El principal objetivo de esta Tesis Doctoral es definir un nuevo concepto, análogo a la diferencia de Minkowski de cuerpos convexos, pero en el contexto de la teoría Lp de Brunn-Minkowski, que sea en cierto sentido “opuesto” a la p-suma de cuerpos convexos, estudiando sus características principales y viendo si cumple propiedades análogas a la diferencia de Minkowski clásica. Otro de los objetivos perseguidos ha sido estudiar la derivabilidad de las quermassintegrales en el parámetro de definición de la familia de cuerpos p-paralelos. Así, comenzamos la memoria estableciendo las nociones básicas que se necesitarán para el posterior desarrollo de los contenidos. A continuación, definimos la p-diferencia de cuerpos convexos de dos formas distintas –como el mayor conjunto que se puede p-sumar a uno de ellos para que quede contenido en el otro y en términos de las funciones soporte de los cuerpos convexos– viendo que, de hecho, son equivalentes. Investigamos la concavidad y la continuidad respecto a la métrica de Hausdorff de esta nueva operación, y definimos el sistema completo de cuerpos p-paralelos, determinando el comportamiento de los p-paralelos interiores para los llamados cuerpos tangenciales. El tercer capítulo está dedicado al ya mencionado estudio de la derivabilidad de las quermassintegrales. En particular, se obtiene que el volumen es siempre derivable en el rango completo de definición del parámetro, mientras que para el resto de quermassintegrales la derivabilidad se tiene sólo en los valores no-negativos del parámetro. En todos los casos de derivabilidad se proporciona una expresión explícita de la derivada del correspondiente funcional. La memoria concluye con el estudio de la frontera de los cuerpos p-paralelos interiores, en el sentido de relacionar los vectores extremos del cuerpo convexo original con los de sus p-paralelos interiores. También se define un nuevo cuerpo convexo, el llamado p-forma, que permite obtener cotas para las quermassintegrales de los cuerpos p-paralelos interiores, así como para la derivada, en los puntos donde ésta existe, de la función soporte respecto al parámetro de definición de dicho sistema completo de cuerpos p-paralelos. La metodología seguida ha sido la usual en un proyecto de investigación en matemáticas: el estudio en profundidad de artículos y textos en Geometría Convexa y Teoría (Lp) de Brunn-Minkowski, con el fin de adquirir la base necesaria para abordar los problemas planteados, un análisis pormenorizado de los resultados ya conocidos, para así establecer los puntos de partida de nuestra investigación, y el desarrollo y creación de nuevas técnicas que permitan resolver los problemas planteados. En conclusión, podríamos decir que se han logrado sobradamente los objetivos marcados. La mayoría de los problemas planteados se ha podido resolver satisfactoriamente (definición y propiedades principales de la p-diferencia en relación con la p-suma; derivabilidad del volumen y las quermassintegrales; uso de los cuerpos p-paralelos interiores como herramienta para la obtención de nuevas desigualdades) y, de hecho, los tres trabajos de investigación a los que esta tesis ha dado lugar así lo demuestran. Creemos además que el contenido de esta Tesis Doctoral va a permitir un mayor desarrollo en la teoría Lp de Brunn-Minkowski, gracias a las nuevas herramientas y técnicas que proporcionan los cuerpos p-paralelos. / The main aim of this Doctoral Thesis is to define a new concept, analogous to the Minkowski difference of convex bodies but in the framework of the Lp-Brunn-Minkowski theory, which can be somehow “opposite” to the p-sum of convex bodies, and to study its main properties. Another goal has been to consider the differentiability of the quermassintegrals in the definition parameter of the family of p-parallel bodies. Thus, we start the dissertation establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we define the p-difference of two convex bodies in two possible ways –as the largest set that can be p-added to one of them and keeps the result within the other, and in terms of the support functions of the involved convex bodies– and show that, in fact, they are equivalent. We investigate the concavity and the continuity with respect to the Hausdorff metric of this new operation, and define the full system of p-parallel bodies. The third chapter is devoted to study the already mentioned differentiability of the quermassintegrals. In particular, we obtain that the volume is always differentiable in the full range of definition of the parameter, whereas for the remaining quermassintegrals, differentiability only holds for non-negative values of the parameter. In all cases where there is differentiability, we provide the explicit expression for the derivative of the corresponding functional. We conclude the Thesis studying the boundary of the p-inner parallel bodies, in the sense of relating the extreme normal vectors of the original convex body to the ones of its p-inner sets. We also define a new convex body, the so-called p-form body, which will allow us to get bounds for the quermassintegrals of the p-inner parallel bodies, as well as for the derivative, wherever it exists, of the support function with respect to the definition parameter of such a full system of p-parallel sets. The methodology for the attainment of our objectives has been the usual one for basic research in Mathematics: to study papers and books in Convex Geometry and (Lp-) Brunn-Minkowski theory, in order to achieve the necessary background to address the posed questions; a detailed analysis of the previously known results in order to establish the starting points in our research; and the development of new techniques which allow us to solve the outlined problems. In conclusion, we can say that the raised objectives have been achieved. Most of the problems have been successfully solved (feasible definition and main properties of the p-difference in connection with the p-sum; differentiability of the volume and the quermassintegrals; use of p-inner parallel bodies as a tool in order to obtain new inequalities) and, in fact, this can be seen by the three research works which have arisen from this dissertation. Moreover, we think that the content of this Ph.D. Thesis will be the starting point for a deeper development of the Lp-Brunn-Minkowski theory, because of the new tools and techniques that p-inner parallel bodies provide.

The present document exposes a different approach for haptic rendering, defined as the simulation of force interactions to reproduce the sensation of surface relief in dense models. Current research shows open issues in timely haptic interaction involving large meshes, with several problems affecting performance and fidelity, and without a dominant technique to treat these issues properly. Relying in pure geometric collisions when rendering highly dense mesh models (hundreds of thousands of triangles) sensibly degrades haptic rates due to the sheer number of collisions that must be tracked between the mesh's faces and a haptic probe. Several bottlenecks were identified in order to enhance haptic performance: software architecture and data structures, collision detection, and accurate rendering of surface relief. To account for overall software architecture and data structures, it was derived a complete component framework for transforming standalone VR applications into full-fledged multi-threaded Collaborative Virtual Reality Environments (CVREs), after characterizing existing implementations into a feature-rich superset. Enhancements include: a scalable arbitrated peer-to-peer topology for scene sharing; multi-threaded components for graphics rendering, user interaction and network communications; a collaborative user interface model for session handling; and interchangeable user roles with multi-camera perspectives, avatar awareness and shared annotations. We validate the framework by converting the existing ALICE VR Navigator into a complete CVRE, showing good performance in collaborative manipulation of complex models. To specifically address collision detection computation, we derive a conformal algebra treatment for collisions among points, segments, areas, and volumes, based on collision detection in conformal R{4,1} (5D) space, and implemented in GPU for faster parallel queries. Results show orders of magnitude time reductions in collisions computations, allowing interactive rates. Finally, the main core of the research is the haptic rendering of surface mesostructure in large meshes. Initially, a method for surface haptic rendering was proposed, using image-based Hybrid Rugosity Mesostructures (HRMs) of per-face heightfield displacements and normalmaps layered on top of a simpler mesh, adding greater surface detail than actually present. Haptic perception is achieved modulating the haptic probe's force response using the HRM coat. A usability testbed framework was built to measure experimental performance with a common set tests, meshes and HRMs. Trial results show the goodness of the proposed technique, rendering accurate 3D surface detail at high sampling rates. This local per-face method is extended into a fast global approach for haptic rendering, building a mesostructure-based atlas of depth/normal textures (HyRMA), computed out of surface differences of the same mesh object at two different resolutions: original and simplified. For each triangle in the simplified mesh, an irregular prism is considered defined by the triangle's vertices and their normals. This prism completely covers the original mesh relief over the triangle. Depth distances and surfaces normals within each prism are warped from object volume space to orthogonal tangent space, by means of a novel and fast method for computing barycentric coordinates at the prism, and storing normals and relief in a sorted atlas. Haptic rendering is effected by colliding the probe against the atlas, and effecting a modulated force response at the haptic probe. The method is validated numerically, statistically and perceptually in user testing controlled trials, achieving accurate haptic sensation of large meshes' fine features at interactive rendering rates, with some minute loss of mesostructure detail. / En aquesta tesi es presenta un novedós enfocament per a la percepció hàptica del relleu de models virtuals complexes mitjançant la simulació de les forces d'interacció entre la superfície i un element de contacte. La proposta contribueix a l'estat de l'art de la recerca en aquesta àrea incrementant l'eficiència i la fidelitat de la interacció hàptica amb grans malles de triangles. La detecció de col·lisions amb malles denses (centenars de milers de triangles) limita la velocitat de resposta hàptica degut al gran nombre d'avaluacions d'intersecció cara-dispositiu hàptic que s'han de realitzar. Es van identificar diferents alternatives per a incrementar el rendiment hàptic: arquitectures de software i estructures de dades específiques, algorismes de detecció de col·lisions i reproducció hàptica de relleu superficial. En aquesta tesi es presenten contribucions en alguns d'aquests aspectes. S'ha proposat una estructura completa de components per a transformar aplicacions de Realitat Virtual en Ambients Col·laboratius de Realitat Virtual (CRVEs) multithread en xarxa. L'arquitectura proposada inclou: una topologia escalable punt a punt per a compartir escenes; components multithread per a visualització gràfica, interacció amb usuaris i comunicació en xarxa; un model d'interfície d'usuari col·laboratiu per a la gestió de sessions; i rols intercanviables de l'usuari amb perspectives de múltiples càmeres, presència d'avatars i anotacions compartides. L'estructura s'ha validat convertint el navegador ALICE en un CVRE completament funcional, mostrant un bon rendiment en la manipulació col·laborativa de models complexes. Per a incrementar l'eficiència del càlcul de col·lisions, s'ha proposat un algorisme que treballa en un espai conforme R{4,1} (5D) que permet detectar col·lisions entre punts, segments, triangles i volums. Aquest algorisme s'ha implementat en GPU per obtenir una execució paral·lela més ràpida. Els resultats mostren reduccions en el temps de càlcul de col·lisions permetent interactivitat. Per a la percepció hàptica de malles complexes que modelen objectes rugosos, s'han proposat diferents algorismes i estructures de dades. Les denominades Mesoestructures Híbrides de Rugositat (HRM) permeten substituir els detalls geomètrics d'una cara (rugositats) per dues textures: de normals i d'alçades. La percepció hàptica s'aconsegueix modulant la força de resposta entre el dispositiu hàptic i la HRM. Els tests per avaluar experimentalment l'eficiència del càlcul de col·lisions i la percepció hàptica utilitzant HRM respecte a modelar les rugositats amb geometria, van mostrar que la tècnica proposada va ser encertada, permetent percebre detalls 3D correctes a altes tases de mostreig. El mètode es va estendre per a representar rugositats d'objectes. Es proposa substituir l'objecte per un model simplificat i un atles de mesoestructures en el que s'usen textures de normals i de relleus (HyRMA). Aquest atles s'obté a partir de la diferència en el detall de la superfície entre dos malles del mateix objecte: l'original i la simplificada. A partir d'un triangle de la malla simplificada es construeix un prisma, definit pels vèrtexs del triangle i les seves normals, que engloba el relleu de la malla original sobre el triangle. Les alçades i normals dins del prisma es transformen des de l'espai de volum a l'espai ortogonal tangent, amb mètode novedós i eficient que calcula les coordenades baricèntriques relatives al prisma, per a guardar el mapa de textures transformat en un atles ordenat. La percepció hàptica s'assoleix detectant les col·lisions entre el dispositiu hàptic i l'atles, i modulant la força de resposta d'acord al resultat de la col·lisió. El mètode s'ha validat numèricament, estadística i perceptual en tests amb usuaris, aconseguint una correcta i interactiva sensació tàctil dels objectes simulats mitjançant la mesoestructura de les malles / En esta tesis se presenta un enfoque novedoso para la percepción háptica del relieve de modelos virtuales complejos mediante la simulación de las fuerzas de interacción entre la superficie y un elemento de contacto. La propuesta contribuye al estado del arte de investigación en este área incrementando la eficiencia y fidelidad de interacción háptica con grandes mallas de triángulos. La detección de colisiones con mallas geométricas densas (cientos de miles de triángulos) limita la velocidad de respuesta háptica debido al elevado número de evaluaciones de intersección cara-dispositivo háptico que deben realizarse. Se identificaron diferentes alternativas para incrementar el rendimiento háptico: arquitecturas de software y estructuras de datos específicas, algoritmos de detección de colisiones y reproducción háptica de relieve superficial. En esta tesis se presentan contribuciones en algunos de estos aspectos. Se ha propuesto una estructura completa de componentes para transformar aplicaciones aisladas de Realidad Virtual en Ambientes Colaborativos de Realidad Virtual (CRVEs) multithread en red. La arquitectura propuesta incluye: una topología escalable punto a punto para compartir escenas; componentes multithread para visualización gráfica, interacción con usuarios y comunicación en red; un modelo de interfaz de usuario colaborativo para la gestión de sesiones; y roles intercambiables del usuario con perspectivas de múltiples cámaras, presencia de avatares y anotaciones compartidas. La estructura se ha validado convirtiendo el navegador ALICE en un CVRE completamente funcional, mostrando un buen rendimiento en la manipulación colaborativa de modelos complejos. Para incrementar la eficiencia del cálculo de colisiones, se ha propuesto un algoritmo que trabaja en un espacio conforme R4,1 (5D) que permite detectar colisiones entre puntos, segmentos, triángulos y volúmenes. Este algoritmo se ha implementado en GPU a efectos de obtener una ejecución paralelamás rápida. Los resultadosmuestran reducciones en el tiempo de cálculo de colisiones permitiendo respuesta interactiva. Para la percepción háptica de mallas complejas que modelan objetos rugosos, se han propuesto diferentes algoritmos y estructuras de datos. Las denominadasMesoestructuras Híbridas de Rugosidad (HRM) permiten substituir los detalles geométricos de una cara (rugosidades) por una textura de normales y otra de alturas. La percepción háptica se consigue modulando la fuerza de respuesta entre el dispositivo háptico y la HRM. Los tests realizados para evaluar experimentalmente la eficiencia del cálculo de colisiones y la percepción háptica utilizando HRM respecto a modelar las rugosidades con geometría, mostraron que la técnica propuesta fue acertada, permitiendo percibir detalles 3D correctos a altas tasas de muestreo. Este método anterior es extendido a un procedimiento global para representar rugosidades de objetos. Para hacerlo se propone sustituir el objeto por un modelo simplificado y un atlas de mesostructuras usando texturas de normales y relieves (HyRMA). Este atlas se obtiene de la diferencia en detalle de superficie entre dos mallas del mismo objeto: la original y la simplificada. A partir de un triángulo de la malla simplificada se construye un prisma definido por los vértices del triángulo a lo largo de sus normales, que engloba completamente el relieve de la malla original sobre este triángulo. Las alturas y normales dentro de cada prisma se transforman del espacio de volumen al espacio ortoganal tangente, usando un método novedoso y eficiente que calcula las coordenadas baricéntricas relativas a cada prisma para guardar el mapa de texturas transformado en un atlas ordenado. La percepción háptica se consigue detectando directamente las colisiones entre el dispositivo háptico y el atlas, y modulando la fuerza de respuesta de acuerdo al resultado de la colisión. El procedmiento se ha validado numérica, estadística y perceptualmente en ensayos con usuarios, consiguiendo a tasas interactivas la correcta sensación táctil de los objetos simulados mediante la mesoestructura de las mallas, con alguna pérdida muy puntual de detalle

A homotopy n-type is a topological space which has trivial homotopy groups above degree n. Every space can be constructed from a sequence of such homotopy types, in a sense made precise by the theory of Postnikov towers, yielding improving `approximations' to the space by encoding information about the first n homotopy groups for increasing n. Thus the study of homotopy types, and the search for models of such spaces that can be fruitfully investigated, has been a central problem in homotopy theory. Of course, a homotopy 0-type is, up to weak homotopy equivalence (isomorphism of homotopy groups), a discrete set. It is well-known that a connected 1-type can be represented, again up to weak homotopy equivalence, as the classifying space of its fundamental group: this is the geometric realization of the simplicial set that is the nerve of the group regarded as a category with one object. Another way to phrase this is that the homotopy category of 1-types obtained by localizing at maps which are weak homotopy equivalences | formally adding inverses for these | is equivalent to the skeleton of the category of groups. In [Mac Lane and Whitehead] it was proved that connected homotopy 2-types can be modeled, in the sense described above, by crossed modules of groups. A crossed module is equivalently what in [Loday] is called a 1-cat-group, but now often referred to as a cat1.

The Minkowski question mark function F(x) arises as a real distribution function of rationals in the Farey (alias, Stern-Brocot or Calkin-Wilf) tree. In this thesis we introduce its three natural integral transforms: the dyadic period function G(z), defined in the cut plane; the dyadic zeta function zeta_M(s), which is an entire function; the characteristic function m(t), which is an entire function as well. Each of them is a unique object, and is characterized by regularity properties and a functional equation, which reformulates in its own terms the functional equation for F(x). We study the interrelations among these three objects and F(x). It appears that the theory is completely parallel to the one for Maass wave forms for PSL_2(Z). One of the main purposes of this thesis is to clarify the nature of moments of the Minkowski question mark function.

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