In this thesis, we obtain new results for convolution operators on homogeneous spaces and give applications to the Laplacian on a homogeneous graph. Some of these results have been published in joint papers [13, 14] with my supervisor. Let be a homogeneous space of a locally compact group G and let T : Lp( ) ! Lp( ) be a convolution operator induced by a measure on G, where 1 p < 1. When is symmetric and absolutely continuous, we describe the L2- spectrum of T in terms of the Fourier transform of . An operator T is said to be hypercyclic if there is a vector x 2 Lp( ) such that the orbit fx; Tx; : : : ; Tnx; : : :g is dense in Lp( ). Given a positive weight w on , we consider the weighted convolution operator T ;w(f) = wT (f) on Lp( ) and study hypercyclic properties of T ;w. For a unit point mass , we show that T ;w is hypercyclic under some condition on the weight w. This condition is also necessary in the discrete case, and is equivalent to hereditary hypercyclicity of the operator. The condition can be strengthened to characterise topologically mixing weighted translation operators on discrete spaces. A weighted homogeneous graph is a homogeneous space of a discrete group G and the Laplacian L on can be viewed as a convolution operator. We can therefore apply the above result on L2-spectrum to describe the spectrum of L in terms of irreducible representations of G. We compare the eigenvalues of L with eigenvalues of the Laplacian on a regular tree, and obtain a Dirichlet eigenvalue comparison theorem. We also prove a version of the Harnack inequality for a Schrödinger operator on an invariant homogeneous graph.

Geometric constructions have been studied by mathematicians from ancient Greece until now. Although most attention has been given by the ruler and compass, during the last decades interest in this subject has revived, and includes now other instruments such as origami. A global analysis of instruments and the main results about them has led us to introduce a formal language that allows a unified treatement of instruments and their constructions and related theorems. The main concepts of this language are axioms, tools and maps. Tools formalize geometric instruments. A tool has associated axioms, which are the basic processes that can be done with the instrument. We give a formal definition of a construction as a sequence of axioms, which includes all the information that is needed to describe the process that takes place. The language we introduce needs to be systematic, but also flexible and open, so that new instruments and constructions can be included. Once concepts of a tool and a construction are defined, we establish a classification of tools following two different equivalence relations: geometric equivalence and virtual equivalence. These classifications allow the reformulation of not only known results, like Mohr-Masheroni theorem, but also a proof of new relations between tools. A map is a geometric and arithmetic object which is a tool plus an initial set of points and curves. Maps have associated layers, where points and curves are created iteratively. Because of the complexity of maps and their layers, we can often say little about them. Their study is related to some problems in computational geometry. For some maps, we are able to study the asymptotic growth of the cardinality of the number of points and curves on each layer. We make a complete characterization of the map of the rusty compass, and give details of points and curves in each layer. We also introduce a classification of the maps, that relates those that have the same set of constructible points. The Poncelet-Steiner theorem can be explained in a very natural way using maps. The language of maps allows us to establish new relations between tools. The classification of maps gives an arithmetic classification of tools. We present new results of arithmetic equivalence, using algebraic concepts such as the degree of an axiom and the signature of a tool. On the other hand, we study the structure of constructions, and associate them with two types of measures. As the first type of extrinsic measures, we define the level and the virtual level. Levels come from the use of the layers of maps associated with the constructions. Intrinsic measures of a construction are length, weight, order and rank. These measures allow us to give criteria of minimality and optimality of a construction. We calculate these measures for the basic arithmetic and algebraic constructions and deduce relations between different layers from the maps of the ruler and compass, origami and conics. Throughout the thesis, we illustrate our formalization with several catalogs: a catalog of axioms, which contains the axioms of the most famous instruments, a catalog of tools, where we present the main tools known and the constructions one can do with them, and a catalog of maps, which compiles the results of constructibility, and incorporates some maps associated with new tools, and the corresponding set of constructible points. Finally, we present a catalog of constructions, consisting of around seventy constructions described by the new language that we have introduced, its measures and the proof of their correctness. The digital version of the thesis includes links to interactive animations that can reproduce the steps of the constructions. / L'estudi de les construccions geomètriques és un tema que ha ocupat matemàtics des de la Grècia antiga fins l'actualitat. Tot i que els principals protagonistes han sigut el regle i el compàs, en les darreres dècades, aquest tema s'ha revifat, incloent d'altres instruments de construcció com ara l'origami. Una anàlisi global dels instruments i dels resultats principals sobre ells, ens ha portat a introduir un llenguatge formal que ens permet un tractament unificat dels instruments i de seves les construccions, i els teoremes relacionats. Els conceptes principals d'aquest llenguatge són els d'axioma, eina i mapa. Les eines formalitzen els instruments geomètrics. Tota eina té associats uns axiomes, que són els processos bàsics que permet fer l'instrument. Definim formalment les construccions com a successions d'axiomes, que inclouen tota la informació necessària per descriure el procés que es du a terme. El llenguatge que presentem pretén ésser sistemàtic, però alhora és flexible i obert, per tal que s'hi puguin incorporar, si s'escau, nous instruments i construccions. Una vegada definits els conceptes d'eina i de construcció, fem una classificació de les eines segons dues relacions d'equivalència: l'equivalència geomètrica i l'equivalència virtual. En aquestes classificacions, reformulem resultats coneguts, com ara el teorema de Mohr-Masheroni, en una versió més feble, i provem nous resultats, que relacionen eines que no s'havien relacionat fins al moment. El mapa és un objecte geomètric i aritmètic que està format per una eina i per un conjunt inicial de punts i de corbes. Els mapes tenen associades capes, on es van formant punts i corbes de manera iterativa. La complexitat dels mapes i de les seves capes fa que la informació que se'n pot donar sigui sovint escassa. Donem, per a alguns mapes determinats, el creixement asimptòtic del cardinal del nombre de punts i de corbes de cada capa. En el cas del mapa del compàs fix, però, caracteritzem exactament els conjunts de punts i de corbes de cada capa del mapa. Introduïm una classificació dels mapes, que agrupa aquells que tenen el mateix conjunt de punts construïbles. En aquest context donem una nova demostració del teorema de Poncelet-Steiner i establim noves relacions entre mapes. A partir de la classificació dels mapes, introduïm una tercera classificació de les eines, que anomenem equivalència aritmètica. Donem nous resultats d'equivalència aritmètica, utilitzant el grau d'un axioma i la signatura d'una eina, conceptes de naturalesa algebraica. Per altra banda, estudiem l'estructura de les construccions, a les quals associem dos tipus de mesures. Un primer tipus de mesures, extrínseques a una construcció, són el nivell i el nivell virtual. Els nivells fan ús de les capes de mapes associats a la construcció. L'altre tipus de mesures, intrínseques a cada construcció, són la llargada, l'amplada, l'ordre i el rang. La introducció de totes aquestes mesures permet donar criteris de minimalitat i optimalitat d'una construcció. Calculem aquestes mesures per les construccions aritmètiques i algebraiques bàsiques i deduïm resultats que donen informació de relacions entre diferents capes dels mapes del regle i el compàs, l'origami i les còniques. Al llarg del treball, il·lustrem la nostra formalització amb diversos catàlegs: un catàleg d'axiomes, que conté principalment els axiomes relacionats amb instruments coneguts, un catàleg d'eines, on fem un recull de les principals eines conegudes amb les principals construccions que es poden fer amb elles, i un catàleg de mapes, on a banda de recopilar resultats de constructibilitat, incorporem algun mapa vinculat a eines noves, amb la caracterització del seu conjunt de punts construïbles. Finalment, presentem un catàleg de construccions, que consta d'una setantena de construccions, descrites amb el nou llenguatge que hem introduït, les seves mesures i la demostració de la seva validesa. La versió digital de la tesi incorpora vincles a fitxers interactius de Geogebra on es poden reproduir els passos de les construccions.

This thesis presents new applications of Gale duality to the study of polytopes with extremal combinatorial properties. It consists in two parts. The first one is devoted to the construction of neighborly polytopes and oriented matroids. The second part concerns the degree of point configurations, a combinatorial invariant closely related to neighborliness. A d-dimensional polytope P is called neighborly if every subset of at most d/2 vertices of P forms a face. In 1982, Ido Shemer presented a technique to construct neighborly polytopes, which he named the "Sewing construction". With it he could prove that the number of neighborly polytopes in dimension d with n vertices grows superexponentially with n. One of the contributions of this thesis is the analysis of the sewing construction from the point of view of lexicographic extensions. This allows us to present a technique that we call the "Extended Sewing construction", that generalizes it in several aspects and simplifies its proof. We also present a second generalization that we call the "Gale Sewing construction". This construction exploits Gale duality an is based on lexicographic extensions of the duals of neighborly polytopes and oriented matroids. Thanks to this technique we obtain one of the main results of this thesis: a lower bound of ((r+d)^(((r+d)/2)^2)/(r^((r/2)^2)d^((d/2)^2)e^(3rd/4)) for the number of combinatorial types of neighborly polytopes of even dimension d and r+d+1 vertices. This result not only improves Shemer's bound, but it also improves the current best bounds for the number of polytopes. The combination of both new techniques also allows us to construct many non-realizable neighborly oriented matroids. The degree of a point configuration is the maximal codimension of its interior faces. In particular, a simplicial polytope is neighborly if and only if the degree of its set of vertices is [(d+1)/2]. For this reason, d-dimensional configurations of degree k are also known as "(d-k)-almost neighborly". The second part of the thesis presents various results on the combinatorial structure of point configurations whose degree is small compared to their dimension; specifically, those whose degree is smaller than [(d+1)/2], the degree of neighborly polytopes. The study of this problem comes motivated by Ehrhart theory, where a notion equivalent to the degree - for lattice polytopes - has been widely studied during the last years. In addition, the study of the degree is also related to the "generalized lower bound theorem" for simplicial polytopes, with Cayley polytopes and with Tverberg theory. Among other results, we present a complete combinatorial classification for point configurations of degree 1. Moreover, we show combinatorial restrictions in terms of the novel concept of "weak Cayley configuration" for configurations whose degree is smaller than a third of the dimension. We also introduce the notion of "codegree decomposition" and conjecture that any configuration whose degree is smaller than half the dimension admits a non-trivial codegree decomposition. For this conjecture, we show various motivations and we prove some particular cases.

La información en forma de imagen es muy frecuente en muchos campos de la ciencia. En Medicina es particularmente importante debido a que muchos diagnósticos se realizan en base a imágenes. Notar la gran cantidad de técnicas de obtención de imagen existentes en este campo. El experto en Medicina examina las imágenes y toma decisiones.El Proceso de Imagen tiene como objetivo la mejora de la imagen eliminando las características que impiden su interpretación o bien realzando aquellas otras que la facilitan. El paso siguiente es la interpretación por medio de una descripción. En este trabajo se han empleado técnicas de proceso de imagen aplicadas a dos tipos de imágenes oftalmológicas.El primer tipo de imagen procesada es de endotelio corneal humano. El endotelio corneal es una de las capas que integra la córnea. En un endotelio sano, las células que lo forman cumplen ciertas condiciones de regularidad en área y forma. En el capítulo 2 es analizada una muestra de endotelios corneales en base a su descripción granulométrica. Se adoptan dos enfoques: uno global y otro local. En el enfoque global, el endotelio constituye la forma que hay que describir y en el enfoque local, primero se describen las células y después el endotelio. En el enfoque global hay una primera parte en que un oftalmólogo establece una muestra de endotelios sanos o 'control' y la salud de el resto de endotelios se evalúa por comparación con los primeros en base a su descripción granulométrica y mediante un test gráfico. El establecimiento de endotelios control siempre lleva aparejada cierta subjetividad y es por eso que también se asume el análisis de la muestra sin establecer tal grupo de referencia realizando un análisis clúster de la muestra total.En el capítulo 3 se propone una descripción del endotelio corneal humano mediante patrones puntuales. A partir de cada endotelio se obtiene un patrón puntual que contiene un determinado tipo de puntos característicos. En este caso se aborda el análisis de otra muestra de endotelios corneales sin establecer endotelios de referencia previamente. Para caracterizar a los endotelios se emplean dos tipos de distancias frecuentemente utilizados en el contexto de la Teoría de Procesos Puntuales: la distancia al vecino más próximo y de punto a suceso. La comparación de endotelios se realiza por medio de la comparación de este tipo de distancias. Para ello se utilizarán algunos tests clásicos de comparación de muestras, sin embargo, se llama la atención sobre la naturaleza censurada de la muestra de las distancias. Este hecho nos permite también utilizar tests de comparación de muestras provenientes de la Teoría de la Supervivencia.En el capítulo 4 se aborda el problema de la segmentación del árbol vascular retiniano en imágenes de fondo de ojo dentro del contexto de la Teoría de Conjuntos Difusos. A partir de tres métodos de segmentación se han generado funciones de pertenencia a vaso en lugar de auténticas segmentaciones. De esta manera el árbol vascular pasa a ser un conjunto difuso y el objetivo es asociar al difuso un conjunto nítido (crisp) que sea representativo, es decir, una segmentación, en definitiva. El problema de asociar un conjunto nítido representativo a un difuso (en inglés defuzzification) es un problema muy debatido en el mundo de los difusos y en este capítulo se ha intentado abordar mediante el concepto de promedio de un conjunto difuso. La Teoría de Conjuntos Compactos Aleatorios aporta distintas definiciones de conjunto medio que son directamente aplicables en el contexto difuso.Por último en el capítulo 1 se introducen los conceptos utilizados a lo largo del trabajo así como el software utilizado. / The thesis is concerned with two different problems of medical image analysis.Two types of medical images have been used: images of corneal endothelium taken using a specular microscope and fundus images. Corneal endothelium is one of the corneal layers. Its performance is related with its cellular shape and size. Chapters two and three are concerned with the analysis of images of corneal endothelia. In chapter two the image is described using granulometric size distributions. One endothelium is clasified as "normal" if its granulometric cumulative distribution function does not show differences with the control cases (previously defined as normal by an expert). The comparison is made using a graphical test.Chapter three proposes a description of the corneal endothelium based on point patterns. A point pattern is asociated to an endothelium by getting the cell centroids. Later, the point pattern is described by means of two types of distances frequently used in this context: the nearest neighbourg distance and the empty space distance. Every point pattern is compared each other through the previous distances with the purpose of establishing homogeneous groups of corneal endothelia.The problem of segmentation of the vascular tree in fundus images is considered in chapter four. First, to generate membership functions to the vascular tree three segmentation methods are used. Then the vascular tree is considered as a fuzzy set. Second, some results of the Theory of Random Compacts Sets are applied so as to obtain the corresponding crisp set, that is to say, to obtain a segmentation.

The Marle-Guillemin-Sternberg (MGS) model is an extremely important tool for the theory of Hamiltonian actions on symplectic manifolds. It has been extensively used to prove many local results both in symplectic geometry and in symmetric Hamiltonian systems theory. It provides a model for a tubular neighborhood of a group orbit and puts in normal form the group action and the symplectic structure. The main drawback of the MGS model is that it is not explicit. Only it existence and main properties can be proved. Moreover, for cotangent bundles, this model does not respect the natural fibration. In the first part of the thesis we build an MGS model specially adapted to the cotangent bundle geometry. This model generalizes previous results obtained by T. Schmah for orbits with fully-isotropic momentum. In addition, our construction is explicit up to the integration of a differential equation on G. This equation can be easily solved for the groups SO(3) or SL(2), hence giving explicit symplectic coordinates for arbitrary canonical actions of these groups on any cotangent bundle. In the second part of the thesis we apply this adapted MGS model to describe the structure of the symplectic reduction of a cotangent bundle. We show that the base projection of any momentum leaf is a Whitney stratified space. Moreover, we can refine the orbit-type stratification of the symplectic reduced space so that each piece is a fibered space. We prove that each of those pieces is endowed with a constant rank presymplectic form and that there is always one unique piece which is open and dense. Furthermore, this maximal piece is symplectomorphic to a vector subbundle of a certain cotangent bundle. / El model de Marle-Guillemin-Sternberg (MGS) és una eina extremadament important per la teoria de les accions Hamiltonianes en varietats simplèctiques. Ha estat utilitzada per provar molts resultats te tipus local tant en geometria simplèctica com en la teoria de sistemes Hamiltonians simètrics. Proporciona un model per un entorn tubular de una òrbita de la acció de forma que fica en forma normal tant l'acció del grup com l'estructura simplèctica. El principal problema del model MGS és que no és explícit. Només es poden provar la seva existència i les seves propietats principals. Per altra banda, en el cas de que la varietat sigui un fibrat cotangent la el model MGS no respecta la fibració natural. En la primera part de la tesis construïm un model MGS especialment adaptat a la geometria dels fibrats cotangents. Aquest model generalitza els resultats obtinguts per T. Schmah per òrbites amb moment completament isotròpic. Addicionalment, la nostra construcció és explicita excepte per la integració d'una equació diferencial sobre el grup G. Aquesta equació pot ser solucionada de forma explícita per els grups SO(3) o SL(2), per tant podem donar explícitament coordenades simplèctiques per a accions arbitraries d'aquests grups sobre qualsevol fibrat cotangent. En la segona part de la tesis apliquem aquest model MGS cotangent per descriure l'estructura de les reduccions simplèctiques de fibrats cotangents. Mostrem que la projecció sobre la base de una fulla de moment és un espai estratificat de Whitney. També podem refinar l'estratificació de l'espai simplèctic reduït de forma que cadascuna de les peces és un espai fibrat. Demostrem que cadascuna d'aquestes peces està dotada d'una forma pre-simplèctica de rang constant i que sempre hi ha una única peça que es oberta i densa en l'espai reduït. A més aquesta peca maximal és simlpectomorfa a un subfibrat vectorial de un cert fibrat cotangent.

The main objects of study in this thesis are matroids. In particular we are interested in three particular classes matroids: regular matroids, arithmetic matroids, and internally perfect matroids. Of these families, regular matroids are the oldest and most well-known. In contrast, arithmetic matroids are relatively new structures that simultaneously capture combinatorial and geometric invariants of rational vector configurations. We introduce the class of internally perfect matroids in order to use the structure of the internal order of such a matroid to prove Stanley's conjecture that (under a certain assumption) any h-vector of a matroid is a pure O-sequence in this case. The thesis is structured as follows. We give all relevant background information in Chapter 1. In Chapter 2 we give a new proof of a generalization of Kirchoff's matrix-tree theorem to regular matroids. After recasting the problem into the world of polyhedral geometry via two zonotopes determined by a regular matroid, we reprove the theorem by showing that the volumes of these zonotopes are equal by providing an explicit bijection between the points in them (up to a set of measure zero). We then generalize to the weighted case, and conclude by using our technique to reprove the the classical matrix-tree theorem by working out the details when the matrices involved have rank-plus-one many rows. This chapter is joint work with Julian Pfeifle. In Chapter 3 we exploit a well-known connection between the zonotope and Lawrence polytope generated by a fixed integer representation of a rational matroid to prove relations between various polynomials associated to these two polytopes and the underlying matroid. First we prove a relationship between the Ehrhart polynomial of the zonotope and the numerator of the Ehrhart series of the Lawrence polytope. On the level of arithmetic matroids, this relation allows us to view the numerator of the Ehrhart series of the Lawrence polytope as the arithmetic matroid analogue of the usual matroid h-vector of the matroid. After proving the previous result, we use it to give a new interpretation of the coefficients of a certain evaluation of the arithmetic Tutte polynomial. Finally, we give a new proof that the h-vector of the matroid and the numerator of the Ehrhart series of the Lawrence polytope coincide when the matrix representing the matroid is unimodular. In Chapter 4, we consider a new class of matroids consisting of those matroids whose internal order makes them especially amenable to proving Stanley's conjecture. Stanley's conjecture states that for any matroid there exists a pure order ideal whose O-sequence coincides with the h-vector of the matroid. We give a brief review of known results in Section 4.1 before turning to ordered matroids and the internal order in Section 4.2, where we also define internally perfect bases and matroids. In Section 4.3 we first prove preliminary results about internally perfect bases culminating in Theorem 4.11 in which we show that, under a certain assumption, any internally perfect matroid satisfies Stanley's conjecture. Moreover, we conjecture that the assumption in the previous sentence holds for all internally perfect matroids. / El principal objeto de estudio de la presente tesis son las matroides, que generalizan propiedades de matrices a un contexto más combinatorio. Nos interesaremos principalmente por tres clases particulares: matroides regulares, matroides aritméticas, y matroides internamente perfectas. De estas famílias, las matroides regulares son las mejor estudiadas. En cambio, las matroides aritméticas son estructuras relativamente nuevas que capturan simultáneamente invariantes combinatorias y geométricas de configuraciones racionales de vectores. Introducimos en esta tesis la clase de matroides internamente perfectas, que nos permiten usar la estructura del orden interno de dichas matroides para probar, en este caso y suponiendo la veracidad de una afirmación, la conjetura de Stanley que cualquier h-vector de una matroide es una O-secuencia pura. Esta tesis está estructurada de la siguiente forma. En el Capítulo 1 damos los antecedentes relevantes. En el Capítulo 2 ofrecemos una nueva demostración de una generalización del teorema de Kirchhoff. Después reestructuramos el problema en el mundo de la geometría poliédrica a través de dos zonotopos determinados por una matroide regular, demostrando que los volúmenes de estos zonotopos son iguales, y construyendo una biyección explícita entre ellos (fuera de un conjunto de medida cero). Generalizamos entonces al caso de una matroide con pesos. Concluimos mostrando que nuestra técnica pude ser usada para volver a demostrar el teorema clásico de Kirchhoff, puliendo los detalles cuando las matrices tienen corrango igual a uno. Este capítulo es fruto de trabajo conjunto con Julian Pfeifle. En el Capítulo 3 sacamos provecho de una conexión entre el zonotopo y el politopo de Lawrence generado por una representación íntegra (con coeficientes enteros) de una matroide racional para probar relaciones entre varios polinomios asociados con ellos. Primero demostramos una relación entre el polinomio de Ehrhart del zonotopo y el numerador de la serie de Ehrhart del politopo de Lawrence. Al nivel de matroides aritméticas esta relación nos permite ver el numerador de la serie de Ehrhart del politopo de Lawrence como el análogo, para matroides aritméticas, del usual h-vector de la matroide. Después de demostrar el resultado mencionado, lo usamos para ofrecer una nueva interpretación de los coeficientes de una evaluación particular del polinomio aritmético de Tutte. Finalmente mostramos que el h-vector de la matroide y la serie de Ehrhart del politopo de Lawrence coinciden cuando la representación es unimodular. En el Capítulo 4 consideramos una nueva clase de matroides, cuyo orden interno las vuelve especialmente dispuestas para demostrar la conjetura de Stanley. Esta conjetura dice que para cualquier matroide existe un ideal de orden puro cuya O-secuencia coincide con el h-vector de la matroide. Damos un breve repaso de los resultados conocidos en la Sección 4.1 antes de enfocarnos en las matroides ordenadas y el orden interno en la Sección 4.2, donde también definimos las bases y matroides internamente perfectas. En la Sección 4.3 probamos resultados preliminares sobre bases internamente perfectas culminando en el Teorema 4.11, dónde mostramos que, suponiendo la veracidad de cierta afirmación, cualquier matroide perfecta satisface la conjetura de Stanley. Por otra parte, conjeturamos que esta afirmación, en efecto, es válida para todas las matroides internamente perfectas.

Nowadays large part of the time needed to perform a numerical simulation is spent in preprocessing, especially in the geometry cleaning operations and mesh generation. Furthermore, these operations are not easy to automatize because they depend strongly on each geometrical model and they often need human interaction. Many of these operations are needed to obtain a watertight geometry. Even with a clean geometry, classical unstructured meshing methods (like Delaunay or Advancing Front based ones) present critical weak points like the need of a given quality in the boundary mesh or a relatively smooth size transition. These aspects decrease their robustness and imply an extra effort in order to reach the final mesh. Octree based meshers try to relax some of these requirements. In the present work an octree based mesher for unstructured tetrahedra is presented. The proposed mesher ensures the mesh generation avoiding most of the geometry cleaning operations. It is based in the following steps: fit an octree onto the model, refine it following given criteria, apply a tetrahedra pattern to the octree cells and adapt the tetrahedra close to the contours in order to represent accurately the boundary shape. An important and innovative aspect of the proposed algorithm is it ensures the final mesh preserves the topology and the geometric features of the original model. The method uses a Ray Casting based algorithm for the identification of the inner and outer parts of the volumes involved in the model. This technique allows the mesh generation of volumes even with non-watertight boundaries, and also opens the use of the mesher for immersed methods only applying slight modifications to the algorithm. The main advantages of the presented mesher are: robustness, no need for watertight boundaries, independent on the contour mesh quality, preservation of geometrical features (corners and ridges), original geometric topology guaranteed, accurate representation of the contours, valid for immersed methods, and fast performance. A lot of time in the preprocessing part of the numerical simulation is saved thanks to the robustness of the mesher, which allows skipping most of the geometry cleaning operations. A shared memory parallel implementation of the algorithm has been done. The effectiveness of the algorithm and its implementation has been verified by some validation examples. / En l'actualitat gran part del temps emprat per córrer una simulació numèrica està dedicat al preprocés, especialment a les operacions de neteja de geometria i generació de malla. A més, aquestes operacions no són fàcils d'automatitzar degut a la seva forta dependència del model geomètric i sovint necessiten d’interacció humana. Moltes d'aquestes operacions són necessàries per aconseguir una definició topológicament hermètica de la geometria. Inclús amb una geometria neta, els mètodes clàssics de mallat (com els basats en Delaunay o avançament frontal) presenten punts febles crítics com la necessitat d'una certa qualitat de les malles de contorn o una transició de mides relativament suau. Aquests aspectes disminueixen la seva robustesa i impliquen un esforç extra a l'hora d'obtenir la malla final. Els mètodes de mallat basats en estructures octree relaxen alguns d'aquests requeriments. En aquest treball es presenta un mallador basat en octree per tetraedres no estructurats. Un dels aspectes claus d'aquest mallador és que garanteix la generació de malla evitant moltes de les operacions de neteja de geometria. Es basa en els següents passos: encaixar un octree al model, refinar-lo seguint certs criteris, aplicar un patró de tetraedres a les cel•les de l'octree i adaptar-los a les zones properes als contorns a fi i efecte de representar acuradament la forma del domini. Un aspecte important i innovador de l'algorisme proposat és que manté la topologia del model a la malla final i preserva les seves característiques geomètriques. El mètode presentat utilitza un algorisme basat en la tècnica Ray Casting per la identificació de les parts interiors i exteriors dels volums del model. Aquesta tècnica permet la generació de malla de volums inclús amb contorns que no tanquen hermèticament, i també obre l’ús del mallador a mètodes “immersed” aplicant només petites modificacions a l'algorisme. Els principals avantatges del mallador presentat són: robustesa, no necessitat de definicions hermètiques dels contorns, independent de la qualitat de la malla de contorn, preservació de característiques geomètriques (cantonades i arestes abruptes), topologia original de la geometria garantida, representació precisa dels contorns, vàlid per mètodes “immersed” i ràpid rendiment. L’ús del mallador estalvia molt de temps en la part del preprocés de la simulació numèrica gràcies a la seva robustesa que permet obviar la majoria d'operacions de neteja de geometria. S'ha dut a terme una implementació paral•lela amb memòria compartida de l'algorisme. L'efectivitat del mateix i la seva implementació ha estat verificada mitjançant exemples de validació.

Over the last few decades, data analysis has swiftly evolved from being a task addressed mainly within the remit of multivariate statistics, to an endevour in which data heterogeneity, complexity and even sheer size, driven by computational advances, call for alternative strategies, such as those provided by pattern recognition and machine learning. Any data analysis process aims to extract new knowledge from data. Knowledge extraction is not a trivial task and it is not limited to the generation of data models or the recognition of patterns. The use of machine learning techniques for multivariate data analysis should in fact aim to achieve a dual target: interpretability and good performance. At best, both aspects of this target should not conflict with each other. This gap between data modelling and knowledge extraction must be acknowledged, in the sense that we can only extract knowledge from models through a process of interpretation. Exploratory information visualization is becoming a very promising tool for interpretation. When exploring multivariate data through visualization, high data dimensionality can be a big constraint, and the use of dimensionality reduction techniques is often compulsory. The need to find flexible methods for data modelling has led to the development of non-linear dimensionality reduction techniques, and many state-of-the-art approaches of this type fall in the domain of probabilistic modelling. These non-linear techniques can provide a flexible data representation and a more faithful model of the observed data compared to the linear ones, but often at the expense of model interpretability, which has an impact in the model visualization results. In manifold learning non-linear dimensionality reduction methods, when a high-dimensional space is mapped onto a lower-dimensional one, the obtained embedded manifold is subject to local geometrical distortion induced by the non-linear mapping. This kind of distortion can often lead to misinterpretations of the data set structure and of the obtained patterns. It is important to give relevance to the problem of how to quantify and visualize the distortion itself in order to interpret data in a more faithful way. The research reported in this thesis focuses on the development of methods and techniques for explicitly reintroducing the local distortion created by non-linear dimensionality reduction models into the low-dimensional visualization of the data that they produce, as well as in the definition of metrics for probabilistic geometries to address this problem. We do not only provide methods only for static data, but also for multivariate time series. The reintegration of the quantified non-linear distortion into the visualization space of the analysed non-linear dimensionality reduction methods is a goal by itself, but we go beyond it and consider alternative adequate metrics for probabilistic manifold learning. For that, we study the role of \textit{Random geometries}, that is, distributions of manifolds, in machine learning and data analysis in general. Methods for the estimation of distributions of data-supporting Riemannian manifolds as well as algorithms for computing interpolants over distributions of manifolds are defined. Experimental results show that inference made according to the random Riemannian metric leads to a more faithful generation of unobserved data. / Durant les últimes dècades, l’anàlisi de dades ha evolucionat ràpidament de ser una tasca dirigida principalment dins de l’àmbit de l’estadística multivariant, a un endevour en el qual l’heterogeneïtat de les dades, la complexitat i la simple grandària, impulsats pels avanços computacionals, exigeixen estratègies alternatives, tals com les previstes en el Reconeixement de Formes i l’Aprenentatge Automàtic. Qualsevol procés d’anàlisi de dades té com a objectiu extreure nou coneixement a partir de les dades. L’extracció de coneixement no és una tasca trivial i no es limita a la generació de models de dades o el reconeixement de patrons. L’ús de tècniques d’aprenentatge automàtic per a l’anàlisi de dades multivariades, de fet, hauria de tractar d’aconseguir un objectiu doble: la interpretabilitat i un bon rendiment. En el millor dels casos els dos aspectes d’aquest objectiu no han d’entrar en conflicte entre sí. S’ha de reconèixer la bretxa entre el modelatge de dades i l’extracció de coneixement, en el sentit que només podem extreure coneixement a partir dels models a través d’un procés d’interpretació. L’exploració de la visualització d’informació s’està convertint en una eina molt prometedora per a la interpretació dels models. Quan s’exploren les dades multivariades a través de la visualització, la gran dimensionalitat de les dades pot ser un obstacle, i moltes vegades és obligatori l’ús de tècniques de reducció de dimensionalitat. La necessitat de trobar mètodes flexibles per al modelatge de dades ha portat al desenvolupament de tècniques de reducció de dimensionalitat no lineals. L’estat de l’art d’aquests enfocaments cau moltes vegades en el domini de la modelització probabilística. Aquestes tècniques no lineals poden proporcionar una representació de les dades flexible i un model de les dades més fidel comparades amb els models lineals, però moltes vegades a costa de la interpretabilitat del model, que té un impacte en els resultats de visualització. En els mètodes d’aprenentatge de varietats amb reducció de dimensionalitat no lineals, quan un espai d’alta dimensió es projecta sobre un altre de dimensió menor, la varietat immersa obtinguda està subjecta a una distorsió geomètrica local induïda per la funció no lineal. Aquest tipus de distorsió pot conduir a interpretacions errònies de l’estructura del conjunt de dades i dels patrons obtinguts. Per això, és important donar rellevància al problema de com quantificar i visualitzar aquesta distorsió en sí, amb la finalitat d’interpretar les dades d’una manera més fidel. La recerca presentada en aquesta tesi se centra en el desenvolupament de mètodes i tècniques per reintroduir de forma explícita a l’espai de visualització la distorsió local creada per la funció no lineal. Aquesta recerca se centra també en la definició de mètriques per a geometries probabilístiques per fer front al problema de la distorsió de la funció en els models de reducció de dimensionalitat no lineals. No proporcionem mètodes només per a les dades estàtiques, sinó també per a sèries temporals multivariades. La reintegració de la distorsió no lineal a l’espai de visualització dels mètodes de reducció de dimensionalitat no lineals analitzats és un objectiu en sí mateix, però aquesta anàlisi va més enllà i considera també les mètriques probabilístiques adequades a l’aprenentatge de varietats probabilístiques. Per això, estudiem el paper de les Geometries Aleatòries (distribucions de les varietats) en Aprenentatge Automàtic i anàlisi de dades en general. Es defineixen aquí els mètodes per a l’estimació de les distribucions de varietats de Riemann de suport a les dades, així com els algorismes per calcular interpolants en les distribucions de varietats. Els resultats experimentals mostren que la inferència feta segons les mètriques de les varietats Riemannianes Aleatòries dóna origen a una generació de les dades observades més fidel / Durant les últimes dècades, l'anàlisi de dades ha evolucionat ràpidament de ser una tasca dirigida principalment dins de l'àmbit de l'estadística multivariant, a un endevour en el qual l'heterogeneïtat de les dades, la complexitat i la simple grandària, impulsats pels avanços computacionals, exigeixen estratègies alternatives, tals com les previstes en el Reconeixement de Formes i l'Aprenentatge Automàtic. La recerca presentada en aquesta tesi se centra en el desenvolupament de mètodes i tècniques per reintroduir de forma explícita a l'espai de visualització la distorsió local creada per la funció no lineal. Aquesta recerca se centra també en la definició de mètriques per a geometries probabilístiques per fer front al problema de la distorsió de la funció en els models de reducció de dimensionalitat no lineals. No proporcionem mètodes només per a les dades estàtiques, sinó també per a sèries temporals multivariades. La reintegració de la distorsió no lineal a l'espai de visualització dels mètodes de reducció de dimensionalitat no lineals analitzats és un objectiu en sí mateix, però aquesta anàlisi va més enllà i considera també les mètriques probabilístiques adequades a l'aprenentatge de varietats probabilístiques. Per això, estudiem el paper de les Geometries Aleatòries (distribucions de les varietats) en Aprenentatge Automàtic i anàlisi de dades en general. Es defineixen aquí els mètodes per a l'estimació de les distribucions de varietats de Riemann de suport a les dades, així com els algorismes per calcular interpolants en les distribucions de varietats. Els resultats experimentals mostren que la inferència feta segons les mètriques de les varietats Riemannianes Aleatòries dóna origen a una generació de les dades observades més fidel. Qualsevol procés d'anàlisi de dades té com a objectiu extreure nou coneixement a partir de les dades. L'extracció de coneixement no és una tasca trivial i no es limita a la generació de models de dades o el reconeixement de patrons. L'ús de tècniques d'aprenentatge automàtic per a l'anàlisi de dades multivariades, de fet, hauria de tractar d'aconseguir un objectiu doble: la interpretabilitat i un bon rendiment. En el millor dels casos els dos aspectes d'aquest objectiu no han d'entrar en conflicte entre sí. S'ha de reconèixer la bretxa entre el modelatge de dades i l'extracció de coneixement, en el sentit que només podem extreure coneixement a partir dels models a través d'un procés d'interpretació. L'exploració de la visualització d'informació s'està convertint en una eina molt prometedora per a la interpretació dels models. Quan s'exploren les dades multivariades a través de la visualització, la gran dimensionalitat de les dades pot ser un obstacle, i moltes vegades és obligatori l'ús de tècniques de reducció de dimensionalitat. La necessitat de trobar mètodes flexibles per al modelatge de dades ha portat al desenvolupament de tècniques de reducció de dimensionalitat no lineals. L'estat de l'art d'aquests enfocaments cau moltes vegades en el domini de la modelització probabilística. Aquestes tècniques no lineals poden proporcionar una representació de les dades flexible i un model de les dades més fidel comparades amb els models lineals, però moltes vegades a costa de la interpretabilitat del model, que té un impacte en els resultats de visualització. En els mètodes d'aprenentatge de varietats amb reducció de dimensionalitat no lineals, quan un espai d'alta dimensió es projecta sobre un altre de dimensió menor, la varietat immersa obtinguda està subjecta a una distorsió geomètrica local induïda per la funció no lineal. Aquest tipus de distorsió pot conduir a interpretacions errònies de l'estructura del conjunt de dades i dels patrons obtinguts. Per això, és important donar rellevància al problema de com quantificar i visualitzar aquesta distorsió en sì, amb la finalitat d'interpretar les dades d'una manera més fidel.

This thesis shows an approach to geometric quantisation of integrable systems. It extends some results by Guillemin, Kostant, Rawnsley, Sniatycki and Sternberg in geometric quantisation, considering regular fibrations as real polarisations, to the singular setting: the real polarisations concerned here are given by integrable systems with nondegenerate singularities, and the definition of geometric quantisation used is the one suggested by Kostant (via higher cohomology groups). It also presents unifying proofs for results in geometric quantisation by exploring the existence of symplectic circle actions: the tools developed here highlight and unravel the role played by circle actions in known results in geometric quantisation. The originality of this thesis relies on the following aspects. Firstly, the use of symplectic circle actions to obtain results in geometric quantisation, and secondly, the nonexistence of Poincaré lemmata for foliated cohomology when the foliation has singularities. Previous results on circle actions, due to Rawnsley, could not be used when the circle action is not free, and it is not straightforward to adapt them to accommodate fixed points. After developing these techniques, the computation of geometric quantisation is performed in a series of situations, which includes: the cotangent bundle of the circle and products of it with any quantisable manifold, and neighbourhoods of nondegenerate singularities of integrable systems (hyperbolic singularities need special treatment, since there is no natural circle action). These computations imply that the Kostant complex is a fine resolution (for the sheaf of sections of the prequantum line bundle which are flat along the polarisation) when the real polarisations are given by integrable systems with nondegenerate singularities. It is important to mention that the proofs are original, since, contrary to expectations, there is no Poincaré Lemma when singularities are allowed for the foliated cohomology associated to foliations induced by integrable systems. This nontrivial result turns out to be interesting in its own right, but only the aspects related to geometric quantisation are presented in the thesis, e.g. the need for a new proof that the Kostant complex is a fine resolution for the sheaf of flat sections. The thesis also provides a different proof of a theorem, firstly proved by Guillemin and Sternberg, that shows that the set of regular Bohr-Sommerfeld fibres is discrete -it not only bares the role played by circle actions, it also excludes the compactness assumption from the theorem. The exploitation of circle actions culminate in an alternative proof for the theorems of Sniatycki and Hamilton. It is an original and unifying proof: the argument works for both situations, Lagrangian fibre bundles and locally toric manifolds. In addition, this approach casts some light on a conjecture about the contributions coming from focus-focus type of singularities. It actually proves that, in degree zero, there is no contribution to geometric quantisation coming from focus-focus fibres for compact 4-dimensional almost toric manifolds.

Fat tree topologies have been extensively used as interconnection networks for high performance parallel systems, with their most recent variants able to easily extend and scale to accommodate different system sizes and requirements. While each progressive and evolved fat-tree topology includes some extra advancements compared to the original ones, these topologies do not fully address or resolve the issues that large scales systems face. We propose an extended Zoned node, architecture as an alternative to conventional fat trees, and other variants. The extension relates to the provision of extra links to balance the number of routing switches, and hence increases the bisection bandwidth, and also to the extra layers that provide an inherent fault tolerance. In this work we emphasize on controlled power consumption, managed network complexity, faster message transmission, lower latency and higher throughput. These features are desirable for high performance parallel systems. We will show through semantics that our zoned node specifies most variants of the fat trees topologies such as k-ary n-tree and XGFT. We will also show that a replication of several zoned nodes into super nodes takes a broader view of complex interconnections such as dragonfly and PERCS. We propose a generic source routing algorithm that we call in this thesis “the single-sliced-addressing” that works for all the classes of the zoned nodes, and we will prove through analysis and simulation that it outperforms the previous routing scheme deployed in some variant fat tree topologies. Most variants of fat-tree topologies do not address optimisation issues. In this work, we develop an optimising system that identifies parameters and components of the zoned node that lead to an optimized architecture. The optimization process is achieved based on minimising the overall cost of the network that is directly related to its complexity and therefore proportional to the relative power, which serves as the objective function that is minimised based on the traffic constraints to maintain a lower delay and a higher throughput. The simulation results show that the extracted optimised zone node performs well under various load conditions and traffic patterns compared to non-optimised variants of fat tree topologies.