The goal of this thesis is to show global instability or Arnold's diffusion in the elliptic restricted three body problem (ERTBP) by proving the existence of pseudo-trajectories diffusing along the phase space for certain ranges of the eccentricity of the primaries (e), the angular momentum of the comet (G) and the parameter of mass (µ). More precisely, the results presented in his thesis, are valid for G big enough, eG bounded and µ small enough. The thesis is divided in two chapters and two appendices. The chapter one, contains all the main results. After introducing the ERTBP, we use McGehee coordinates to define the infinity manifold, which turn to be a three dimensional invariant manifold in the extended phase space which behaves topologically as a Normally Hyperbolic Invariant Manifold (NHIM), although it is of parabolic type. This means that the rate of approach and departure from it along its invariant manifolds is polynomial in time, instead of exponential-like as happens in a standard NHIM. On the other hand, the inner dynamics is trivial, since it is formed by a two-parameter family of 2p-periodic orbits in the 5D extended phase space which correspond to constant solutions in the 4D phase space. As a consequence, the stable and unstable manifold of the infinity manifold are union of the stable and unstable manifolds of its periodic orbits, and as long as these manifolds intersect along transversal heteroclinic orbits, the scattering map can be defined, as De la Llave, Seara and Delshams did. Unfortunately, since the inner dynamics of the infinity manifold is so simple, the classical mechanisms of diffusion, consisting of combining the inner and outer dynamics, do not work here. Instead, as a novelty, we will be able to find two different scattering maps which will be combined in a suitable way to provide orbits whose angular momentum increases. The asymptotic formula of the scattering map relies entirely in the computation of the so called Menikov potential as defined in the works of Delshams, Gutiérrez and Seara. The first derivative of the Melnikov potential gives the first order approximation of the distance between the stable and unstable invariant manifolds of the infinity manifold whenever the parameter of mass is exponentially small. Given this setting, a series of lemmas and propositions will lead to a formula of the dominant terms of this Melnikov potential. The key idea is to compute its Fourier coefficients which will be exponentially small when the angular momentum is large and an explicit formula will be not possible, therefore and effective computation will be necessary. To do so the product eG will play a key role which lead to theorems 1.5 and 1.6, the former gives an asymptotic formula for the Melnikov potential whenever eG is samll, and the latter whenever eG is finite. Both of them requires µ to be exponentially small with respect to G, and G to be big enough. These theorems naturally produce asymptotic formulas for the scattering maps in both cases and are the base for theorems 1.15 and 1.16 which formulate the existence of pseudo-trajectories in the ERTBP. In chapter two, we provide the details and the proofs of the results concerning the asymptotic formulas, given in chapter one, for the Melnikov potential and the scattering maps, including effective bounds of every error function involved. The appendices have the more technical results needed to complete in a rigorous way every proof, but because of its nature, can be relegated to the end, to make easier to follow up the main proofs. / El objetivo de esta tesis es mostrar inestabilidad global o difusión de Arnold en el problema restringido de tres cuerpos elíptico (PTCRE) mostrando la existencia de pseudo-trayectorias difusivas en el espacio fase para ciertos rangos de la excentricidad (e), el momento angular del cometa (G) y el parámetro de masa (µ). Mas precisamente, los resultados presentados, son válidos para G suficientemente grande, eG acotado y µ suficientemente pequeño. La tesis está dividida en dos capítulos y dos apéndices. El capítulo 1, contiene todos los resultados principales. Después de introducir el PTCRE, usamos coordenadas de McGehee para definir la variedad de infinito, que será de dimensión tres en el espacio fase extendido y que topológicamente se comporta como una variedad invariante normalmente hiperbólica (NHIM), aunque es de tipo parabólico. Esto significa que la tasa de acercamiento y alejamiento de ella a lo largo de sus variedades invariantes es polinomial, en lugar de exponencial como sucede en una NHIM estándar. Por otra parte, la dinámica interior es trivial ya que está formada por una familia de orbitas con 2 parámetros y de período 2p en el espacio extendido 5D que corresponden a soluciones constantes en el espacio reducido 4D. Como consecuencia, las variedades estables e inestables de la variedad de infinito son la unión de las variedades estables e inestables de sus orbitas periódicas y siempre que estas variedades se intersequen sobre orbitas heteroclínicas transversales, el scattering map puede ser definido como hicieron De la Llave, Seara y Delshams . Desafortunadamente, ya que la dinámica interior de la variedad de infinito es muy simple, el mecanismo de difusión clásico, que consiste en combinar la dinámica interior con la exterior, no funciona aquí. En su lugar, como una novedad, seremos capaces de encontrar dos scattering maps diferentes que serán combinados de manera adecuada para producir orbitas cuyo momento angular crezca. La fórmula asintótica del scattering map recae enteramente en el cálculo del llamado potencial de Melnikov, como es definido en los trabajos de Delshams, Gutiérrez y Seara. La primer derivada del potencial de Melnikov da la aproximación a primer orden de la distancia entre las variedades estable e inestable de la variedad de infinito cuando el parámetro de masa es exponencialmente pequeño. Con este planteamiento, una serie de lemas y proposiciones conducirán a la fórmula de los términos dominantes del potencial de Melnikov. La idea clave es calcular sus coeficientes de Fourier, que serán exponencialmente pequeños cuando el momento angular es grande y una fórmula explícita no será posible, así que un cálculo efectivo será necesario. Para hacerlo, el producto eG jugará un papel clave que conducirá a los teoremas 1.5 y 1.6, el primero da una fórmula asintótica del potencial de Melnikov cuando eG es pequeño y el segundo cuando eG es finito. Ambos requieren que µ sea exponencialmente pequeño con respecto a G, y G suficientemente grande. Estos teoremas naturalmente producirán las fórmulas asintóticas de los scattering maps para ambos casos y son la base de los teoremas 1.15 y 1.16, que formulan la existencia de pseudo-trayectorias en el PTCRE. En el capítulo 2, damos los detalles y las pruebas de los resultados concernientes a las formulas asintóticas, dadas en el capítulo 1, para el potencial de Melnikov y los scattering maps, incluyendo las cotas efectivas de cada error involucrado. Los apéndices tienen los resultados mas técnicos que son necesarios para completar de forma rigurosa cada prueba, pero que por su naturaleza, pueden ser relegados al final para hacer seguir las pruebas con mas facilidad.

La descripció qualitativa dels colors que composen una imatge digital és una tasca molt senzilla pel sistema visual humà. Per un ordinador aquesta tasca involucra una gran quantitat de qüestions i de dades que la converteixen en una operació de gran complexitat. En aquesta tesi desenvolupam un mètode automàtic per a la construcció d'una paleta de colors d'una imatge digital, intentant respondre a les diferents qüestions que se'ns plantegen quan treballam amb colors a dins el món computacional. El desenvolupament d'aquest mètode suposa l'obtenció d'un algorisme automàtic de segmentació d'histogrames, el qual és construït en detall a la tesi i diferents aplicacions del mateix son donades. Finalment, també s'explica el funcionament de CProcess, un 'software' amigable desenvolupat per a la fàcil comprensió del color.

Aquesta tesi està dividida en dues parts diferents. En la primera, estudiam els sistemes quadràtics (sistemes polinomials de grau dos) que tenen un invers de factor integrant polinomial. En la segona, estudiam tres problemes diferents referits als sistemes diferencials polinomials. La primera partEn l'estudi dels sistemes diferencials plans el coneixement d'una integral primera és molt important. Els seus conjunts de nivell estan formats per òrbites i ens permeten dibuixar el retrat de fase del sistema, objectiu principal de la teoria qualitativa de les equacions diferencials al pla. Com ja se sap, existeix una bijecció entre l'estudi de les integrals primeres i l'estudi dels inversos de factor integrant. De fet, és més senzill l'estudi dels inversos de factor integrant que el de les integrals primeres. Una classe és dels sistemes quadràtics àmpliament estudiada dins els sistemes diferencials al pla és la dels sistemes quadràtics. Hi ha més d'un miler d'articles publicats sobre aquest tipus de sistemes, però encara som lluny de conèixer quins d'aquests sistemes són integrables, és a dir, si tenen una integral primera. En aquest treball, estudiam els sistemes quadràtics que tenen un invers de factor integrant polinomial V = V(x, y), i per tant també tenen una integral primera, definida allà on no s'anul·la. Aquesta classe de sistemes diferencials és important per diferents motius: 1. La integral primera és sempre Darboux. 2. Conté la classe dels sistemes quàdratics homogenis, àmpliament estudiada (Date, Sibirskii, Vulpe...). 3. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb un centre, també estudiada (Dulac, Kapteyn, Bautin,...). 4. Conté la classe dels sistemes quàdratics Hamiltonians (Artés, Llibre, Vulpe). 5. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb una integral primera polinomial (Chavarriga, García, Llibre, Pérez de Rio, Rodríguez). 6. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb una integral primera racional de grau dos (Cairó, Llibre). La segona partPresentam els següents tres articles: 1. A. Ferragut, J. Llibre and A. Mahdi, Polynomial inverse integrating factors for polynomial vector ?elds, to appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Periodic orbits for a class of C(1) three-dimensional systems, submitted. 3. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Hyperbolic periodic orbits coming from the bifurcation of a 4-dimensional non-linear center, to appear in Int. J. Of Bifurcation and Chaos. En el primer article donam tres resultats principals. Primer provam que un camp vectorial polinomial que té una integral primera polinomial té un invers de factor integrant polinomial. El segon resultat és un exemple d'un camp vectorial polinomial que té una integral primera racional i no té ni una integral primera polinomial ni un invers de factor integrant polinomial. Era un problema obert el fet de sebre si existien camps vectorials polinomials veri?cant aquestes condicions. El tercer resultat és un exemple d'un camp vectorial polinomial que té un centre i no té invers de factor integrant polinomial. Un exemple d'aquest tipus era esperat però desconegut en la literatura. En el segon article estudiam camps vectorials polinomials reversibles de grau quatre en R(3) que tenen, sota certes condicions genèriques, un nombre arbitrari d'-orbitesperi-odiques hiperb-oliques. Sense aquestes condicions, tenen un nombre arbitrari d'òrbites periòdiques hiperbòliques. Sense aquestes condicions, tenen un nombre arbitrari d'òrbites periòdiques.Finalment, en el tercer article, estudiam la pertorbació d'un centre de R(4) que prove d'un problema de la física. Mitjançant la teoria dels termes mitjans de primer ordre dins els camps vectorials polinomials de grau quatre, el sistema pertorbat pot tenir fins a setze òrbites periòdiques hiperbòliques bifurcant de les òrbites peròdiques del centre. / This thesis is divided into two different parts. In the first one, we study the quadratic systems (polynomial systems of degree two) having a polynomial inverse integrating factor. In the second one, we study three different problems related to polynomial differential systems.The ?rst part.It is very important, for planar differential systems, the knowledge of a ?rst integral. Its level sets are formed by orbits and they let us draw the phase portrait of the system, which is the main objective of the qualitative theory of planar differential equations. As it is known, there is a bijection between the study of the ?rst integrals and the study of inverse integrating factors. In fact, it is easier to study the inverse integrating factors than the ?rst integrals. A widely studied class of planar differential systems is the quadratic one. There are more than a thousand published articles about this subject of differential systems, but we are far away of knowing which quadratic systems are integrable, that is, if they have a ?rst integral. In this work, we study the quadratic systems having a polynomial inverse integrating factor V = V (x, y), so they also have a ?rst integral, de?ned where V does not vanish. This class of quadratic systems is important for several reasons: 1. The ?rst integral is always Darboux. 2. It contains the class of homogeneous quadratic system, widely studied (Date, Sibirskii, Vulpe,...). 3. It contains the class of quadratic systems having a center, also studied (Dulac, Kapteyn, Bautin,...). 4. It contains the class of Hamiltonian quadratic systems (Artés, Llibre, Vulpe). 5. It contains the class of quadratic systems having a polynomial ?rst integral (Chavarriga, García, Llibre, Pérez de Rio, Rodríguez). 6. It contains the class of quadratic systems having a rational ?rst integral of de gree two (Cairó, Llibre). The classi?cation of the quadratic systems having a polynomial inverse integrating factor is not completely ?nished. There remain near a 5% of the cases to study. We leave their study for an immediate future. The second part.We present the following three articles: 1. A. Ferragut, J. Llibre and A. Mahdi, Polynomial inverse integrating factors for polynomial vector ?elds, to appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Periodic orbits for a class of C(1) three-dimensional systems, submitted. 3. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Hyperbolic periodic orbits coming from the bifurcation of a 4-dimensional non-linear center, to appear in Int. J. Of Bifurcation and Chaos. In the first article we give three main results. First we prove that a polynomial vector field having a polynomial must have a polynomial inverse integrating factor. The second one is an example of a polynomial vector ?eld having a rational ?rst integral and having neither polynomial ?rst integral nor polynomial inverse integrating factor. It was an open problem to know if there exist polynomial vector ?elds verifying these conditions. The third one is an example of a polynomial vector ?eld having a center and not having a polynomial inverse integrating factor. An example of this type was expected but unknown in the literature. In the second article we study reversible polynomial vector ?elds of degree four in R(3) which have, under certain generic conditions, an arbitrary number of hyperbolic periodic orbits. Without these conditions, they have an arbitrary number of periodic orbits. Finally, in the third article, we study the perturbation of a center in R(4) which comes from a problem of physics. By the ?rst order averaging theory and perturbing inside the polynomial vector ?elds of degree four, the perturbed system may have at most sixteen hyperbolic periodic orbits bifurcating from the periodic orbits of the center.

Objetivos • Demostrar la siguiente conjetura: la sucesión x_{-2}=x_{-1}=x_0=1, x_{k+1}=1/(x_{k}+x_{k-2}) es asintóticamente dos periódica prima. • Estudiar el concepto de irreducibilidad de una ecuación en diferencias racional, y aplicarlo a la resolución de un problema sobre el carácter no finalmente positivo de las soluciones de ciertas ecuaciones en diferencias racionales. • Generalizar las definiciones de caos en el sentido de Li-Yorke y Marotto, enunciados en el caso diferenciable, al caso no continuo de las ecuaciones en diferencias racionales. Extender la condición suficiente de Marotto para la existencia de caos (presencia de un repulsor de retorno finito) a ecuaciones en diferencias racionales. • Realizar análisis numéricos que justifiquen la siguiente conjetura: los teoremas sobre la presencia de repulsores de retorno finito y órbitas homoclínicas en ecuaciones en diferencias perturbadas son también válidos en el contexto racional. • Estudiar los conjuntos prohibidos de ecuaciones en diferencias racionales. Metodología El contenido de la Memoria se ha desarrollado en las siguientes etapas: 1. Un extenso trabajo de documentación en el que se ha consultado la literatura sobre los objetivos antes expuestos, de la cual destacamos los siguientes textos: a) E. Camouzis y G. Ladas. Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. Advances in Discrete Mathematics and Applications, v.5. Taylor & Francis, 2007. b) F.R. Marotto. Snapback repellers imply chaos in Rn . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 63:199–223, 1978. c) F.R. Marotto. Perturbation of stable and chaotic difference equations. J. Math. Anal. Appl, (72):716–729, 1979. d) F. J. Palladino. On invariants and forbidden sets. Xiv:1203.2170v2, 2012. e) R. Azizi. Global behaviour of the rational Riccati difference equation of order two: the general case. Journal of Difference Equations and Applications, 18:947–961, 2012. 2. Simulación numérica utilizando los sistemas algebraicos computacionales wxMaxima 11.08.0 y Mathematica 5.0 3. Un trabajo creativo en el que se han ido obteniendo los teoremas y conjeturas de la Memoria. 4. La presentación de partes de dicho trabajo en diversas publicaciones y comunicaciones en congresos, 5. La revisión del trabajo por el director mediante medios telemáticos y entrevistas frecuentes, durante un periodo de siete años. Conclusiones En la Memoria se han conseguido los siguientes resultados: • La demostración de la conjetura sobre la sucesión citada en el objetivo 1. • La extensión de la conjetura a condiciones iniciales más generales y la determinación de la cuenca de atracción del equilibrium positivo de la ecuación x_{k+1}=1/(x_k+x_{k-2}) • La irreducibilidad de ciertas ecuaciones en diferencias racionales. También se ha encontrado un ejemplo de ecuación no irreducible que puede ser estudiada mediante una ecuación irreducible asociada a ella. • Un teorema general sobre ecuaciones en diferencias racionales no uniformemente finalmente positivas. • La extensión, al contexto de las ecuaciones en diferencias racionales, del teorema de Marotto sobre caos y repulsores de retorno finito. • Se han propuesto diversas conjeturas sobre ecuaciones en diferencias racionales obtenidas mediante perturbaciones de modelos unidimensionales caóticos. Éstas se podrían aplicar a la generalización del modelo de competición de especies de Hassell y Comins. • Dichas conjeturas se han apoyado en simulaciones numérico-gráficas sobre los modelos anteriores. • Se ha recopilado la literatura reciente más relevante sobre los conjuntos prohibidos de ecuaciones en diferencias racionales. • Se han investigado, tanto analítica como numéricamente, los conjuntos prohibidos de las ecuaciones en diferencias estudiadas en el resto de la Memoria. Además durante el desarrollo del trabajo han ido surgiendo diversas conjeturas y problemas abiertos recopilados en el último capítulo de la Memoria. Archena, a 27 de enero de 2014 / Objectives The main objectives of the dissertation are: • To prove the following conjecture: the sequence x_{-2}=x_{-1}=x_0=1, x_{k+1}=1/(x_{k}+x_{k-2}) is asymptotically a period-two sequence (with prime period). • To study the concept of irreducible rational difference equation, applying it to the resolution of a problem about the non eventually positive character of the solutions of some rational difference equations. • To generalize the definitions of Li-Yorke chaos and Marotto chaos to the non continuous framework of rational difference equations, and to extend Marotto's snap-back repeller criterion to rational difference equations. • To make numerical analysis in the aim of justify some conjectures about the presence of snap-back repellers or homoclinic orbits in rational difference equations constructed by a perturbation of a one-dimensional model having such trajectories. • To study the forbidden sets of rational difference equations. Metodology The steps of our work were the following: 1. A wide work of documentation. We have read several books and papers related to the former objectives. For example: a) E. Camouzis y G. Ladas. Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. Advances in Discrete Mathematics and Applications, v.5. Taylor & Francis, 2007. b) F.R. Marotto. Snapback repellers imply chaos in Rn . Journal of Mathematical Analysis and Applications, 63:199–223, 1978. c) F.R. Marotto. Perturbation of stable and chaotic difference equations. J. Math. Anal. Appl, (72):716–729, 1979. d) F. J. Palladino. On invariants and forbidden sets. Xiv:1203.2170v2, 2012. e) R. Azizi. Global behaviour of the rational Riccati difference equation of order two: the general case. Journal of Difference Equations and Applications, 18:947–961, 2012. 2. A numerical analysis using the computer algebra systems wxMaxima 11.08.0 and Mathematica 5.0 3. A creative work to obtain the theorems and conjectures of the dissertation. 4. The presentation of the former work in several articles and congress communications. For example: a) The difference equation x n1=1 / x n x n−2  . NoLineal 2010 – Cartagena (Spain), june 2010. b) On the difference equation x n1=1 / x n x n−2  . CSS Workshop on Discrete Dynamical Systems – La Manga (Spain), september 2010 c) On solutions of rational difference equations with non positive initial conditions. VCDS, Banská Bystrica (Slovakia), july 2011 d) Snap-back repellers in rational difference equations. ICDEA – Barcelona (Spain), 22th - 27th july 2012. 5. A seven years review work of the dissertation director, using telematic resources and periodic interviews. Conclusions In the dissertation we have achieved the following results: • The proof of the conjecture cited in objective 1. • The extension of the conjecture to more general initial conditions and the determination of the basin of attraction of the positive equilibrium in equation x_{k+1}=1/(x_k+x_{k-2}) • Several examples of irredutible rational difference equations and a non-irreducible rational difference equation with and associated reducible one. • A general theorem about non uniformly eventually positive rational difference equations. • The extension to rational difference equations of the Li-Yorke and Marotto chaos definitions. The extension of Marotto's snap-back repeller rule to detect chaos in a rational difference equation. • We have conjectured several results about the existence of snap-back repellers or homoclinic orbits in rational difference equations obtained by perturbing one-dimensional models. The results could be applied to the Hassell-Comins species competition model. • The former conjectures have been made subsequent to several numerical analysis of those rational difference equations. • We have compiled the recent literature about forbidden sets in rational difference equations, providing a summary of the different techniques for the study of such sets. • We have studied analytically and numerically the forbidden sets of the equations in the former chapters of the dissertation. Finally we have compiled in the last chapter the open problems and conjectures produced along the dissertation. Archena, january 27, 2014

El objetivo principal de este trabajo es el estudio del cálculo de la distancia aparente de un código abeliano, la cual es una cota para su distancia mínima. Asimismo, también son objeto de este trabajo el desarrollo de la noción de cota BCH y código BCH multivariable, de las construcciones multivariables y las aplicaciones a los códigos cíclicos que se desprenden de dichas nociones. Un primer problema concreto que abordamos en esta tesis es determinar cuándo en un código cíclico la mayor de sus cotas BCH coincide con su distancia mínima. En este sentido hemos encontrado condiciones en términos de los divisores del polinomio xr-1 en ciertas extensiones del cuerpo base de los códigos que consideramos en este trabajo. Es más, a partir de estos resultados mostramos un método de construcción de códigos para los cuales el máximo de sus cotas BCH y su distancia mínima coinciden. En 1970, P. Camion [1] extendió el estudio de la cota BCH a la familia de los códigos abelianos al introducir la noción de distancia aparente de un código abeliano. En el caso de los códigos cíclicos, la distancia aparente y la (máxima) cota BCH del código, coinciden. La distancia aparente de un código abeliano en un anillo semisimple es el mínimo de la distancia aparente de ciertos polinomios que corresponden con la transformada de Fourier discreta de los elementos de todos los subconjuntos del conjunto de idempotentes que pertenecen al código. Esto implica que el cálculo es de orden exponencial. Así, en la práctica, el número de operaciones requeridas es muy elevado, por lo que es pertinente plantearse la búsqueda de un método alternativo que simplifique el original. En [2], R. E. Sabin realizó la primera reducción de los cálculos para obtener la distancia aparente de un polinomio fijo usando ciertas manipulaciones de matrices en el contexto de los llamados “2-D cyclic codes" (códigos abelianos en dos variables). Aún cuando el método de Sabin simplifica el original, no ayuda en nada a reducir el número de cálculos necesarios en el cómputo de la distancia aparente de un código. Así que el problema de la complejidad siguió abierto. En el trabajo de Camion antes mencionado, puede comprobarse que la distancia aparente de un código cíclico es precisamente la distancia aparente de un polinomio asociado al idempotente generador del código (concretamente, la transformada de Fourier). Hay ejemplos que muestran que, en el caso multivariable, dicha igualdad no se verifica, así que es natural preguntarse si en ese caso puede obtenerse la distancia aparente a partir de ciertas manipulaciones sobre dicho polinomio o específicamente sobre la hipermatriz (de coeficientes) asociada a la imagen bajo la transformada de Fourier del idempotente generador, respecto de ciertas raíces de la unidad prefijadas. Éste es el objetivo principal alcanzado en este trabajo: presentar un algoritmo para calcular la distancia aparente de un código abeliano basándose en el manejo de hipermatrices, de tal forma que la cantidad de operaciones involucradas se reduzca notablemente. De hecho, en el caso caso de dos variables se reduce hasta el orden lineal. Una vez que el algoritmo ha sido desarrollado, el siguiente paso natural ha sido presentar una noción de código BCH multivariable que nos ha permitido extender muchos de los resultados clásicos sobre códigos BCH cíclicos. Además, hemos encontrado aplicaciones de nuestras técnicas en la construcción de códigos abelianos con distancia aparente predeterminada. REFERENCIAS [1] P. Camion, Abelian Codes, MRC Tech. Sum. Rep. \# 1059, University of Wisconsin, 1971. [2] R. Evans Sabin, On Minimum Distance Bounds for Abelian Codes, Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing, Springer-Verlag, 1992

Esta Tesis Doctoral está enmarcada dentro del área del Álgebra, concretamente, de los Anillos de Grupo. El objetivo principal de la misma es el estudio del grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito. El primer trabajo que se conoció sobre este grupo de unidades lo presento Higman en 1940 en su tesis doctoral. Éste describe el grupo de unidades para el anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo abeliano y como consecuencia de este resultado se tiene que las unidades centrales del anillo de grupo con coeficientes enteros no son mas que las triviales. A partir de este momento, muchos autores se interesaron en dicho grupo de unidades. Sobre este grupo de unidades se sabe que es finitamente generado, pero no se conoce un conjunto finito de generadores, y que en muchos casos contiene un subgrupo libre de rango dos. También se ha intentado describir las unidades de orden finito y los subgrupos finitos de este grupo de unidades. Justamente este es el propósito de las tres Conjeturas de Zassenhaus, planteadas por Hans Zassenhaus en los años sesenta. Unos años después se presento un contraejemplo para dos de ellas. Otro punto interesante sobre el grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito, es conocer sus subgrupos de índice finito. Problemas como el de los subgrupos de congruencia traducidos a este contexto son de gran ayuda para este propósito. En esta Tesis hemos abordado dos problemas clásicos como son la Conjetura de Zassenhaus y el Problema de los Subgrupos de Congruencia para anillos de grupo con coeficientes enteros. Durante la realización de la Tesis doctoral, localizamos y estudiamos en profundidad la bibliografía existente relacionada con nuestro objeto de estudio. Establecimos contacto continuo con expertos en la materia y realice una estancia de tres meses en la Universidad Libre de Bruselas. El fruto de este trabajo se vio reflejado en los artículos “Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups” el cual esta aceptado en “Journal of the London Mathematical Society” y “On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings” el cual esta sometido. La monografía, que consta de una introducción, tres capítulos y las conclusiones, está dividida principalmente en dos partes. Uno de los tópicos centrales es la Conjetura de Zassenhaus. Esta pretende describir las unidades de orden finito del anillo de grupo con coeficientes enteros de un grupo finito. Nuestra aportación principal en este aspecto consiste en probar la Conjetura de Zassenhaus para grupos cíclicos-por-abelianos. El segundo problema que abordamos es el de clasificar los grupos finitos para los cuales el grupo de unidades del anillo de grupo con coeficientes enteros tiene núcleo de congruencia finito. Desafortunadamente en este problema encontramos un gran obstáculo, por lo que dimos una clasificación muy cercana a la planteada originalmente y que resulta de gran utilidad porque nos da mucha información sobre los subgrupos de índice finito del anillo de grupo con coeficientes enteros. / This thesis is placed in the general framework of Algebra, concretely, in Group Rings. The main aim of it is to study the group of units of the integral group ring of a finite group. Higman presented the first work about this group of units in 1940 in his thesis. It describe the group of units of the integral group ring of an abelian group, moreover shows that the central units are exactly the trivial ones. From here, it has attracted the interest of many authors. About the group of units of the integral group ring of a finite group we know that it is finite generated, however a finite set of generators is not known in general, and also it contains in many cases a free subgroup of rank two. On the other hand, many authors have attempted to describe the units of finite order and the finite subgroups of such group of units. This is just the goal of the three Zassenhaus conjectures, posed by Hans Zassenhaus in the 60s. Some years later, a counterexample for two of them appeared. Another interesting point on the group of units of the integral group ring of a finite group is to know its subgroups of finite index. One way to do so is to translate the Congruence Subgroup Problem to the context of integral group rings. In this thesis we have addressed two classical problems, namely Zassenhaus Conjecture and the Congruence Subgroup Problem for integral group rings of a finite group. During the realization of this thesis, we found and study in depth the existing literature concerning our subject. We established contact with experts and I did my stay in “Vrije Universiteit Brussel”. This work has given rise to my two papers “Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups ” which is accepted in “Journal of the London Mathematical Society” and “On the Congruence Subgroup Problem for integral group rings ” which is submitted. The monograph, consisting of an introduction, three chapters and the conclusions, is divided into two parts. A central topic is the Zassenhaus Conjecture. This tries to describe the units of finite order of the integral group ring of a finite group. Our main contribution consists in proving the Zassenhaus Conjecture for cyclic-by-abelian groups. Later on we deal with the problem of classifying the finite groups for which the group of units of the integral group ring has finite congruence kernel. Unfortunately, in this problem we encountered an obstacle. So we give a classification, which is very close to the original one, and it gives us relevant information on the subgroups of finite index of the group of units of the integral group ring of a finite group.

Esta Tesis Doctoral está enmarcada dentro del área del Álgebra, concretamente, de la Teoría de Representación de Álgebras. El objetivo principal de la misma es el estudio de propiedades homológicas de una clase de álgebras finito dimensionales conocidas como Álgebras de malla finito dimensionales. Dichas álgebras, introducidas por primera vez por K. Erdmann y A. Skowronski en 2008, surgieron como generalización de las álgebras preproyectivas y han suscitado un gran interés en los últimos años en el contexto general de las álgebras finito dimensionales. Entre otras, cabe destacar su aplicación en problemas de álgebras de conglomerado, grupos cuánticos, clasificación de ecuaciones diferenciales, singularidades de Klenian y geometría diferencial. Durante el primer periodo de la realización de la Tesis doctoral, localizamos y estudiamos en profundidad la bibliografía existente relacionada con nuestro objeto de estudio. Establecimos contacto continuo con expertos en la materia e incluso tuve la oportunidad de trabajar con Karin Erdmann durante mis tres meses de estancia en la Universidad de Oxford. El fruto de este trabajo se vio reflejado en mis dos primeros artículos publicados “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln” y “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln over a field of characteristic 2”. La monografía, que consta de un total de 6 capítulos, está dividida en dos partes. Uno de los tópicos centrales es el anillo de cohomología de Hochschild de un álgebra. Este anillo tiene una notable influencia en diversas partes de las matemáticas como el Álgebra Conmutativa, la Teoría de Anillos, la Geometría Conmutativa y no Conmutativa, la Teoría de Representación, la Física Matemática, … Además, su estructura multiplicativa está estrechamente relacionada con el estudio de las variedades de módulos y su álgebra de Yoneda. La definición del anillo de cohomología de Hochschild es bien sencilla, sin embargo, muy poco se sabe acerca de él. Es más, en la gran mayoría de los casos resulta extremadamente difícil calcularlo. Nuestra aportación principal en este aspecto consiste en la descripción explícita, mediante generadores y relaciones, de la estructura multiplicativa del anillo de cohomología de Hochschild de las álgebras de malla finito dimensionales de tipo Ln y Bn. Nuestras conclusiones resultan sorprendentes pues muestran grandes diferencias en el comportamiento de dicho anillo asociado no sólo a distintas álgebras, sino a una misma álgebra. Por otra parte, abordamos las propiedades homológicas de simetría, periodo y dimensión de Calabi-Yau de las álgebras de malla finito dimensionales. Consideramos primeramente la simetría y, como resultado, identificamos aquellas álgebras que son débilmente simétricas y las que son a su vez simétricas. A pesar de que una de las características más conocidas de estas álgebras es que son periódicas, sólo en muy pocos casos se ha conseguido calcular su periodo. En esta Tesis calculamos explícitamente el periodo de cada una de ellas. Finalmente tratamos la noción Calabi-Yau, definida por M.Kontsevich a finales de los años 90 y que ha sido intensamente estudiada por muchos matemáticos en los últimos años. Nuestro resultado principal es la caracterización de las álgebras de malla finito dimensionales que son establemente Calabi-Yau y Calaib-Yau Frobenius. Además, en tal caso, calculamos ambas dimensiones probando que, a pesar de que en la mayoría de los casos coinciden, no siempre son iguales, hecho que a día de hoy era desconocido. / This thesis is placed in the general framework of Algebra, concretely, in Representation Theory of Algebras. The main aim of it is to study homological properties of a class of finite dimensional algebras known as finite dimensional mesh algebras. Such algebras, first introduced by K. Erdmann and A. Skowronski in 2008, arise as a generalization of preprojective algebras and have attracted great interest in the general context of finite dimensional algebras in recent years. Among others, it is worth mentioning their application to problems related with cluster algebras, quantum groups, classification of differential equations, Klenian singularities and differential geometry. During the first period of the realization of this thesis, we found and study in depth the existing literature concerning our subject. We established contact with experts and I even had the opportunity of working with K. Erdmann for three months during my stay at University of Oxford. This work have given rise to my two first published papers “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln” y “The Hochschild cohomology ring of preprojective algebras of type Ln over a field of characteristic 2”. The monograph, consisting of six chapters, is divided into two parts. A central topic is the Hochschild cohomology ring of an algebra. This ring has great influence in many diverse areas of mathematics such as commutative algebra, ring theory, commutative and noncommutative geometry, representation theory, mathematical physics, … Also, its multiplicative structure is closely related to the study of module varieties and its Yoneda algebra. The definition of the ring is quite simple , however, only little information is known. Moreover, in most of the cases is extremely difficult the computation. Our main contribution consists of an explicit description, by means of generators and relators, of the multiplicative structure of the Hochschild cohomology ring of the finite dimensional mesh algebras of type Ln and Bn. Our conclusions are surprising since they show big differences in the behavior of this ring associated not only to two different algebras but also to the same one. On the other hand, we deal with the homological properties of symmetry, period and Calabi-Yau dimension of finite dimensional mesh algebras. We first consider the symmetry and, as a result, we identify those algebras being weakly symmetric and those which are in turn symmetric. Despite of the fact that it is well known that finite dimensional mesh algebras are periodic, the precise calculation of the period is only known in a few cases. In this thesis, we explicitly compute the period of any of this algebras. Finally, we deal with the Calabi-Yau notion, defined by M. Kontsevich in the late 90s and that has been intensively studied by many mathematicians in recent years. Our main result is the characterization of the stably Calabi-Yau and Calabi-Yau Frobenius finite dimensional mesh algebras. Moreover, in this case, we compute both dimensions showing that they need not to be equal, an unknown fact so far.

En esta tesis doctoral se presentan nuevas técnicas para estimar modelos de coeficientes variables de datos de panel donde los efectos individuales están arbitrariamente correlacionados con las variables explicativas de un modo desconocido. Para evitar el problema de dependencia estadística entre la heterogeneidad no observada y las covariables, se recurre a transformaciones estándar de datos de panel. Sin embargo, estas transformaciones proporcionan un modelo de regresión que puede ser considerado como una función aditiva con la misma forma funcional pero evaluada en distintos períodos de tiempo. En este contexto, presentamos estimadores en diferencias (primeras diferencias y efectos fijos) totalmente novedosos basados en una aproximación local lineal y en el uso de una ponderación de kernel de mayor dimensión. Desafortunadamente, este procedimiento no permite eliminar el sesgo asintótico no negligible pero al precio de aumentar la varianza. Por lo tanto, los estimadores resultante alcanzan una tasa subóptima de convergencia, especialmente lenta para el estimador de efectos fijos. Con el objetivo de alcanzar optimalidad, se proponen estimadores de algoritmo de backfitting de una etapa. Las propiedades asintóticas de estos estimadores son establecidas bajo el supuesto de que N→∞ y T es fijo. Para determinar el comportamiento en muestras finitas de los estimadores propuestos se realiza un análisis comparativo basado en resultados de Monte Carlo. Finalmente, con el objetivo de demostrar la viabilidad empírica que reportan estos nuevos procedimientos para el análisis empírico, se considera la estimación no paramétrica de un modelo estructural sobre los ahorros preventivos de los hogares españoles y motivado por el modelo del ciclo vital de Modigliani y Brumbert (1954). Proponemos una nueva técnica de estimación que, comparada con la existente en la literatura, permite combatir simultáneamente distintos problemas de especificación como la presencia de heterogeneidad de sección cruzada no observable, parámetros cambiantes de forma desconocida en la ecuación de Euler y covariables endógenas. / In this doctoral dissertation we develop new estimation strategies to estimate varying coefficient panel data models where the individual effects are arbitrarily correlated with the explanatory variables in an unknown way. In order to avoid the statistical dependence problem between the unobserved heterogeneity and the covariates, these transformations provide a regression model that can be considered as an additive function with the same functional form but evaluated in different periods. In this context, we present new differencing estimators (first-differences and fixed effects) based on a local linear approximation and on the use of a higher-dimensional kernel weight. Unfortunately, this procedure enables us to remove the non-negligible asymptotic bias but at the price of increasing the variance term. Therefore, the resulting estimators achieve a suboptimal rate of convergence, especially slow for the fixed effects estimator. With the aim of achieving optimality, we propose one-step backfitting algorithm estimators. The asymptotic properties of these estimators are established for N→∞ and T is fixed. With the aim of establishing the behavior of the proposed estimators in finite samples, we perform a comparative analysis based on some Monte Carlo results. Finally, to show the empirical feasibility that these new procedures report for empirical analysis, we consider the nonparametric estimator of a structural model on Spanish household’s precautionary savings, motivated by the life-cycle hypothesis model of Modigliani and Brumberg (1954). We propose a new estimation technique that, compared to those already proposed in the literature, it enables us to deal simultaneously with different specification problems such as unobserved cross-sectional heterogeneity, varying parameters of unknown form in the Euler equation and endogenous covariates.

Cette thèse est composée de trois parties principales : les calculs des courbes médiatrices de deux courbes ou d’un point et d’une courbe dans le plan, des surfaces médiatrices de deux surfaces dans R3, et du diagramme de Voronoï d’une famille finie de demi-droites parallèles de même orientation. Ces trois sujets sont étroitement liés et trouvent des applications dans le domaine de la CAO/CGAO et de la géométrie algorithmique. Dans ces trois sujets, nous allons présenter des méthodes algorithmiques pour obtenir une certaine représentation de l’objet qui nous intéresse : la courbe médiatrice, la surface médiatrice ou le diagramme de Voronoï. En utilisant la règle de Cramer généralisée et certaines méthodes d’élimination, nous présentons une nouvelle approche pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la courbe médiatrice de deux courbes planes rationnelles. L’approche est, ensuite, généralisée pour déterminer une paramétrisation algébrique exacte (rationnelle ou non rationnelle) de la surface médiatrice de deux surfaces rationnelles de petit degré. La méthode est appliquée pour obtenir les paramétrisations de la médiatrice de deux courbes planes rationnelles, dans lesquelles une des courbes est un cercle ou une droite. D’autre part, nous montrons, aussi, comment il est facile d’obtenir les paramétrisations de la médiatrice de paires de surfaces suivantes : plan-quadrique, plan-tore, cylindre circulaire-quadrique non développable, cylindre circulaire-tore, cylindre-cylindre, cylindre-cône et cônecône. Les paramétrisations obtenues sont rationnelles dans la plupart des cas. Dans le reste des cas, les paramétrisations contiennent de racines carrées qui est bien adopté pour determiner une bonne approximation de la médiatrice. Nous présentons aussi une différente approche traitant du problème de la courbe médiatrice plane. Cette nouvelle méthode utilise la couleur dynamique en GeoGebra pour les caractérisations géométrique et numérique de la courbe médiatrice de deux objets géométriques dans le plan (deux courbes, ou une courbe et un point). Même si elle ne fournit pas de représentation algébrique, la méthode peut conduire au calcul d’une représentation approximative de la courbe médiatrice. Le diagramme de Voronoï (VD) est une structure de données fondamentale de la géométrie algorithmique avec des applications très variées dans des domaines théoriques et pratiques. Nous considérons le VD d’un ensemble fini de demi-droites parallèles de même orientation restreint à un domaine compact D0 ⊂ R3 pour la distance euclidienne. Ce nouveau type de VD peut être utilisé pour apporter des réponses efficaces à certains problèmes dans l’industrie de forage, tels que l’hydraulique ou la mine. Nous présentons un algorithme approximatif efficace pour le calcul de tel VD, en utilisant le processus de subdivision produisant un maillage qui représente la topologie de VD dans D0. / Este trabajo consta de tres partes principales : el calculo de las bisectrices de dos curvas o de un punto y una curva en el plano, de la superficie bisectriz de dos superficies en R3, y del diagrama de Voronoi de una familia finita de semirrectas paralelas y con la misma orientación en R3. Estos temas están estrechamente relacionados y tienen aplicaciones en CAD/CAGD y en Geometría Computacional. Se presenta un nuevo método para determinar, utilizando la regla de Cramer generalizada y métodos de eliminación adecuados, una parametrización algebraica exacta (racional o no racional) de la curva bisectriz de dos curvas planas racionales dadas. Este método se generaliza para determinar una parametrización algebraica exacta de la superficie bisectriz de dos superficies racionales de grado bajo. El método se aplica, en particular, para obtener parametrizaciones de la bisectriz de dos curvas planas racionales, cuando una de ellas es una circunferencia o una recta. Por otro lado, se muestra cómo obtener fácilmente una parametrizacin de la bisectriz de los siguientes pares de superficies : plano y cuádrica, plano y toro, cilindro circular y cuádrica no desarrollable, cilindro circular y toro, dos cilindros, cilindro y cono, y dos conos. Estas parametrizaciones son racionales en la mayora de los casos. En los casos restantes, la parametrización contiene una raíz cuadrada, que resulta adecuada para determinar una buena aproximación de la bisectriz. Además, se presenta un enfoque diferente para el problema de la curva bisectriz plana. Este nuevo método utiliza color dinámico en GeoGebra para el cálculo de una caracterización geométrica y numérica de la bisectriz de dos objetos geométricos en el plano (dos curvas, o una curva y un punto). Aunque no proporciona una representación algebraica, el método permite el cálculo de una representación aproximada de la curva bisectriz. El diagrama de Voronoi (DV) es una estructura de datos fundamental en geometría computacional con diversas aplicaciones en distintas áreas teóricas y prácticas. Se estudia el DV de un conjunto de semirrectas paralelas y con la misma orientación, restringidas a un dominio compacto D0 ⊂ R3, con respecto a la distancia euclidiana. Este nuevo tipo de DV se puede utilizar para proporcionar una solución eficiente a algunos problemas relacionados con la perforación, en industrias tales como la hidráulica o la minería. Se presenta un algoritmo eficiente para calcular una aproximación de un DV de esa clase, utilizando un proceso de subdivisión, que produce una malla que representa correctamente la topología del DV. / This thesis has three main parts: computation of the bisectors of two curves or a point and a curve in the plane, of the bisector of two surfaces in R3, and of the Voronoi diagram of a finite family of parallel half lines in R3, with the same orientation. These subjects are closely related, and have applications in CAD/CAGD and Computational Geometry. In each of the three parts, we present algorithmic methods for computing certain representations of the geometric object of interest: the bisector curve, the bisector surface, or the Voronoi diagram. We present a new approach to determine, using the generalized Cramer’s rule and suitable elimination steps, an exact algebraic parameterization (rational or non rational) of the bisector curve of two given planar rational curves. The approach is, then, generalized to determine an exact algebraic parameterization of the bisector surface of two low degree rational surfaces. In particular, we apply the method to obtain parametrizations of the bisector of two rational plane curves, when one of them is a circle or a straight line. On the other hand, we show how to easily obtain parametrizations of the bisector of the following pairs of surfaces: planequadric, plane-torus, circular cylinder-non developable quadric, circular cylindertorus, cylinder-cylinder, cylinder-cone and cone-cone. These parametrizations are rational in most cases. In the remaining cases the parametrization involves one square root which is well-suited to determine a good approximation of the bisector. In addition, a different approach for the bisector curve problem will be presented. This new method uses dynamic color in GeoGebra for the computation of a geometric and numerical characterization of the bisector of two planar geometric objects (two curves, or a curve and a point). Even if it does not provide an algebraic representation, the method could lead to the computation of an approximate representation of the bisector curve. The Voronoï diagram (VD) is a fundamental data structure in computational geometry with various applications in theoretical and practical areas. We consider the VD of a set of parallel half-lines, with the same orientation, constrained to a compact domain D0 ⊂ R3, with respect to the Euclidean distance. This new kind of VD can be used to provide an efficient solution to some problems in the drilling industry, such as hydraulic or mining. We present an efficient approximate algorithm for computing such VD, using a box subdivision process, which produces a mesh representing the topology of the VD in D0.

En la presente Tesis Doctoral analizamos la aplicabilidad de las técnicas estadísticas y dinámicas de regionalización del clima en estudios de impacto sobre los sectores de turismo e incendios forestales, reflejando sus virtudes y limitaciones. En particular, se analiza la aplicabilidad de las técnicas estadísticas directamente sobre el indicador de impactos, en lugar de sobre las variables meteorológicas, con resultados prometedores. Por otro lado, se establecen las bases para realizar una comparación justa, o equitativa, entre los resultados obtenidos con las técnicas estadísticas y dinámicas, proponiendo indicadores no afectados por el proceso de calibración de los métodos, como los periodos de sequía, descartando aquellos basados en percentiles altos, usados habitualmente. Finalmente, se analiza el valor añadido de las técnicas dinámicas al aumentar la resolución espacial, teniendo en cuenta su elevado coste computacional. En este sentido, se ha concluido que el incremento de la resolución de las técnicas dinámicas no aporta un valor añadido estadísticamente significativo una vez se han corregido sus sesgos sistemáticos. / The work in this Thesis analyzes the applicability of statistical and dynamical climate downscaling techniques on impact studies over the tourism and forest fires sectors, showing their merits and limitations. On the one hand, we analyze the applicability of the statistical techniques directly over the desired impact index, unlike the common practice based on downscaling individually all the former variables, with promising results. On the other hand, we establish the basis for a fair comparison between statistical and dynamical downscaled data. For this purpose, we propose the use of parameters not affected by the methods calibration process, such as indicators based on spells, and discard commonly used percentile-based indicators. Finally, we analyze the added value of dynamical downscaling techniques for increased resolution (and computationally expensive) simulations. In this sense, we find that the increment of spatial resolution does not add (statistically significant) value once their systematic biases are corrected.