The purpose of this paper is to introduce the reader to Lie algebras and representation theory.

We study representations of Khovanov-Lauda-Rouquier (KLR) algebras of affine Lie type. Associated to every convex preorder on the set of positive roots is a system of cuspidal modules for the KLR algebra. For a balanced order, we study imaginary semicuspidal modules by means of `imaginary Schur-Weyl duality'. We then generalize this theory from balanced to arbitrary convex preorders for affine ADE types. Under the assumption that the characteristic of the ground field is greater than some explicit bound, we prove that KLR algebras are properly stratified. We introduce affine zigzag algebras and prove that these are Morita equivalent to arbitrary imaginary strata if the characteristic of the ground field is greater than the bound mentioned above. Finally, working in finite or affine affine type A, we show that skew Specht modules may be defined over the KLR algebra, and real cuspidal modules associated to a balanced convex preorder are skew Specht modules for certain explicit hook shapes.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2015. / Made available in DSpace on 2015-09-15T04:08:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 334288.pdf: 583385 bytes, checksum: fcb05b1feecc1fea220011874c0a0a91 (MD5) Previous issue date: 2015 / Inicialmente estudamos a teoria da construção da C*-álgebra Universal, e um exemplo importante de C*-álgebra Universal, que é a C*-álgebra de Cuntz-Krieger. Também estudamos a construção do produto cruzado parcial, obtido a partir de uma ação parcial de um grupo discreto em uma C*-álgebra. Por último demonstramos que a C*-álgebra de Cuntz-Krieger é isomorfa a um produto cruzado parcial, obtido a partir de uma ação parcial do grupo livre no espaço das funções contínuas sobre o conjunto dos caminhos infinitos obtidos a partir da matriz que define a C*-álgebra de Cuntz-Krieger.<br> / Abstract : Initially we study the theory of the universal C*-algebra and an important example of this, which is the Cuntz-Krieger C*-algebra. We also study the construction of the partial crossed product, obtained from a partial action of a discrete group on a C*-algebra. Finally we prove that the Cuntz-Krieger C*-algebra is isomorphic to a partial crossed product, gotten from a partial action of the free group on the space of continuous functions over the set of the infinite paths obtained from the matrix that defines the Cuntz-Krieger C*-algebra.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2016. / Made available in DSpace on 2017-08-08T04:02:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 347116.pdf: 730551 bytes, checksum: 0715a12aee91006dcae7493d0667ab75 (MD5) Previous issue date: 2016 / Dado um grupóide G localmente compacto, hausdor e étale, estudamos representações da -álgebra Cc(G) a m de construir as C-álgebras cheia e reduzida de G.Conseguimos caracterizar a simplicidade da C-álgebra cheia, a partir de certas propriedades topológicas de G. Finalmente, fazemos o uso do teorema principal para discutir a simplicidade de certas C-álgebras bem conhecidas.<br> / Abstract : Given a groupoid G locally compact, hausdor and étale, we study representations of the -algebra Cc(G) ir order to build the full and the reduced C-algebras. We accomplish a caracterization of the full C-algebras' simplicity,from certain topological properties of G. Finally, we apply the main theorem in order to discuss the simplicity of some well known C-algebras.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2017. / Made available in DSpace on 2017-08-08T04:11:26Z (GMT). No. of bitstreams: 1 346996.pdf: 731817 bytes, checksum: 03bf4731cc4b5d5e405802148b7a5187 (MD5) Previous issue date: 2017 / Dado um grupo discreto, estudamos algumas propriedades e equivalências de mediabilidade de grupos. Em particular, veremos que se o grupo for mediável temos um isomorfismo entre a C*-álgebra cheia e a C*-álgebra reduzida do grupo. Com intuito de generalizar este resultado, estudamos os produtos cruzados associados a um C*-sistema dinâmico e mostramos que os produtos cruzados cheio e reduzido são isomorfos, caso o grupo seja mediável. Ainda mais, é provado este mesmo resultado trocando a hipótese do grupo ser mediável por a ação ser mediável. Por fim, vimos as ações parciais com a intenção de definir os produtos cruzados parciais cheio e reduzido e depois estudamos as ações parciais com propriedade de aproximação. Veremos que se uma ação parcial possui esta propriedade os produtos cruzados parciais cheio e reduzidos são isomorfos.<br> / Abstract : Given a discrete group, we study some properties and equivalences of amenable groups. In particular, we see that if the group is amenable, we have an isomorphism between the full C*-algebra and the reduced C*-algebra of the group. In order to generalize this result, we study the crossed products associated with C*-dynamical system and we demonstrate that the full and reduced crossed products are isomorphic. Further, this same result is proven by exchanging the hypothesis of the group being amenable to an amenable action. Finally, we study partial actions with an intention to define the full and reduced partial crossed products and then study partial actions with approximation property. We see that if a partial action has this property then the full and reduced partial crossed products are isomorphic.

Resumo não disponível

Neste trabalho realizamos um estudo de algebras, co algebras e algebras de Hopf, introduzindo estas no c~oes e algumas de suas propriedades e exemplos. Al em disso, aprofundamos o estudo apresentando as algebras de Hopf quase cocomutativas e quasitriangulares, demonstrando que a ant poda dessas algebras cumpre certas condi c~oes. / In this work we present a study of algebras, coalgebras and Hopf algebras, introducing examples and some of its properties. Also, we expand this study presenting almost cocommutative and quasitriangular Hopf algebras, showing that the antipode of these algebras satis es determined conditions.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2013 / Made available in DSpace on 2013-07-16T21:07:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 316856.pdf: 554921 bytes, checksum: 95ab3e3185f35cd80e7801fe50cf1357 (MD5) / Nesse trabalho estudamos a teoria de equivalência de Morita-Rieffel para álgebra de operadores por uma perspectiva geral e a aplicamos para entender produtos cruzados para ações de grupos compactos em C*-álgebras. Nós apresentamos quatro formas diferentes para especificar um contexto de equivalência de Morita entre C*-álgebras e consideramos alguns exemplos conhecidos para ilustrá-la. A C*-álgebra produto cruzado A×?G proveniente de um sistema dinâmico (A,G,?) é definida como o completamento de Cc(G,A) com respeito a uma certa norma universal naturalmente associada ao sistema dinâmico. Mostramos que as representações do produto cruzado estão em correspondência biunívoca com as representações covariantes do sistema. A teoria de representações da $C^*$-álgebra produto cruzado caracateriza-a, à menos de isomorfismo, mas é geralmente difícil de calculá-la explicitamente. Nosso objetivo principal, nessa direção, é apresentar alguns teoremas de equivalência de Morita que nos permitirão entender produtos cruzados a menos de equivalência de Morita em casos especiais. Em particular, mostramos que o produto cruzado A×?G em que ? é ação de um grupo compacto G sobre uma C*-álgebra A é Morita equivalente à álgebra de ponto fixo AG se a ação for saturada. Aplicamos, após, esse contexto de equivalência de Morita para provar o Teorema Simétrico de Imprimitividade para ações saturadas de grupos compactos que relaciona, via uma equivalência de Morita, os produtos cruzados para ações comutativas de dois grupos compactos.<br> / Abstract : In this work we study operator algebra Morita-Rieffel equivalence from a general perspective and apply it to the understanding of crossed products for actions of compact groups on C*-algebras. We present four different forms to specify a Morita equivalence context between C*-algebras and consider some standard examples to illustrate it. The crossed product C*-algebra A×?G attached to a dynamical system (A,G,?) is defined as the completion of Cc(G,A) with respect to a certain universal norm naturally associated to the dynamical system. The representations of the crossed product are shown to be in bijective correspondence with covariant representations of the system. The representation theory of the crossed product C*-algebra characterizes it up to isomorphism, but it is generally difficult to compute it explicitly. Our main goal is this direction is to present some Morita equivalence theorems that enable us to understand crossed products up to Morita equivalence in certain special cases. In particular we show that the crossed product A×?G for an action of a compact group G on a C*-algebra A is Morita equivalent to the fixed point algebra AG provided the action is saturated. We then apply this Morita equivalence context to prove the Symmetric Imprimitivity Theorem for saturated compact group actions which relates, via a Morita equivalence, the crossed products of commuting actions by two compact groups.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2013. / Made available in DSpace on 2014-08-06T17:27:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 325125.pdf: 687797 bytes, checksum: ca4f0cc7951c8fe422dae333d3edb5a0 (MD5) Previous issue date: 2013 / Um sistema de operadores, em uma C*-álgebra, é um subespaço vetorial contendo a unidade da álgebra e é fechado por adjunção. Uma aplicação positiva entre sistemas de operadores leva elementos positivos em elementos positivos. Tal aplicação será dita completamente positiva se para qualquer matriz positiva, de qualquer ordem, tem-se que a matriz imagem, segundo a aplicação, for positiva. Um dos propósitos dessa dissertação será considerar uma aplicação completamente positiva, cujo contradomínio é a C*-álgebra dos operadores limitados definidos em espaço de Hilbert, e estendê-la para uma aplicação completamente positiva de mesma norma, o Teorema de Hahn-Banach não comutativo. Queremos, por fim, definir espaços *-vetoriais e enxergá-los com sistemas de operadores em uma determinada C*-álgebra. Tal resultado, atribuído aos matemáticos Choi e Effros, é o análogo da construção GNS, através da qual é possível tratar elementos de uma C*-álgebra como operadores limitados.<br> / Abstract : An operator system contained in a unital C_-algebra is a vector subspace closed under addition and containing the algebra unit . A positive map of operators between systems is a linear transformation that sends positive elements in S to positive elements . This application is a completely positive map, if for every positive matrix in any order, it follows that the image matrix , according to the application is positive. In this dissertation we show, among other things, that a completely positive map can extend it to a completely positive map with the same norm as, a theorem regarded as a non-commutative Hahn-Banach Extension Theorem. We finally define * - vector spaces and see them with system operators in a given C * - algebra. This result , assigned to mathematical Choi and Effros , is the analogue of the GNS construction , through which it is possible to treat elements of a C * - algebra as bounded operators.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. / Made available in DSpace on 2012-10-18T21:18:38Z (GMT). No. of bitstreams: 0Bitstream added on 2016-01-09T04:38:42Z : No. of bitstreams: 1 142224.pdf: 2373777 bytes, checksum: 6bb0e529c9ca3b29e6b59370687fde68 (MD5)