<p> Let K = (K, v, ... ) be a model of a model-complete theory, T of valued fields. We characterise, for certain definable subsets S of K^n, the collections of S-T-integral definite and S-T-infinitesimal definite rational functions. Specifically, we consider subsets S defined by both integrality and infinitesimality conditions for the theories of algebraically closed valued fields, p-adically closed fields, two model-complete theories of valued D-fields and in two model-complete theories of henselian residually valued fields.</p> / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)

This thesis explores some of the relationships between model theoretic and algebraic properties of fields, focusing on valuations of fields. We first show that the dp-rank of henselian valued fields admitting relative quantifier elimination is equal to the sum of the dp-ranks of the value group and of the residue field. Moreover, we give a characterization of henselianity of valued fields of finite dp-rank in terms of the dp-rank of definable sets. We also obtain partial results generalizing the work of Johnson in classifying fields of finite dp-rank. Finally, we consider fields with the property that the algebraic closure is an immediate extension with respect to every valuation. We show that under certain conditions these fields are dense in their algebraic closure with respect to every valuation and provide an example that demonstrates that this property does not hold in general. / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)

<p>The main subject of investigation is the so-called "immediate expansion''<br />phenomenon in various first-order valued-field structures over the<br />corresponding underlying field structures. In particular, certain "valued<br />o-minimal fields'', certain Henselian valued fields with non-divisible valued<br />groups, and certain separably closed valued fields of finite imperfection degree, are<br />shown to have this property.</p> / Doctor of Philosophy (PhD)

Cette thèse est une contribution à la théorie des modèles des corps valués. Les principaux résultats de ce texte sont des résultats d’éliminations des quantificateurs et des imaginaires. Le premier chapitre contient une étude des imaginaires dans les extensions finies de Qp. On y démontre que ces corps ainsi que leurs ultraproduits éliminent les imaginaires dans le langage géométrique. On en déduit un résultat de rationalité uniforme pour les fonctions zêta associées aux familles de relations d’équivalences définissables dans les extensions finies de Qp. La motivation première du deuxième chapitre est l’étude de W(F_p^alg) en tant que corps valué analytique de différence. Plus généralement, on démontre un théorème d’élimination des quantificateurs de corps dans le langage RV pour les corps valués analytiques -Henséliens de caractéristique nulle. On donne aussi une axiomatisation de la théorie de W(F_p^alg) ainsi qu’une preuve qu’elle est NIP. Dans le troisième chapitre, on prouve la densité des types définissables dans certains enrichissements d’ACVF. On en déduit un critère pour l’élimination des imaginaires et la propriété d’extension invariante. Ce chapitre contient aussi des résultats abstraits sur les ensembles extérieurement définissables dans les théories NIP. Dans le dernier chapitre, les résultats du chapitre précédent sont appliqués à VDF, la modèle complétion des corps valués munis d’une dérivation qui préserve la valuation, pour obtenir l’élimination des imaginaires dans le langage géométrique ainsi que la densité des types définissables et la propriété d’extension invariante. Ce chapitre contient aussi des considérations sur les fonctions définissables, les types et les groupes définissables dans VDF. / This thesis is about the model theory of valued fields. The main results in this text are eliminationsof quantifiers and imaginaries. The first chapter is concerned with imaginaries in finite extensions of Qp. I show that these fields and their ultraproducts eliminate imaginaries in the geometric language. As a corollary, I obtain the uniform rationality of zeta functions associated to families of equivalence relations that aredefinable in finite extensions of Qp.The motivation for the second chapter is to study W(F_p^alg) as an analytic difference valued field. More generally, I show a field quantifier elimination theorem in the RV-language for -Henselian characteristic zero valued fields with an analytic structure. I also axiomatise the theory of W(F_p^alg) and I show that this theory is NIP.In the third chapter, I prove the density of definable types in certain enrichments of ACVF. From this result, I deduce a criterion for the elimination of imaginaries and the invariant property. This chapter also contains abstract results on externally definable sets in NIP theories. In the last chapter, the previous chapter is applied to VDF, the model completion of valued fields with a valuation preserving derivation, to obtain the elimination of imaginaries in the geometric language, as well as the density of definable types and the invariant extension property. This chapter also contains considerations about definable functions, types and definable groupes in VDF.

In this thesis we study the types of algebraically closed valued fields (ACVF). We prove the definable types of ACVF are residual and valuational and provide a defining schema for the definable types. We then conclude that all the types are invariant. / Thesis / Master of Science (MSc)

Cette thèse est consacrée à définir et étudier des invariants motiviques associés aux ensembles semi-algébriques dans les corps valués. Ceux-ci sont les combinaisons booléennes d'ensembles définis par des inégalités valuatives. L'outil principal que nous utilisons est l'intégration motivique, une forme de théorie de la mesure à valeurs dans le groupe de Grothendieck des variétés définies sur le corps résiduel. Dans une première partie, on définit la notion de densité locale motivique. C'est un analogue valuatif du nombre de Lelong complexe, de la densité réelle de Kurdyka-Raby et de la densité p-adique de Cluckers-Comte-Loeser. C'est un invariant métrique à valeurs dans un localisé du groupe de Grothendieck des variétés. Notre résultat principal est que cet invariant se calcule sur le cône tangent muni de multiplicités motiviques. On établit un analogue de la formule de Cauchy-Crofton locale. On montre enfin que dans le cas d'une courbe plane, la densité motivique est égale à la somme des inverses des multiplicités des branches. L'objet de la seconde partie est de définir un morphisme d'anneau du groupe de Grothendieck des ensembles semi-algébriques sur un corps valué K vers le groupe de Grothendieck de la catégorie d'Ayoub des motifs rigides analytiques sur K. On montre qu'il étend le morphisme qui envoie la classe d'une variété algébrique sur la classe de son motif cohomologique à support compact. Cela fournit donc une notion virtuelle de motif cohomologique à support compact pour les variétés rigides analytiques. On montre également un théorème de dualité permettant de comparer le motif cohomologique de la fibre de Milnor analytique avec la fibre de Milnor motivique. / This thesis is devoted to define and study some motivic invariants associated to semialgebraic sets in valued fields. They are boolean combinations of sets defined by valuative inequalities. Our main tool is the theory of motivic integration, which is a kind of measure theory with values in the Grothendieck group of varieties defined over the residue field. In the first part, we define the notion of motivic local density. It is a valuative analog of complex Lelong number, Kurdyka-Raby real density and p-adic density of Cluckers- Comte-Loeser. It is a metric invariant with values in a localization of the Grothendieck group of varieties. Our main result is that it can be computed on the tangent cone with motivic multiplicities. We also establish an analog of the local Cauchy-Crofton formula. We finally show that the density of a germ of plane curve defined over the residue field is equal to the sum of the inverses of the multiplicities of the formal branches of the curve. The goal of the second part is to define a ring morphism from the Grothendieck group of semi-algebraic sets defined over a valued field K to the Grothendieck group of Ayoub’s categoryof rigid analytic motives over K. We show that it extends the morphism sending the class of an algebraic variety to the class of its cohomological motive with compact support. This gives a notion of virtual cohomological motive with compact support for rigid analytic varieties. We also show a duality theorem allowing us to compare the cohomological motive of the analytic Milnor fiber with the motivic Milnor fiber.

Cette thèse a pour objet les ordres, les valuations et les C-relations sur les groupes, ainsi que les corps différentiels valués tels qu’étudiés par Rosenlicht. Elle accomplit trois objectifs principaux. Le premier est d’introduire et d’étudier une notion de quasi-ordre sur les groupes qui a pour but de réunir les ordres et les valuations dans un même cadre. Nous donnons un théorème de structure des groupes munis d’un tel quasi-ordre, ce qui nous permet ensuite de donner un “théorème de plongement de Hahn” pour ces groupes. Le second objectif de cette thèse est de décrire les C-groupes à l’aide des quasi-ordres. Nous donnons un théorème de structure pour les C-groupes, qui énonce que tout C-groupe est un “mélange” de groupes ordonnés et de groupes valués. Nous utilisons ensuite ce résultat pour caractériser les groupes C-minimaux à l’intérieur de la classe des C-groupes. Le troisième objectif de cette thèse est d’introduire et d’étudier une notion de rang différentiel d’un corps différentiel valué. Nous définissons cette notion par analogie avec les notions de rang exponentiel d’un corps exponentiel et de rang de différence d’un corps aux différences. Nous montrons que cette notion de rang n’est pas tout à fait satisfaisante, et introduisons donc une meilleure notion de rang appelée le rang différentiel déployé. Nous donnons ensuite une méthode pour définir une dérivation “de type Hardy” sur un corps de séries formelles généralisées, ce qui nous permet de construire des corps différentiels valués dont le rang différentiel et le rang différentiel déployé ont été arbitrairement choisis. / This thesis deals with orders, valuations and C-relations on groups, and with differential-valued fields à la Rosenlicht. It achieves three main objectives. The first one is to introduce and study a notion of quasi-order on groups meant to encompass orders and valuations in a common framework. We give a structure theorem for groups endowed with such a quasi-order, which then allows us to give a “Hahn’s embedding theorem” for these groups. The second objective of this thesis is to describe C-groups via quasi-orders. We give a structure theorem for C-groups, which basically states that any C-group is a “mix” of ordered groups and valued groups. We then use this result to characterize C-minimal groups inside the class of C-groups. The third objective of this thesis is to introduce and study a notion of differential rank for differential-valued fields. We define this notion by analogy with the exponential rank of an exponential field and with the difference rank of a difference field. We show that this notion of rank is not quite satisfactory, so we introduce a better notion of rank called the unfolded differential rank. We then give a method to define “Hardy-type” derivations on fields of generalized power series, which allows us to build differential-valued fields of arbitrary given differential rank and unfolded differential rank.