεων Yang-Baxter. Εκφυλισμένες απεικονίσεις Yang-Baxter, οι οποίες σχετίζονται με γνωστές ολοκληρώσιμες εξισώσεις, προκύπτουν από όρια των τετράρητων (μη-εκφυλισμένων). Η σύνδεση μεταξύ απεικονίσεων Yang-Baxter και ολοκληρωσιμότητας επιτυγχάνεται θεωρώντας περιοδικά προβλήματα αρχικών τιμών σε δισδιάστατα πλέγματα. Σε κάθε απεικόνιση Yang-Baxter αντιστοιχεί μια οικογένεια αντιμεταθετικών απεικονίσεων μεταφοράς στο πλέγμα (transfer maps) που διατηρούν αναλλοίωτο το φάσμα του μονόδρομου πίνακά τους. Η αγκύλη Sklyanin εξασφαλίζει την ενέλιξη των ολοκληρωμάτων που προκύπτουν από το φάσμα του μονόδρομου πίνακα. Κατά αυτόν τον τρόπο από τις συμπλεκτικές απεικονίσεις Yang-Baxter που κατασκευάσαμε παράγονται ολοκληρώσιμες απεικονίσεις μεταφοράς. Τέλος, η μελέτη μας επεκτείνεται σε συστήματα πεπλεγμένων απεικονίσεων Yang-Baxter (entwining Yang-Baxter maps) . / The purpose of this thesis is the construction and the study of set theoretical solutions of the quantum Yang-Baxter equation (Yang-Baxter maps) and the connection with the integrability of discrete integrable systems. The constructions that we present are derived from the re-factorization of strong Lax pairs depending on a spectral parameter. The corresponding Lax matrices are obtained from the symplectic foliation of binomial matrices equipped with an appropriate Poisson bracket (Sklyanin bracket). In the case of 2x2 binomial Lax matrices, the corresponding maps are symplectic, quadrirational and can be classified with respect to the Yang-Baxter equivalence. Degenerate Yang-baxter maps constructed as limits of the quadrirational maps, are connected to known integrable equations. The connection between Yang-Baxter maps and integrability is achieved by considering periodic initial value problems on two dimensional lattices. For any Yang-Baxter map that admits a Lax matrix, there is a family of commuting transfer maps which preserve the spectrum of their monodromy matrix. The Skllyanin bracket ensures that the integrals obtained from the spectrum of the monodromy matrix are in involution. In this way, integrable transfer maps are generated from the symplectic Yang-Baxter maps that we constructed. Finally, our study is extended for systems of entwining Yang-Baxter maps.

Το κύριο αντικείμενο της διατριβής συνίσταται στη μελέτη της γεωμετρίας των τρισδιάστατων H-μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής, ή, ισοδύναμα, των μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής για τις οποίες το διανυσματικό πεδίο ξ είναι πεδίο ιδιοδιανυσμάτων του τελεστή Ricci Q. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι μια τρισδιάστατη H-μετρική πολλαπλότητα επαφής [Μ, (η, ξ, φ, g)] χαρακτηρίζεται γεωμετρικά από μια συνθήκη που εμπλέκει τον τανυστή καμπυλότητας της Μ και τρεις διαφορίσιμες συναρτήσεις κ, μ και ν της Μ. Η συνθήκη αυτή οδηγεί στην εισαγωγή μιας νέας κλάσης μετρικών πολλαπλοτήτων επαφής: τις (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής. Το ενδιαφέρον με τις (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής είναι ότι για διάσταση μεγαλύτερη του τρία εκφυλίζονται στις (κ, μ)-πολλαπλότητες επαφής, δηλαδή, οι συναρτήσεις κ, μ είναι σταθερές και η συνάρτηση ν είναι η μηδενική συνάρτηση. Αντιθέτως, αποδεικνύεται ότι τέτοιες μετρικές πολλαπλότητες επαφής υπάρχουν στη διάσταση τρία. Ένα άλλο από τα προβλήματα που εξετάζονται σ' αυτή τη διατριβή είναι ο χαρακτηρισμός των διαρμονικών καμπυλών του Legendre και των αντι-αναλλοίωτων επιφανειών εμβυθισμένων σε τρισδιάστατες (κ, μ, ν)-πολλαπλότητες επαφής. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι οι διαρμονικές καμπύλες του Legendre είναι οι γεωδαισιακές αυτών των χώρων. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι οι διαρμονικές και χωρίς ελαχιστικά σημεία αντι-αναλλοίωτες επιφάνειες που είναι εμβυθισμένες σε τρισδιάστατες γενικευμένες (κ, μ)-πολλαπλότητες επαφής και των οποίων το μέτρο του διανυσματικού πεδίου της μέσης καμπυλότητας είναι σταθερό, είναι τοπικά Ευκλείδειες. / The main object of this Doctoral Thesis is the study of the geometry of 3-dimensional H-contact metric manifolds, or, equivalently, the contact metric manifolds whose the vector field ξ is an eigenvector of the Ricci operator Q. More precisely, it is proved that 3-dimensional H-contact metric manifolds [M, (η, ξ, φ, g)] are geometrically characterized by a specific curvature condition and three differentiable functions κ, μ and ν of M. This condition leads to the introduction of a new class of contact metric manifolds: the (κ, μ, ν)-contact metric manifolds. It is remarkable that for dimension greater than three, such manifolds are reduced to (κ, μ)-contact metric manifolds, i.e. the functions κ, μ are constants and the function ν is the zero function. On the contrary, in three dimension (κ,μ,ν)-contact metric manifolds exist. Another problem which is studied is the classification of biharmonic Legendre curves and anti-invariant surfaces immersed in 3-dimensional (κ, μ, ν)-contact metric manifolds. It is proved that biharmonic Legendre curves in 3-dimensional (κ, μ, ν)-contact metric manifolds are necessarily geodesics. Furthermore, it is proved that biharmonic and without minimal points anti-invariant surfaces immersed in 3-dimensional generalized (κ, μ)-contact metric manifolds with constant norm of the mean curvature vector field, are locally flat.

Η παρούσα εργασία ασχολείται με την ανάκτηση σχήματος. Πιο συγκεκριμένα επικεντρώνεται σε επίπεδα (δισδιάστατα) σχήματα τα οποία είναι μη άκαμπτα και έχουν υποστεί κάμψη ή μεταβάλλονται εξαιτίας της παρουσίας κάποιας άρθρωσης. Τέτοια εύκαμπτα σχήματα συναντάμε καθημερινά στη φύση όπως για παράδειγμα τους μικροοργανισμούς μέχρι και τον ίδιο τον άνθρωπο. Τα κριτήρια ομοιότητας μεταξύ των σχημάτων που χρησιμοποιούνται εδώ είναι Intrinsic. Τέτοια κριτήρια μπορεί κανείς να εξάγει δημιουργώντας ένα τελεστή διάχυσης. Οι τελεστές διάχυσης μπορούν να διατυπωθούν με πολλούς τρόπους. Στην παρούσα εργασία βασιζόμαστε στην πιθανολογική προσέγγιση δημιουργώντας ένα τελεστή (Μητρώο Markov) ενώ ταυτόχρονα λαμβάνουμε ένα τυχαίο περίπατο στα δεδομένα. Ο τελεστής αυτός επιπλέον έχει το πλεονέκτημα ότι μπορεί να προσεγγίσει τον τελεστή Laplace-Beltrami ασχέτως της πυκνότητας δειγματοληψίας των δεδομένων. Ορίζεται λοιπόν ως Απόσταση Διάχυσης η απόσταση δύο σημείων. Η απόσταση αυτή είναι μικρότερη όσο περισσότερα μονοπάτια συνδέουν τα δύο σημεία. Η φασματική ανάλυση του μητρώου αυτού μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τα δεδομένα μας σε ένα νέο χώρο με σαφή μετρική απόσταση την Ευκλείδεια χρησιμοποιώντας τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα που προκύπτουν. Επιπλέον η Ευκλείδεια απόσταση στο νέο χώρο ισούται με την απόσταση Διάχυσης στον αρχικό χώρο. Ο συνδυασμός των φασματικών ιδιοτήτων του μητρώου Διάχυσης με τις Markov διεργασίες οδηγεί σε μία ανάλυση των δεδομένων σε πολλές κλίμακες. Αυτό ισοδυναμεί με το να προχωρήσουμε τον τυχαίο περίπατο μπροστά. Από τις απεικονίσεις αυτές μπορούμε να εξάγουμε ιστογράμματα κατανομής αποστάσεων. Έτσι για κάθε σχήμα και για κάθε κλίμακα λαμβάνουμε ένα ιστόγραμμα κατανομής αποστάσεων. Συνεπώς δύο σχήματα μπορεί να βρίσκονται πολύ κοντά σε μία κλίμακα χρόνου ενώ να βρίσκονται πολύ μακριά σε μία άλλη κλίμακα. Συγκεκριμένα εδώ παραθέτουμε την άποψη η απόσταση των σχημάτων συνδέεται άμεσα με την κλίμακα- χρόνο. Μελετώνται οι ιδιότητες των μικρών, μεσαίων και μεγάλων κλιμάκων κυρίως ως προς τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά που μπορούν να περιγράψουν και κατά συνέπεια την ικανότητα να εξάγουν αποδοτικούς περιγραφείς των σχημάτων. Η συνεισφορά της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι διπλή: A. Προτείνεται για πρώτη φορά μία νέα μέθοδος κατά την οποία αξιοποιούνται οι ιδιότητες των διαφορετικών κλιμάκων της διεργασίας Διάχυσης που αναφέραμε. Ονομάζουμε τη μέθοδο αυτή Weighted Multiscale Diffusion Distance -WMDD. B. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται φέρνουν την μέθοδο αυτή στην κορυφή για τις συγκεκριμένες βάσεις σχημάτων (MPEG-7 και KIMIA 99). / This thesis focuses explicitly at shape retrieval applications. More precisely concentrates in planar shapes that are non-rigid, meaning that they might have been articulated or bended. These non-rigid shapes appear in humans’ life like for example bacteria and also the same the human body. The shape pair wise similarity criteria are intrinsic. Such similarity criteria one can take through a Diffusion Operator. Diffusion Operators can be defined in many ways. In this thesis we concern only in the probabilistic interpretation of Diffusion Operators. Thus by constructing a Diffusion Operator we also construct a random Walk on data. This operator converges to the Laplace-Beltrami even if the sampling density of the data is not uniform. Through this framework the Diffusion Distance between two points is defined. This distance gets smaller as much more paths are connecting two points. Spectral decomposition if this diffusion kernel allows us to map, re-represent our data using the eigenvectors and the eigenvalues in a new space with the property of embedding with an explicit metric. These maps are called Diffusion Maps and have the property that diffusion distance in the initial space equals the Euclidean distance in the embedding space. A combination of spectral properties of a Markov matrix with Markov Processes leads to a multiscale analysis. This corresponds to running the random walk forward. From these embeddings we can extract histograms of distributions of distances. Thus for every shape and every scale we have one histogram. Therefore two shapes may be close in one scale but not in another one. The contribution of this Thesis is twofold: A. For first time a new method where the properties of different scales as studied in order to take the advantage of the most discriminative times/ steps of the diffusion process that we described above. We called this method Weighted Multiscale Diffusion Distance- WMDD. B. The results presented here bring our method to the state of the art for the MPEG- and KIMIA 99 databases.