在這篇論文中，我們主要是研究一個組合等式如下：∑_(i=0)^n▒∑_(j=0)^i▒〖C(n,i)C(n+1,j)=?〗 在解這個等式時，我們將不使用一般的計算方式：而採用了建構一個對射函數（bijective function）的方法，進而得到上面等式的解。 接著我們推廣此等式為∑_(i=0)^n▒∑_(j=0)^i▒〖C(n,i)C(n+m,j)=?〗時，我們仍將繼續利用此函數是一對一的特性，為此組合等式求得通解如下，來完成這篇論文。∑_(i=0)^n▒∑_(j=0)^i▒〖C(n,i)C(n+m,j)=2^(2n+m-1)-〗 ∑_(i=0)^n▒∑_(j=1)^(m-1)▒C(n,i)C(n+m-1,i+j) / In this paper, we will mainly study a combinatorial identity, as the following：∑_(i=0)^n▒∑_(j=0)^i▒〖C(n,i)C(n+1,j)=?〗. When solving this identity, we will not use common calculation. Instead, we will build a method of bijective function in order to obtain the solution to the above identity. To finish this paper, we will continue to generalize this identity as ∑_(i=0)^n▒∑_(j=0)^i▒〖C(n,i)C(n+m,j)=?〗 Then we will be able to use 1-1 property of this function as to get the following solution to the combinatorial identity：∑_(i=0)^n▒∑_(j=0)^i▒〖C(n,i)C(n+m,j)=2^(2n+m-1)-〗 ∑_(i=0)^n▒∑_(j=1)^(m-1)▒C(n,i)C(n+m-1,i+j)

本文的主旨是利用對射函數的方法,證明圓周上2n個點成功配對問題的解是Catalan數.所以必須找一個也是Catalan數的事物來和本問題對應,這裡找的是n個節點的二元數.我們先造一個由成功配對應射到二元數的函數,再證明此函數是一對一且映成,既為對射函數,則我們就可以知道成功配對的解是Catalan數.然後再將問題推廣到3n個點,甚至到kn個點的情形,以得到一般的問題解.

本文是針對Catalan 族中部分成員：「n個運算符號之結合律運算」、「n組正規中括號」、「n個節點之相異二元樹」、「圓上2n個點可畫幾種不相交之弦」，做彼此間對應關係的探討。 藉由操作方法，找出Catalan 族成員彼此間對應關係，再利用對射函數方法證明是對的。在證明Catalan 族中任兩個成員間的對應關係，我們先造一個對應函數，再證明此函數是一對一且映成（onto），即此函數為對射函數，則我們的操作方法是可行的。