Logical deduction and abstraction from detail are fundamental, yet distinct aspects of reasoning about programs. This dissertation shows that the combination of logic and abstract interpretation enables a unified and simple treatment of several theoretical and practical topics which encompass the model theory of temporal logics, the analysis of satisfiability solvers, and the construction of Craig interpolants. In each case, the combination of logic and abstract interpretation leads to more general results, simpler proofs, and a unification of ideas from seemingly disparate fields. The first contribution of this dissertation is a framework for combining temporal logics and abstraction. Chapter 3 introduces trace algebras, a new lattice-based semantics for linear and branching time logics. A new representation theorem shows that trace algebras precisely capture the standard trace-based semantics of temporal logics. We prove additional representation theorems to show how structures that have been independently discovered in static program analysis, model checking, and algebraic modal logic, can be derived from trace algebras by abstract interpretation. The second contribution of this dissertation is a framework for proving when two lattice-based algebras satisfy the same logical properties. Chapter 5 introduces functions called subsumption and bisubsumption and shows that these functions characterise logical equivalence of two algebras. We also characterise subsumption and bisubsumption using fixed points and finitary logics. We prove a representation theorem and apply it to derive the transition system analogues of subsumption and bisubsumption. These analogues strictly generalise the well studied notions of simulation and bisimulation. Our fixed point characterisations also provide a technique to construct property preserving abstractions. The third contribution of this dissertation is abstract satisfaction, an abstract interpretation framework for the design and analysis of satisfiability procedures. We show that formula satisfiability has several different fixed point characterisations, and that satisfiability procedures can be understood as abstract interpreters. Our main result is that the propagation routine in modern sat solvers is a greatest fixed point computation involving abstract transformers, and that clause learning is an abstract transformer for a form of negation. The final contribution of this dissertation is an abstract interpretation based analysis of algorithms for constructing Craig interpolants. We identify and analyse a lattice of interpolant constructions. Our main result is that existing algorithms are two of three optimal abstractions of this lattice. A second new result we derive in this framework is that the lattice of interpolation algorithms can be ordered by logical strength, so that there is a strongest and a weakest possible construction.

- / -

Le domaine des protocoles tolérants aux pannes étudie quelles tâches concurrentes sont résolubles dans différents modèles de calcul avec pannes. Des outils mathématiques basés sur la topologie combinatoire ont été développés depuis les années 1990 pour aborder ces questions. Dans ce cadre, la tâche que l’on veut résoudre, et le protocole auquel on fait appel, sont modélisés par des complexes simpliciaux chromatiques. On définit qu’un protocole résout une tâche lorsqu’il existe une certaine application simpliciale entre ces complexes.Dans cette thèse, on étudie ces méthodes géométriques du point de vue de la sémantique. Le premier objectif est de fonder cette définition abstraite de résolution d’une tâche sur une autre plus concrète, basée sur des entrelacements de traces d’exécution. On examine diverses notions de spécifications pour les objets concurrents, afin de définir un cadre général pour la résolution de tâches par des objets partagés. On montre ensuite comment extraire de ce cadre la définition topologique de résolubilité de tâches.Dans la deuxième partie de la thèse, on prouve que les complexes simpliciaux chromatiques peuvent être utilisés pour évaluer des formules de logique épistémique. Cela permet d’interpréter les preuves topologiques d’impossibilité en fonction de la quantité de connaissances à acquérir pour résoudre une tâche.Enfin, on présente quelques liens préliminaires avec la sémantique dirigée pour les programmes concurrents. On montre comment la subdivision chromatique d’un simplexe peut être retrouvée en considérant des notions combinatoires de chemins dirigés. / The field of fault-tolerant protocols studies which concurrent tasks are solvable in various computational models where processes may crash. To answer these questions, powerful mathematical tools based on combinatorial topology have been developed since the 1990’s. In this approach, the task that we want to solve, and the protocol that we use to solve it, are both modeled using chromatic simplicial complexes. By definition, a protocol solves a task when there exists a particular simplicial map between those complexes.In this thesis we study these geometric methods from the point of view of semantics. Our first goal is to ground this abstract definition of task solvability on a more concrete one, based on interleavings of execution traces. We investigate various notions of specification for concurrent objects, in order to define a general setting for solving concurrent tasks using shared objects. We then show how the topological definition of task solvability can be derived from it.In the second part of the thesis, we show that chromatic simplicial complexes can actually be used to interpret epistemic logic formulas. This allows us to understand the topological proofs of task unsolvability in terms of the amount of knowledge that the processes should acquire in order to solve a task.Finally, we present a few preliminary links with the directed space semantics for concurrent programs. We show how chromatic subdivisions of a simplex can be recovered by considering combinatorial notions of directed paths.

Ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός (Inductive Logic Programming ή, σε συντομογραφία ILP) είναι ο ερευνητικός τομέας της Τεχνητής Νοημοσύνης (Artificial Intelligence) που δραστηριοποιείται στη τομή των γνωστικών περιοχών της Μάθησης Μηχανής (Machine Learning) και του Λογικού Προγραμματισμού (Logic Programming).Ο όρος επαγωγικός εκφράζει την ιδέα του συλλογισμού από το επί μέρους στο γενικό. Μέσω της επαγωγικής μάθησης μηχανής ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός επιτυγχάνει το στόχο του που είναι η δημιουργία εργαλείων και η ανάπτυξη τεχνικών για την εξαγωγή υποθέσεων από παρατηρήσεις (παραδείγματα) και η σύνθεση-απόκτηση νέας γνώσης από εμπειρικές παρατηρήσεις. Σε αντίθεση με της περισσότερες άλλες προσεγγίσεις της επαγωγικής μάθησης ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός ενδιαφέρεται για της ιδιότητες του συμπερασμού με κανόνες για την σύγκλιση αλγορίθμων και για την υπολογιστική πολυπλοκότητα των διαδικασιών. Ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός ασχολείται με την ανάπτυξη τεχνικών και εργαλείων για την σχεσιακή ανάλυση δεδομένων. Εφαρμόζεται απευθείας σε δεδομένα πολλαπλών συσχετισμών για την ανακάλυψη προτύπων. Τα πρότυπα που ανακαλύπτονται από τα συστήματα στον Επαγωγικό Λογικό Προγραμματισμό προκύπτουν από κάποιο γνωστό θεωρητικό υπόβαθρο και θετικά και αρνητικά παραδείγματα και εκφράζονται ως λογικά προγράμματα. Ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός έχει χρησιμοποιηθεί εκτεταμένα σε προβλήματα που αφορούν τη μοριακή βιολογία, την βιοχημεία και την χημεία. Ο Επαγωγικός Λογικός Προγραμματισμός διαφοροποιείται από τις άλλες μορφές Μάθησης Μηχανής, αφ’ ενός μεν λόγω της χρήσης μιας εκφραστικής γλώσσας αναπαράστασης και αφ’ ετέρου από τη δυνατότητά του να χρησιμοποιεί τη γνώση υποβάθρου. Έχουν αναπτυχθεί διάφορες μηχανισμούς υλοποίησης του ILP, εκ των οποίων η πιο πρόσφατη είναι η Progol, που βασίζεται σε ένα διερμηνέα της Prolog ο οποίος συνοδεύεται από έναν αλγόριθμο Αντίστροφης Συνεπαγωγής (Inverse Entailment). Η Progol κατασκευάζει νέες προτάσεις με τη γενίκευση των παραδειγμάτων που περιέχονται στη βάση δεδομένων που της δίνεται. Η θεωρία του Επαγωγικού Λογικού Προγραμματισμού εγγυάται ότι η Progol θα διεξάγει μια αποδεκτή αναζήτηση στο διάστημα των γενικεύσεων, βρίσκοντας το ελάχιστο σύνολο προτάσεων, από το οποίο όλα τα παραδείγματα μπορούν να προκύψουν. Σε αυτή την εργασία θα αναπτυχθούν αναλυτικά η θεωρία και οι κανόνες του Επαγωγικού Λογικού Προγραμματισμού, τα είδη των προβλημάτων που επιλύονται μέσω του Επαγωγικού Λογικού Προγραμματισμού, οι μέθοδοι που ακολουθούνται καθώς και ο τρόπος με τον οποίο αναπτύσσονται οι εφαρμογές του Επαγωγικού Λογικού Προγραμματισμού. Θα δοθούν επίσης παραδείγματα κατάλληλα για την κατανόηση των γνώσεων αυτών από ένα ακροατήριο που διαθέτει βασικές γνώσεις Λογικής και Λογικού Προγραμματισμού. / Inductive Logic Programming is a research area of Artificial Intelligence that operates in the intersection of cognitive areas of Machine Learning and Logic Programming. Through inductive machine learning, Inductive Logic Programming‟s objective is creating tools and developing techniques to extract new knowledge composing a background one and empirical observations (examples). Some methods are employed, the best known of which is the reverse implication, the reverse resolution and the inverse implication. Based on Inductive Logic Programming, some systems have been developed for knowledge production. The most widely used system is Progol, which uses an input of examples and background knowledge, whichε is stated in a kind of grammar compatible to that the programming language Prolog, and generates procedures in the same language that illustrate these examples. Other systems are FOIL, MOBAL, GOLEM and LINUS. There is also Cigol which is a programming language based on the theory of Inductive Logic Programming. These systems are used in many applications. The most important is the area of pharmacology, such as predictive toxicology, the provision of rheumatic disease and the design of drugs for Alzheimer's. Applications can also be found in programming, linguistics and games like chess.

La confiance formelle en une propriété abstraite provient de l'existence d'une preuve de sa correction, qu'il s'agisse d'un théorème mathématique ou d'une qualité du comportement d'un logiciel ou processeur. Il existe de nombreuses définitions différentes de ce qu'est une preuve, selon par exemple qu'elle est écrite soit par des humains soit par des machines, mais ces définitions sont toutes concernées par le problème d'établir qu'un document représente en fait une preuve correcte. Le cadre des Certificats de Preuve Fondamentaux (Foundational Proof Certificates, FPC) est une approche proposée récemment pour étudier ce problème, fondée sur des progrès de la théorie de la démonstration pour définir la sémantique des formats de preuve. Les preuves ainsi définies peuvent être vérifiées indépendamment par un noyau vérificateur de confiance codé dans un langage de programmation logique. Cette thèse étend des résultats initiaux sur la certification de preuves du premier ordre en explorant plusieurs dimensions logiques essentielles, organisées en combinaisons correspondant à leur usage en pratique: d'abord, la logique classique sans points fixes, dont les preuves sont générées par des démonstrateurs automatiques de théorème; ensuite, la logique intuitionniste avec points fixes et égalité,dont les preuves sont générées par des assistants de preuve. Les certificats de preuve ne se limitent pas comme précédemment à servir de représentation des preuves complètes pour les vérifier indépendamment. Leur rôle s'étend pour englober des transformations de preuve qui peuvent enrichir ou compacter leur représentation. Ces transformations peuvent rendre des certificats plus simples opérationnellement, ce qui motive la construction d'une suite de vérificateurs de preuve de plus en plus fiables et performants. Une autre nouvelle fonction des certificats de preuve est l'écriture d'aperçus de preuve de haut niveau, qui expriment des schémas de preuve tels qu'ils sont employés dans la pratique des mathématiciens, ou dans des techniques automatiques comme le property-based testing. Ces développements s'appliquent à la certification intégrale de résultats générés par deux familles majeures de démonstrateurs automatiques de théorème, utilisant techniques de résolution et satisfaisabilité, ainsi qu'à la création de langages programmables de description de preuve pour un assistant de preuve. / Formal trust in an abstract property, be it a mathematical result or a quality of the behavior of a computer program or a piece of hardware, is founded on the existence of a proof of its correctness. Many different kinds of proofs are written by mathematicians or generated by theorem provers, with the common problem of ascertaining whether those claimed proofs are themselves correct. The recently proposed Foundational Proof Certificate (FPC) framework harnesses advances in proof theory to define the semantics of proof formats, which can be verified by an independent and trusted proof checking kernel written in a logic programming language. This thesis extends initial results in certification of first-order proofs in several directions. It covers various essential logical axes grouped in meaningful combinations as they occur in practice: first,classical logic without fixed points and proofs generated by automated theorem provers; later, intuitionistic logic with fixed points and equality as logical connectives and proofs generated by proof assistants. The role of proof certificates is no longer limited to representing complete proofs to enable independent checking, but is extended to model proof transformations where details can be added to or subtracted from a certificate. These transformations yield operationally simpler certificates, around which increasingly trustworthy and performant proof checkers are constructed. Another new role of proof certificates is writing high-level proof outlines, which can be used to represent standard proof patterns as written by mathematicians, as well as automated techniques like property-based testing. We apply these developments to fully certify results produced by two families of standard automated theorem provers: resolution- and satisfiability-based. Another application is the design of programmable proof description languages for a proof assistant.