Η αναλογία μεταξύ των νόμων της μηχανικής της μελανής οπής και των νόμων της θερμοδυναμικής οδήγησε τους Bekenstein και Hawking να υποστηρίξουν ότι οι μελανές οπές θα πρέπει να θεωρηθούν ως πραγματικά θερμοδυναμικά συστήματα, τα οποία χαρακτηρίζονται από εντροπία και θερμοκρασία. Πιο συγκεκριμένα, ο Bekenstein υποστήριξε ότι η εντροπία μίας μελανής οπής ισούται με S=(k_BAc^3)/(4G\hbar), όπου A είναι το εμβαδό της επιφάνειας του ορίζοντά της, ενώ ο Hawking ότι η θερμοκρασία μιας μελανής οπής είναι T=(\hbar\grk)/(2\pi ck_B), όπου κ είναι η επιφανειακή της βαρύτητα. Η αντιστοιχία μεταξύ των νόμων της μηχανικής της μελανής οπής και αυτών της θερμοδυναμικής υποδηλώνει την ύπαρξη μιας βαθύτερης σχέσης μεταξύ της θερμοδυναμικής και της βαρύτητας. Η προοπτική αυτή παρακίνησε τη διατύπωση αρκετών ιδεών που υποστηρίζουν ότι συνολικά η βαρύτητα μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα θερμοδυναμικό φαινόμενο. Η πρωτότυπη ιδέα ανήκει στον Jacobson, ο οποίος αντέστρεψε τη λογική και έδειξε ότι η εξίσωση του Einstein μπορεί να θεωρηθεί ως μία καταστατική εξίσωση. Αργότερα, σε μία σειρά δημοσιεύσεων, ο Padmanabhan έδειξε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις οι εξισώσεις της βαρύτητας μπορούν να ερμηνευθούν με όρους της θερμοδυναμικής ή ακόμη και να εξαχθούν από τη θερμοδυναμική του χωροχρόνου. Πιο πρόσφατα, ο Verlinde υπόστηριξε ότι η βαρύτητα είναι μία εντροπική δύναμη. Τα παραπάνω επιχειρήματα αποτελούν συνιστώσες της ευρύτερης απόψης που διατυπώθηκε αρχικά από τον Sakharov και υποστηρίζει ότι η βαρύτητα δεν είναι μία θεμελιώδη δύναμη, αλλά αντίθετα μία αναδυόμενη (emergent) δύναμη, η οποία προκύπτει ως το όριο κάποιας υποκείμενης μικροσκοπικής άγνωστης προς το παρόν θεωρίας, υπό την ίδια έννοια που η υδροδυναμική ή η θεωρία της ελαστικότητας αναδύονται από τη μοριακή φυσική. Στην παρούσα εργασία μελετάμε τα επιχειρήματα των Jacobson, Padmanabhan και Verlinde που υποστηρίζουν την ερμηνεία της βαρύτητας ως μια θερμοδυναμική θεωρία. / The analogy between the laws of black hole mechanics and the laws of thermodynamics led Bekenstein and Hawking to argue that black holes should be considered as real thermodynamic systems that are characterised by entropy and temperature. In particular, Bekenstein argued that the entropy of a black hole is S = (k_BAc^3)=(4G\hbar), where A is the area of its horizon. In addition, Hawking showed that the temperature of a black hole is T = (\hbar κ)=(2πck_B), where κ is its surface gravity. Black hole thermodynamics shows a deeper connection between thermodynamics and gravity. This perspective motivated several ideas that suggest an interpretation of gravity as a thermodynamic phenomenon. The original idea is due to Jacobson. He first inverted the reasoning and showed that the Einstein's equation can be viewed as an equation of state. Later, Padmanabhan showed that the gravitational equations can be interpreted in terms of thermodynamics. He also showed that one can derive the gravitational equations from the thermodynamics of spacetime. More recently, Verlinde argued that gravity is an entropic force. The above arguments are components of the broader view, first formulated by Sakharov, that gravity is not a fundamental force, but an emergent one. It arises in the limit of some underlying--- yet unknown--- microscopic theory, in the same sense that hydrodynamics or elasticity emerge from molecular physics. In this thesis, we examine the arguments of Jacobson, Padmanabhan and Verlinde that suggest an interpretation of gravity as a thermodynamic theory.

- / -

Σχεδόν τέσσερις δεκαετίες πριν, η μαθηματική αναλογία μεταξύ των νόμων της μηχανικής των μελανών οπών και των νόμων της θερμοδυναμικής έδωσε ισχυρά επιχειρήματα στους Bekenstein και Hawking να υποθέσουν ότι, αν τα κβαντικά φαινόμενα λαμβάνονται υπόψη, οι μελανές οπές θα πρέπει να θεωρηθούν ως θερμοδυναμικά συστήματα, που χαρακτηρίζονται από θερμοκρασία και την εντροπία τους. Πιο συγκεκριμένα, ότι η εντροπία των μελανών οπών είναι S = A / 4, όπου Α είναι η περιοχή του ορίζοντα γεγονότων. Ακόμη και σήμερα, υπάρχουν δύο σημαντικά ερωτήματα σχετικά με τους βαθμούς ελευθερίας: α) ποιοι είναι οι βαθμοί ελευθερίας υπεύθυνοι για την εντροπία των μελανών οπών; β) που βρίσκονται αυτοί οι βαθμοί ελευθερίας; Πριν από τριάντα χρόνια, η απάντηση και στα δύο παραπάνω ερωτήματα ήταν: "Δεν γνωρίζουμε" Σήμερα, αντίθετα, το πρόβλημα είναι ότι, υπάρχουν πάρα πολλές απαντήσεις για τα παραπάνω ερωτήματα. Σε εργασία αυτή, μελετώ την παραγωγή των Bekenstein-Hawking φόρμουλα για την εντροπίας των μελανών οπών στην κβαντική θεωρία της βαρύτητας. Ειδικότερα, επικεντρώνομαι στις υποθέσεις, τη μεθοδολογία και τα αποτελέσματα κάθε προσέγγισης. Πρώτα, μελετώ την παραγωγή της Bekenstein-Hawking φόρμουλα σε μεθόδους που δεν βασίζονται σε μια θεμελιώδη θεωρία της κβαντικής βαρύτητας, όπως η στατιστική μηχανική προέλευση της εντροπίας μιας περιστρεφόμενης, φορτισμένη μελανής οπής, η μέθοδος του ολοκληρώματος διαδρομών στο πλαίσιο της Ευκλείδεια κβαντική βαρύτητα και τη μέθοδος του κανονικού συνόλου για τις μελανές οπές σε μια σφαιρική κοιλότητα στο πλαίσιο της Ευκλείδεια κβαντικής βαρύτητας. Τα τελευταία είκοσι χρόνια περίπου, oι αποδείξεις γίνονται στα πλαίσια θεμελιωδών θεωριών της κβαντικής βαρύτητας. Εδώ, θα δούμε την απόδειξη στα πλαίσια της σύμμορφης θεωρίας πεδίου του ορίζοντα, της επαγόμενης βαρύτητας, της κβαντικής βαρύτητας των βρόγχων και της θεωρίας των χορδών. / Almost four decades ago, the mathematical analogy between the laws of black hole mechanics and the laws of thermodynamics gave strong arguments to Bekenstein and Hawking to assume that, if quantum effects are taken into account, black holes should be viewed as thermodynamic systems, characterized by temperature and entropy. In particular, that the black hole entropy is S=A/4, where A is the area of the event horizon. Even today, there are two important questions about the degrees of freedom: a) which are the degrees of freedom responsible for the black hole entropy? b) Where are the degrees of freedom localized? Thirty years ago, the answer to both questions above was: "we do not know". Today, by contrast, the problem is that, there are too many answers for the questions above. In this thesis, I study the derivation of the Bekenstein-Hawking formula for the black hole entropy in quantum gravity theories. In particular, I focus on the hypotheses, the methodology and the results of each approach. First, I consider the derivation of the Bekenstein-Hawking formula in methods which are not based on a fundamental theory of quantum gravity such as, the statistical mechanical origin of the entropy of a rotating, charged black hole, the path integral method in the Euclidean quantum gravity framework and the canonical ensemble method for black holes in a spherical cavity in the Euclidean quantum gravity framework. Then, I consider the derivations of the black hole entropy which are made in the framework of candidate quantum gravity theories such as, the horizon conformal field theory, the induced gravity theory, loop quantum gravity and string theory.

Η παρούσα διπλωματική εργασία αποτελεί μια σύντομη εισαγωγή στη θεωρία των Χορδών, ενώ ιδιαίτερη έμαφαση έχει δοθεί στις D-Branes. Αρχικά παρουσιάζεται η κλασική μποζονική χορδή, καθώς και η κβάντωσή της. Στη συνέχεια περιγράφεται ο Τ-δυϊσμός και εισάγονται οι D-Branes στη θεωρία, των οποίων και αναλύονται τα βασικά χαρακτηριστικά, ενώ παρουσιάζεται και η δράση κοσμικού όγκου για την περιγραφή τους. Ακολουθεί μια συνοπτική περιγραφή των υπερσυμετρικών χορδών και των διαφορετικών θεωριών χορδών που προκύπτουν. Τέλος, παρουσιάζεται η γεωμετρία που παράγουν οι D-Branes, σε αναλογία με την αντίστοιχη των μελανών οπών, και περιγράφεται ο τρόπος με τον οπίο κατασκευάζονται extremal μελανές οπές στη θεωρία χορδών καθώς και η μικροσκοπική περιγραφή τους μέσω κατάλληλων διατάξεων από D-Branes. / This thesis consists of a short introduction to string theory, while emphasis has been given on D-Branes. First, the classical bosonic string is presented, and its quantization. T-duality is described and D-Branes are introduced in the theory, the basic properties of which are analyzed. A short discussion of supersymmetric strings follows. Finally, the geometry of D-branes is presented, with respect to the geometry of black holes, and the way that extremal black holes are constructed in string theory, while also their microscopic describtion in terms of D-branes.

Στη γραμμική εκδοχή της γενικής θεωρίας της σχετικότητας, θεωρεί κανείς τις διαταραχές κάποιας μετρικής γύρω από κάποιο χωροχρονικό υπόβαθρο. Κρατώντας όρους διαταραχών μέχρι και πρώτης τάξεως, οδηγείται κανείς στις γραμμικές εξισώσεις Einstein. Σε αυτό το πλαίσιο αποδεικνύεται μια σχέση δυισμού ανάμεσα στα διάφορα στοιχεία του τανυστή Weyl, αντίστοιχη με το δυισμό ανάμεσα στην ηλεκτρική και τη μαγνητική ροή της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας του Maxwell. Στην εργασία αυτή κάνουμε μία ανασκόπηση της έρευνας που έχει γίνει μέχρι τώρα αναφορικά με αυτές τις σχέσεις δυισμού. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζουμε την ισχύ των σχέσεων στον Anti-de Sitter χωρόχρονο και επισημαίνουμε το τρόπο με τον οποίο κατασκευάζει κανείς δυικές δομές από τις εκφράσεις για τις διαταραχές. Επίσης, χρησιμοποιώντας τη τεχνική της ολογραφικής επανακανονικοποίησης, εξετάζουμε το σύμμορφο σύνορο του χωροχρόνου. Βρίσκουμε εκεί μια σχέση δυισμού ανάμεσα στα στοιχεία του τανυστή ενέργειας-ορμής και του τανυστή Cotton της αντίστοιχης Chern - Simons θεωρίας, η οποία αποδεικνύεται ότι είναι άμεση συνέπεια του δυισμού στο AdS υπόβαθρο. Τέλος, εφαρμόζουμε την ίδια συλλογιστική στο Schwarzschild - Anti-de Sitter υπόβαθρο, όπου η παρουσία της μελανής οπής διαφοροποιεί τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Λόγω αυτού του γεγονός δεν μπορεί να πει κανείς με σιγουριά εάν μπορούν να διατυπωθούν σχέσεις δυισμού σε αυτή τη περίπτωση. Παρόλα αυτά βρίσκουμε ότι ισχύουν σχέσεις δυισμού στο σύμμορφο σύνορο παρόμοιες με αυτές του AdS υποβάθρου, πράγμα που σημαίνει ότι στο σύστημα παραμένει κάποια συμμετρία από τη γραμμική θεωρία. Η εργασία καταλήγει σε σχόλια και μία εκτενή συζήτηση για τις πιθανές μελλοντικές κατευθύνσεις. / In the linear version of the general theory of relativity, one considers metric perturbations around a fixed background. Keeping terms up to first order of perturbation leads to the linearized Einstein equations. In this framework it has been proved that a duality between the various elements of the Weyl tensor holds. This duality is similar to the one between the electric and magnetic fluxes of Maxwell's electromagnetism. In the present work we review the status of these dualities for non trivial backgrounds. We examine the Anti-de Sitter background, where we point out the way to explicitly construct dual configurations using the metric perturbation expressions. Using the holographic renormalization technique, we examine the conformal boundary where a duality between the components of the energy-momentum tensor and the Cotton tensor of the corresponding Chern - Simons theory holds. It is then proved that this duality is a direct consequence of the electric/magnetic duality in the bulk, in the case of the AdS background. Finally, we apply same procedure to the Schwarzschild - Anti-de Sitter background, where the presence of the black hole changes the boundary conditions of the problem. This simple fact makes it impossible say whether such a duality exists in this case. Nevertheless, we find that a duality similar to that of the AdS background still holds for the conformal boundary, which means that there is a remnant of symmetry from the linear theory. We conclude with comments and a extensive discussion on possible future directions.