Dans cette thèse, nous établissons un résultat de symétrie miroir dans une gamme de cas pour lesquelles les techniques habituelles reposant sur la concavité ou sur la convexité ne fonctionnent pas. Plus précisément, nous travaillons sur la théorie quantique des singularités développée par Fan,Jarvis, Ruan et Witten, et vue comme un analogue de la théorie de Gromov--Witten via la correspondance LG/CY. Notre résultat principal donne une formule explicite pour le cycle virtuel de Polishchuk et Vaintrob en genre zéro. Dans les cas non-concaves des polynômes dits inversibles, elle nous procure un théorème de compatibilité entre le cycle virtuel de Fan--Jarvis--Ruan--Witten et celui de Polishchuk--Vaintrob. Pour les polynômes qui sont de plus de type chaine, nous obtenons une preuve d'un théorème de symétrie miroir pour la théorie FJRW. Enfin, nous généralisons notre résultat principal et calculons le produit d'intersection entre la classe de Chern maximale du fibré de Hodge et le cycle virtuel en genre quelconque. Spécifié au cas de la théorie des courbes $3$-spin, ceci mène à la preuve d'une conjecture de Buryak sur l'équivalence entre la hiérarchie DR et la hiérarchie $3$-KdV. / In this thesis, we provide a mirror symmetry theorem in a range of cases where the state-of-the-art techniques relying on concavity or convexity do not apply. More specifically, we work on a family of FJRW potentials named after Fan, Jarvis, Ruan, and Witten's quantum singularity theory and viewed as the counterpart of a non-convex Gromov--Witten potential via the physical LG/CY correspondence. The main result provides an explicit formula for Polishchuk and Vaintrob's virtual cycle in genus zero. In the non-concave case of the so-called chain invertible polynomials, it yields a compatibility theorem with the FJRW virtual cycle and a proof of mirror symmetry for FJRW theory. At last, we generalize our main theorem to the computation of intersection numbers between the top Chern class of the Hodge bundle and the virtual cycle in arbitrary genus. In the case of $3$-spin theory, it leads to a proof of Buryak's conjecture on the equivalence between double ramification hierarchy and $3$-KdV hierarchy.

Nous étudions deux thématiques principales : l'homométrie non-commutative dans des produits semi-directs, et une notion de distance entre accords musicaux. deux melodies sont dites homométriques si elles possèdent le même ensemble d'intervalles : nous transposons cette notion a un enchainement d'accords et plus généralement a des produits semi-directs, ce qui permet d'élaborer un cadre pour l'étude de l'homométrie dans des groupes non-commutatifs, tels que le groupe diédral. nous définissons dans une deuxième partie une mesure de distances entre des accord musicaux n'ayant pas le même nombre de notes, a partir d'une distance basée sur le concept de voice-leading. / We study two main topics: non-commutative homometry and the notion of distance between musical chords. Two melodies are homometric if they share the same set of intervals. We transpose this notion to a chord sequence and more generally to semi-direct products, which allows to build a framework for the general study of homometry in non-commutative groups, such as the dihedral group. In the second part we define a mesure of distance between musical chords of different cardinalities, from a distance based on the notion of voice-leading.

Cette thèse est consacrée à définir et étudier des invariants motiviques associés aux ensembles semi-algébriques dans les corps valués. Ceux-ci sont les combinaisons booléennes d'ensembles définis par des inégalités valuatives. L'outil principal que nous utilisons est l'intégration motivique, une forme de théorie de la mesure à valeurs dans le groupe de Grothendieck des variétés définies sur le corps résiduel. Dans une première partie, on définit la notion de densité locale motivique. C'est un analogue valuatif du nombre de Lelong complexe, de la densité réelle de Kurdyka-Raby et de la densité p-adique de Cluckers-Comte-Loeser. C'est un invariant métrique à valeurs dans un localisé du groupe de Grothendieck des variétés. Notre résultat principal est que cet invariant se calcule sur le cône tangent muni de multiplicités motiviques. On établit un analogue de la formule de Cauchy-Crofton locale. On montre enfin que dans le cas d'une courbe plane, la densité motivique est égale à la somme des inverses des multiplicités des branches. L'objet de la seconde partie est de définir un morphisme d'anneau du groupe de Grothendieck des ensembles semi-algébriques sur un corps valué K vers le groupe de Grothendieck de la catégorie d'Ayoub des motifs rigides analytiques sur K. On montre qu'il étend le morphisme qui envoie la classe d'une variété algébrique sur la classe de son motif cohomologique à support compact. Cela fournit donc une notion virtuelle de motif cohomologique à support compact pour les variétés rigides analytiques. On montre également un théorème de dualité permettant de comparer le motif cohomologique de la fibre de Milnor analytique avec la fibre de Milnor motivique. / This thesis is devoted to define and study some motivic invariants associated to semialgebraic sets in valued fields. They are boolean combinations of sets defined by valuative inequalities. Our main tool is the theory of motivic integration, which is a kind of measure theory with values in the Grothendieck group of varieties defined over the residue field. In the first part, we define the notion of motivic local density. It is a valuative analog of complex Lelong number, Kurdyka-Raby real density and p-adic density of Cluckers- Comte-Loeser. It is a metric invariant with values in a localization of the Grothendieck group of varieties. Our main result is that it can be computed on the tangent cone with motivic multiplicities. We also establish an analog of the local Cauchy-Crofton formula. We finally show that the density of a germ of plane curve defined over the residue field is equal to the sum of the inverses of the multiplicities of the formal branches of the curve. The goal of the second part is to define a ring morphism from the Grothendieck group of semi-algebraic sets defined over a valued field K to the Grothendieck group of Ayoub’s categoryof rigid analytic motives over K. We show that it extends the morphism sending the class of an algebraic variety to the class of its cohomological motive with compact support. This gives a notion of virtual cohomological motive with compact support for rigid analytic varieties. We also show a duality theorem allowing us to compare the cohomological motive of the analytic Milnor fiber with the motivic Milnor fiber.

Dans son preprint, M. Bruno Kahn a construit une suite spectrale par rang en utilisant la méthode catégorique. Cette suite spectrale est construit par une filtration de la catégorie des modules sans-torsion de type fini d'un anneau intègre A ce qui explique le nom : suite spectrale par rangs. Cette suite spectrale converge vers les groupes d'homologies de la Q-construction de la catégorie de A-modules sans torsion de type fini et elle été utilisé par Quillen pour prouver que les K-groupes sont de génération finie pour anneau d'intègres d'un corps de nombres. Notre but de cette thèse est de calculer le différentiel de la suite spectrale par rangs qui peut servit comme une première étape d'une idée générale d'unifier les calculs de rangs des K-groupes de la courbe sur un corps fini (G. Harder) et la courbe arithmétique (A. Borel). Pour gagner ça, nous étudions le foncteur cellulaire (connexe) et les constructions de Grothendieck en détail, en particulier ses propriétés homotopiques. En utilisant ça, nous pouvons mettre le différentiel dans certain triangles distingués de foncteurs sur une catégorie, puis nous réalisons ces foncteurs explicits en langages d'immeuble de Tits, module de Steinberg et symbole modulaire au sens d'Ash-Rudolph. Nous avons aussi obliger de fabriquer un autre symbole : le symbole étendu pour étudier l'homologie de la suspension d'immeuble de Tits, mais nous montons que ce symbole est équivalent que symbole modulaire. / Bruno Kahn has constructed a rank spectral sequence by using a purely categorical approach. This spectral sequence was derived by using a filtration of the category of torsion-free modules over integral domain by ranks and hence the name: rank spectral sequence. This spectral sequence converges to the homology groups of the Q-construction over the category of finitely generated torsion-free modules over an integral ring. Quillen used it in the proof of the finite generation of K-groups of rings of integers. Our goal in this thesis is to calculate the differential of the rank spectral sequence. We believe that this is a first step towards a much bigger project, that is, to unify the calculation of the ranks of K-groups of curves over a finite field (result of G. Harder) and of arithmetic curves (result of A. Borel).To achieve our goal, we put the differential in certain distinguished triangles of coefficients/functors over some categories, and make these functors explicit in terms of Tits building and Ash-Rudolph's modular symbols. To accomplish this, we shall use Quillen's categorical homotopy theory intensively and introduce the notion of extended (modular) symbols which is equivalent to Ash-Rudolph's via the suspension of Tits buildings.

La thèse comporte six chapitres. Dans le premier chapitre, on rappelle les bases de la théorie et on étudie la structure des algèbres Hom-associatives ainsi que les différentes constructions comme la composition avec des endomorphismes qui nous permet de construire de nouveaux objets et d’établir certaines nouvelles propriétés. Parmi les résultats originaux, on peut signaler l’étude des algèbres Hom-associatives simples ainsi que leurs constructions. On a montré que toutes les algèbres Hom-associatives multiplicatives simples s’obtiennent par composition d’algèbres simples et d’automorphismes. Dans le deuxième chapitre, on commence par étudier les propriétés des changements de base dans ces structures algébriques. On a calculé la base de Gröbner de l’idéal engendrant la variété algébrique des algèbres Hom-associatives de dimension 2 où la multiplication µ et l’application linéaire α sont identifiées à leurs constantes de structure relativement à une base donnée. La classification, à isomorphisme près, des algèbres Hom-associatives unitaires et non unitaires est établie en dimension 2 et 3. On a aussi décrit les algèbres de type associatif en se basant sur le théorème de twist de Yau. Dans le troisième chapitre, on étudie certaines propriétés et invariants comme les dérivations, αk-dérivations où k est un entier positif. Dans le quatrième chapitre, on établit la cohomologie de ces algèbres. On a pu lister les algèbres rigides grâce à leur classe de cohomologie puis on s'est 'intéressé aux déformations infinitésimales et dégénérations. D’une part, la cohomologie et déformation de ces algèbres nous a permis d’identifier les algèbres rigides dont le deuxième groupe de cohomologie est nulle, et d’autre part de caractérisation de composante irréductible. Dans le cinquième chapitre, on s’intéresse aux structures Rota-Baxter de poids λ ϵK de ces algèbres. Enfin, dans le dernier chapitre, on a travaillé sur les structures Hom-bialgèbres et leurs invariants. / The purpose of this thesis is to study the structure of Hom-associative algebras and provide classifications. Among the results obtained in this thesis, we provide 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras and give a characterization of multiplicative simple Hom-associative algebras. Moreover we compute some invariants and discuss irreducible components of the corresponding algebraic varieties. The thesis is organized as follows. In the first chapter we give the basics about Hom-associative algebras and provide some new properties. Moreover, we discuss unital Hom-associative algebras. Chapter 2 deals with simple multiplicative Hom-associative algebras. We present one of the main results of this paper, that is a characterization of simple multiplicative Hom-associative algebras. Indeed, we show that they are all obtained by twistings of simple associative algebras. Chapter 3 is dedicated to describe algebraic varieties of Hom-associative algebras and provide classifications, up to isomorphism, of 2-dimensional and 3-dimensional Hom-associative algebras. In chapter 4, we compute their derivations and twisted derivations, whereas in chapter 5, we compute their Hom-Type Hochschild cohomology. In the last section of this chapter, we consider the geometric classification problem using one-parameter formel deformations, and describe the irreducible components. In chapter 6, we compute Rota-Baxter structures of weight k of Hom-associative algebras appearing in our classification. In chapter 7, We work out Hom-bialgebras structures as well as their invariants. Properties and classifications, as well as the calculation of certain invariants such as the first and second cohomology groups, were studied.

Soit Σ une surface compacte connexe orientée avec une seule composante du bord. Notons par M le groupe d'homéotopie de Σ. En considérant l'action de M sur le groupe fondamental de Σ, il est possible de définir différentes filtrations de M ainsi que des homomorphismes sur chaque terme de ces filtrations. Le but de cette thèse est double. En premier lieu, nous étudions deux filtrations de M : la " filtration de Johnson-Levine " introduite par Levine et la " filtration de Johnson alternative " introduite recemment par Habiro et Massuyeau. Les définitions de ces deux filtrations prennent en compte un corps en anses bordé par la surface. Nous nous référons à ces filtrations comme " filtrations de type Johnson " et les homomorphismes correspondants sont appelés " homomorphismes de type Johnson " par leur analogie avec la filtration de Johnson originale et les homomorphismes de Johnson usuels. Nous donnons une comparaison de la filtration de Johnson avec la filtration de Johnson-Levine au niveau du monoïde des cobordismes d'homologie de Σ. Nous donnons également une comparaison entre la filtration de Johnson alternative, la filtration Johnson-Levine et la filtration de Johnson au niveau du groupe d'homéotopie. Deuxièmement, nous étudions la relation entre les " homomorphismes de type Johnson" et l'extension fonctorielle de l'invariant perturbatif universel des variétés de dimension trois (l'invariant de Le-Murakami-Ohtsuki ou invariant LMO). Cette extension fonctorielle s'appelle le foncteur LMO et il prend ses valeurs dans une catégorie de diagrammes. Nous démontrons que les "homomorphismes de type Johnson " peuvent être lus dans la réduction arborée du foncteur LMO. En particulier, cela fournit une nouvelle grille de lecture de la réduction arborée du foncteur LMO. / Let Σ be a compact oriented surface with one boundary component and let M denote the mapping class group of Σ. By considering the action of M on the fundamental group of Σ it is possible to define different filtrations of M together with some homomorphisms on each term of the filtrations. The aim of this thesis is twofold. First, we study two filtrations of M : the « Johnson-Levine filtration » introduced by Levine and « the alternative Johsnon filtration » introduced recently by Habiro and Massuyeau. The definition of both filtrations involve a handlebody bounded by Σ. We refer to these filtrations as ≪ Johnson-type filtrations » and the corresponding homomorphisms have referred to as « Johnson-type homomorphisms » by their analogy with the original Johnson filtration and the usual Johnson homomorphisms. We provide a comparison of the Johnson filtration with the Johnson-Levine filtration at the level of the monoid of homology cobordisms of Σ. We also provide a comparison of the alternative Johnson filtration with the Johnson-Levine filtration and the Johnson filtration at the level of the mapping class group. Secondly, we study the relationship between the « Johnson-type homomorphisms » and the functorial extension of the universal perturbative invariant of 3-manifolds (the Le-Murakami-Ohtsuki invariant or LMO invariant). This functorial extension is calling the LMO functor and it takes values in a category of diagrams. We prove that the « Johnson-type homomorphisms » is in the tree reduction of the LMO functor. In particular, this provides a new reading grid of the tree reduction of the LMO functor.