在這篇論文裡，我們針對幾種不同的邊界值問題，利用不同的方法來研究正解的存在性。本文由以下幾個部分組成：首先，在外力項有某些假設的情況底下，我們用Schauder的固定點定理來探討二階常微分方程配上Sturm-Liouville或多點等等邊界值條件的正解的存在性；接著，利用Krasnoselkii的固定點定理 考慮泛函的微分方程搭配上Sturm-Liouville型邊界條件的情況，並且給予幾個應用的法則，特別是應用在一般的常微分方程上；而對於高階的p-Laplacian方程配上另一種三點邊界條件，我們引進Leggett-Willams固定點定理的一個有名的推廣結果來證明這樣的問題有多重解；最後，利用造上下解的方法，討論二階非線性橢圓方程在一個exterior domain的情形。

本文主要在考慮某類二階橢圓型偏微分方程式解的不存在問題，共分為三部分。 在第一部分中，首先利用均值函數之方法（此法曾見於〔Ｎ〕及〔Ｃ〕等多篇文獻 ）來研究如下之二階積分－微分方程式， ╭ (0.1) △u ＝ K(x)h(u)＋H(│x│)│ a(│y│)q(u(y))dy ╯R□ ，x R□,n ＞ 2 ，在此 ▔ (1) △表示ｎ維的拉氏(Laplace) 運算子。 (2) K(．),H(．) 及 a(．) 是局部赫德 (Holder) 連續的非負函數。 σ δ (3) h(．) 及 q(．) 滿足適當的條件，如 〞ｈ(ｕ) ＝ ｕ 及ｑ(ｕ)＝ｕ ” δｕ σｕ 或 ”ｈ(ｕ)＝ｅ 及 ｑ(ｕ)＝ｅ ” 。 當 H(．)≡0 時，鄭國順教授及林震燦教授〔Ｃ〕，已証明當γ足夠大時，若存在 某一正常數Ｃ，使得 __ Ｃ Ｋ(γ) ＞ ── ▔ γ□ __ （在此Ｋ表示函數Ｋ之均值函數），則方程式(0.1) 在Ｒ□中不存在任何正〔有界 〕的解。 令我們感興趣的是當 H(．)≡0 時，在那些條件下會有類似的結果發生。本文證明 ，當γ足夠大時，若存在某正常數Ｃ使得 __ ╭ ∞ n-1 Ｃ Ｋ(γ) ＋ Ｈ(γ) │ a(ρ)ρ dρ ＞ ─── ╯γ ▔ γ□' 則可經由詹森氏(Jensen's)不等式及赫德不等式，利用反證法去得到類似的結果。 在第二部份中，將研究下列之擬線性微分方程式解的不存在問題， ╭ (0.2) ．[g(│ u│) u]＝K(│x│)h(u)＋H(│x│)│ a(│y│) ╯R□ q(u(y))dy, x R□,n ＞ 2 ，在此 ▔ (1) u 表示ｕ的梯度。 __ (2) ｇ:Ｒ ──→Ｒ 屬於 Ｃ〔0,p□〕∩Ｃ□（0,p□）,p□ 為區間〔0,∞〕 □ □ 中之某一常數。 (3) (pg(p))'＞0 對所有的p (0,p□)。 (4) K(．),H(．) 及a(．) 均為局部赫德 (Holder)-連續的非負函數。 σ δ (5) h(．)及 g(．) 滿足適當的條件，如”h(u)＝u 及 q(u)＝u 〞 或〞h(u)＝ σu δu e 及 q(u)＝e ”。 首先定義函數ψ如下 ψ＝pg(│p│) p R. 若ψ的反函數存在，則可經由赫德不等式推導出一積分不等式，接著可利用此不等 式經由反證法得到下列的結果： (Ⅰ)在下列條件下 (a) 0 ＜ g(p) ＜ kp□ ，對任意非負常數ｍ及正常數ｋ以及所有p＞0均成立 。▔ ▔ (b) ｍ及ｎ滿足〞m＞0 且 n＞2〞 或〞m＝0 且 n＞ 3〞。 ▔ ▔ Ｃ (c) 當γ足夠大時，存在正常數Ｃ，使得 K(r) ＞ ──── 成立。 ▔ γm+2 ，當 H(．)≡0 時，方程式(0.2) 在 R□中不存在正〔有界〕的放射性解。 (Ⅱ)如果 g(．),K(．),H(．)及a(．) 滿足 (a) 對任意正常數ｋ及所有實數 p, 0 ＜ g(p) ＜ k ＜ ∞ 恆成立。 ▔ ▔ (b) 在γ足夠大時，存在正常數Ｃ使得 ╭ ∞ n-1 Ｃ K(γ)＋H(γ) │ a(ρ)ρ dρ ＞ ─── ╯γ ▔ γ□ ，則當 H(．)≡0 時，方程式(0.2) 在 R□中不存在正〔有界〕的放射性解。 在第三部份中，主要在處理如下之擬線性微分方程式的正放射解之不存在問題， ╭ │ ．[g(│ u│) u]＝f(│x│,u) x Ω, (0.3) ＜ u(x)＝0 x Ω, │ u(x) 0 x Ω, ╰ 在此Ω為 R□中之一球。 在[NT],[NM] 及 [NS] 中，作者利用波氏 (Pohozaev) 不等式去證明方程式(0.3) 在ｆ只含變數ｕ時，解的不存在結果。 在本文，將去探討當ｆ含變數ｕ及ｒ時，在何種條件下會使方程式(0.3) 不存在正 放射性解。首先，經由假設方程式(0.3) 存在正放射性解，吾人得到一個一般化的 波氏不等式，然後將其應用於部份擬線性橢圓型偏微分方程式上（如拉氏運算子， 平均曲率運算子及一般化平均曲率運算子），並去證明這些方程式在Ω上不存在任 何正放射性解。

我們利用Banach固定點定理證明了波茲曼方程式的柔和解在一個加權魯貝格空間上的存在性，並證明其解在如此的範數下之均勻穩定性。 關鍵詞: 波茲曼方程，馬氏分佈函數，柔和解的存在性，均勻穩定。 / In this thesis, we consider the initial-value problem for the Boltzmann equation.We prove that the existence of mild solution in the weighted Lebesgue space by using Banach's fixed point theorem, and that the uniform stability of solution with respect to the weighted norm. Key words: Boltzmann equation, Maxwellian, existence of mild solutions, uniform stability.

本文主旨是在使用有限元素法（包括第一、第二、第三限元素法）對一個燃燒熱能模型之邊界值微分方程式，求其數值近似。 　　首先，由這些方法可到一些聯立方程式。其次，對各種有限元素法分別去分析它們解的存在性和誤差估計。最後，舉一個實例來討論其解的變化情形並圖示它們。 　　換句話說，從本文所得到的方程組或圖形，將可求得此微分方程式的解與個數。 / The main topic of this paper is to usee the finite element methods (contain F.E.1, F.E.2, and F.E.3) to find the numerical approximation of a model for thermal ignition. First, we obtain a system of equations for those methods. And then, we analyse the existence and the error estimate of solutions with each method. At last, we give an example to discuss those results and graph them. In a word, from those equations or graphs which are given in this paper, we will get the numerical solution and the number of solutions.