Grâce au théorème d'hyperbolisation, nous savons précisément quand une variété de dimension trois compacte admet une métrique hyperbolique. Par ailleurs, d'après le théorème de rigidité de Mostow, cette structure géométrique est unique. Cependant, trouver des liens pratiques entre la géométrie et la topologie est un problème difficile. La plupart des résultats décrits dans cette thèse visent à concrétiser ces liens. Toute géodésique fermée orientée dans une surface hyperbolique admet un relèvement canonique dans le fibré tangent unitaire de la surface, et on peut donc le voir comme un nœud dans une variété de dimension trois. Les extérieurs des nœuds ainsi construits admettent une structure hyperbolique. Cette thèse a pour objet d'estimer le volume des extérieurs des relèvements canoniques. Pour toute surface hyperbolique on construit une suite de géodésique sur la surface, tel que les extérieurs associées ne sont pas homéomorphes entre elles et dont la suite des volumes respectifs est bornée. Aussi on minore le volume de l'extérieur à l'aide d'un réel explicite qui décrit une relation entre la géodésique et une décomposition en pantalons de la surface. Ceci donne une méthode pour construire une suite de géodésiques dont les volumes des extérieurs associées sont minorées en termes de la longueur de la géodésique correspondant. Dans le cas particulier de la surface modulaire, on obtient des estimations du volume de l'extérieur en termes de la période de la fraction continue associée à la géodésique. / Due to the Hyperbolization Theorem, we know precisely when does a given compact three dimensional manifold admits a hyperbolic metric. Moreover, by the Mostow's Rigidity Theorem this geometric structure is unique. However, finding effective and computable connections between the geometry and topology is a challenging problem. Most of the results on this thesis fit into the theme of making the connections more concrete. To every oriented closed geodesic on a hyperbolic surface has a canonical lift on the unit tangent bundle of the surface, and we can see it as a knot in a three dimensional manifold. The knot complement given in this way has a hyperbolic structure. The objective of this thesis is to estimate the volume of the canonical lift complement. For every hyperbolic surface we give a sequence of geodesics on the surface, such that the knot complements associated are not homeomorphic with each other and the sequence of the corresponding volumes is bounded. We also give a lower bound of the volume of the canonical lift complement by an explicit real number which describes a relation between the geodesic and a pants decomposition of the surface. This give us a method to construct a sequence of geodesics where the volume of the associated knot complements is bounded from below in terms of the length of the corresponding geodesic. For the particular case of the modular surface, we obtain estimations for the volume of the canonical lift complement in terms of the period of the continuous fraction expansion of the corresponding geodesic.

Ce texte étudie le groupe quantique Uξ sl(2|1) associé à la superalgèbre de Lie sl(2|1) et une catégorie de ses représentations de dimension finie. L'objectif est de construire des invariants topologiques de 3-variétés en utilisant la notion de trace modifiée. D'abord nous prouvons que la H catégorie CH des modules de poids nilpotents sur Uξ sl(2|1) est enrubannée et qu'il existe une trace modifiée sur son idéal des modules projectifs. De plus CH possède une structure relativement G-prémodulaire ce qui est une condition suffisante pour construire un invariant de 3-variétés à la Costantino-Geer-Patureau. Cet invariant est le cœur d'une 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). D'autre part Hennings a proposé à partir d'une algèbre de Hopf de dimension finie une construction d’invariants qui dispense de considérer la catégorie de H l l ses représentations. Nous montrons que le groupe quantique déroulé Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) possède une complétion qui est une algèbre de Hopf enrubannée topologique. Nous construisons un invariant de 3-variétés à la Hennings en utilisant cette structure algébrique, une transformation de Fourier discrète et la notion de G-intégrales. L'intégrale dans une algèbre de Hopf est centrale dans la construction de Hennings. La notion de trace modifiée dans une catégorie s'est récemment révélée être une généralisation des intégrales dans les algèbres de Hopf de dimension finie. Dans un contexte plus général d'algèbre de Hopf de dimension infinie nous prouvons la relation formulée entre la trace modifiée et la G -intégrale. / This text studies the quantum group Uξ sl(2|1) associated with the Lie superalgebra sl(2|1) and a category of finite dimensional representations. The aim is to construct the topological invariants of 3-manifolds using the notion of modified trace. We first prove that the category CH of the nilpotent weight modules over Uξ sl(2|1) is ribbon and that there exists a modified trace on its ideal of projective modules. Furthermore, CH possesses a relative G-premodular structure which is a sufficient condition to construct an invariant of 3-manifolds of Costantino-Geer-Patureau type. This invariant is the heart of a 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). Next Hennings proposed from a finite dimensional Hopf algebra, a construction of invariants which does not require to consider the category of its representations. We show that the unrolled H l l quantum group Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) has a completion which is a topological ribbon Hopf algebra. We construct an invariant of 3-manifolds of Hennings type using this algebraic structure, a discrete Fourier transform, and the notion of G-integrals. The integral in a Hopf algebra is central in the construction of Hennings. The notion of modified trace in a category has recently been revealed to be a generalization of the integrals in a finite dimensional Hopf algebra. In a more general context of infinite dimensional Hopf algebras we prove the relation formulated between the modified trace and the G-integral.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée.

Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Cette thèse est une contribution au domaine des cubulations de groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous nous intéressons au cas particulier des groupes fondamentaux de variétés hyperboliques réelles compactes. La philosophie inspirée dans ce domaine par les travaux de M. Sageev est que si un groupe hyperbolique possède suffisamment de sous-groupes de codimension 1 quasi-convexes, alors il agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. Nous démontrons un critère précis de cubulation pour les groupes fondamentaux de variétés hyperboliques compactes, à l'aide de constructions d'espaces à murs quasi-isométriques à l'espace hyperbolique réel. Nous nous restreignons par la suite au cas particulier de la dimension 3 et plus particulièrement aux 3-variétés hyperboliques compactes virtuellement fibrées sur le cercle. Nous exploitons alors une construction de surfaces immergées incompressibles dites coupées-croisées due à D. Cooper, D. Long et A. Reid dans une telle 3-variété M pour fabriquer des sous-groupes de surface de son groupe fondamental~G. En raffinant des arguments de J. Masters et en exploitant la structure de l'application de Cannon-Thurston, nous parvenons à construire des sous-groupes de surfaces quasi-convexes de G en quantité suffisante pour que leurs ensembles limites permettent de séparer toutes les paires de points distincts du bord du revêtement universel de M. En conséquence de cette construction, G agit géométriquement sur un complexe cubique CAT(0) de dimension finie. D. Wise soulève alors la question de savoir si ce groupe G peut agir géométriquement et également virtuellement co-spécialement (au sens de F. Haglund et D. Wise) sur un complexe cubique CAT(0). Une réponse positive résoudrait les conjectures selon lesquelles G est large et le premier nombre de Betti virtuel de M est infini. Nous faisons remarquer que pour obtenir une réponse positive à cette question, il suffit de trouver une surface coupée-croisée virtuellement plongée dans un revêtement fini fibré sur le cercle de M. Nous concluons en présentant des conditions algébriques, puis géométriques et cohomologiques suffisantes pour qu'une surface coupée-croisée donnée soit virtuellement plongée. / This thesis contributes to the study of geometric actions of word-hyperbolic groups on finite dimensional CAT(0) cube complexes. We are mainly interested in the case of fundamental groups of closed hyperbolic manifolds. The philosophy coming from pioneer work of M. Sageev is that a hyperbolic group with sufficiently many quasi-convex codimension one subgroups acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. We prove a precise criterion for cubulation in the case of closed hyperbolic manifolds, by constructing spaces with walls quasi-isometric to real hyperbolic space. We next focus on the case of three dimensional closed hyperbolic manifolds which are virtually fibered over the circle. In this setting, we use a construction of incompressibly immersed cut-and-cross-join surfaces due to D. Cooper, D. Long and A. Reid that yields surface subgroups of the fundamental group G of the 3-manifold M. By expanding on work of J. Masters and using the structure of the Cannon-Thurston map, we are able to build many quasi-convex surface subgroups of G whose limits sets may be used to separate any pair of distinct points in the boundary of the universal cover of M. As a consequence, G acts geometrically on a finite dimensional CAT(0) cube complex. D. Wise then asks if it is possible that G acts both geometrically and virtually co-specially (in the sense of F. Haglund and D. Wise) on a CAT(0) cube complex. A positive answer would solve the long-standing conjectures that G is large and M has infinite virtual first Betti number. We then explain why finding a virtually embedded cut-and-cross-join surface in a finite cover of M would be enough to solve this problem. Finally, we give some algebraic and then geometric and cohomological sufficient conditions for a given cut-and-cross-join surface to virtually embed.