The Marle-Guillemin-Sternberg (MGS) model is an extremely important tool for the theory of Hamiltonian actions on symplectic manifolds. It has been extensively used to prove many local results both in symplectic geometry and in symmetric Hamiltonian systems theory. It provides a model for a tubular neighborhood of a group orbit and puts in normal form the group action and the symplectic structure. The main drawback of the MGS model is that it is not explicit. Only it existence and main properties can be proved. Moreover, for cotangent bundles, this model does not respect the natural fibration. In the first part of the thesis we build an MGS model specially adapted to the cotangent bundle geometry. This model generalizes previous results obtained by T. Schmah for orbits with fully-isotropic momentum. In addition, our construction is explicit up to the integration of a differential equation on G. This equation can be easily solved for the groups SO(3) or SL(2), hence giving explicit symplectic coordinates for arbitrary canonical actions of these groups on any cotangent bundle. In the second part of the thesis we apply this adapted MGS model to describe the structure of the symplectic reduction of a cotangent bundle. We show that the base projection of any momentum leaf is a Whitney stratified space. Moreover, we can refine the orbit-type stratification of the symplectic reduced space so that each piece is a fibered space. We prove that each of those pieces is endowed with a constant rank presymplectic form and that there is always one unique piece which is open and dense. Furthermore, this maximal piece is symplectomorphic to a vector subbundle of a certain cotangent bundle. / El model de Marle-Guillemin-Sternberg (MGS) és una eina extremadament important per la teoria de les accions Hamiltonianes en varietats simplèctiques. Ha estat utilitzada per provar molts resultats te tipus local tant en geometria simplèctica com en la teoria de sistemes Hamiltonians simètrics. Proporciona un model per un entorn tubular de una òrbita de la acció de forma que fica en forma normal tant l'acció del grup com l'estructura simplèctica. El principal problema del model MGS és que no és explícit. Només es poden provar la seva existència i les seves propietats principals. Per altra banda, en el cas de que la varietat sigui un fibrat cotangent la el model MGS no respecta la fibració natural. En la primera part de la tesis construïm un model MGS especialment adaptat a la geometria dels fibrats cotangents. Aquest model generalitza els resultats obtinguts per T. Schmah per òrbites amb moment completament isotròpic. Addicionalment, la nostra construcció és explicita excepte per la integració d'una equació diferencial sobre el grup G. Aquesta equació pot ser solucionada de forma explícita per els grups SO(3) o SL(2), per tant podem donar explícitament coordenades simplèctiques per a accions arbitraries d'aquests grups sobre qualsevol fibrat cotangent. En la segona part de la tesis apliquem aquest model MGS cotangent per descriure l'estructura de les reduccions simplèctiques de fibrats cotangents. Mostrem que la projecció sobre la base de una fulla de moment és un espai estratificat de Whitney. També podem refinar l'estratificació de l'espai simplèctic reduït de forma que cadascuna de les peces és un espai fibrat. Demostrem que cadascuna d'aquestes peces està dotada d'una forma pre-simplèctica de rang constant i que sempre hi ha una única peça que es oberta i densa en l'espai reduït. A més aquesta peca maximal és simlpectomorfa a un subfibrat vectorial de un cert fibrat cotangent.

The main objects of study in this thesis are matroids. In particular we are interested in three particular classes matroids: regular matroids, arithmetic matroids, and internally perfect matroids. Of these families, regular matroids are the oldest and most well-known. In contrast, arithmetic matroids are relatively new structures that simultaneously capture combinatorial and geometric invariants of rational vector configurations. We introduce the class of internally perfect matroids in order to use the structure of the internal order of such a matroid to prove Stanley's conjecture that (under a certain assumption) any h-vector of a matroid is a pure O-sequence in this case. The thesis is structured as follows. We give all relevant background information in Chapter 1. In Chapter 2 we give a new proof of a generalization of Kirchoff's matrix-tree theorem to regular matroids. After recasting the problem into the world of polyhedral geometry via two zonotopes determined by a regular matroid, we reprove the theorem by showing that the volumes of these zonotopes are equal by providing an explicit bijection between the points in them (up to a set of measure zero). We then generalize to the weighted case, and conclude by using our technique to reprove the the classical matrix-tree theorem by working out the details when the matrices involved have rank-plus-one many rows. This chapter is joint work with Julian Pfeifle. In Chapter 3 we exploit a well-known connection between the zonotope and Lawrence polytope generated by a fixed integer representation of a rational matroid to prove relations between various polynomials associated to these two polytopes and the underlying matroid. First we prove a relationship between the Ehrhart polynomial of the zonotope and the numerator of the Ehrhart series of the Lawrence polytope. On the level of arithmetic matroids, this relation allows us to view the numerator of the Ehrhart series of the Lawrence polytope as the arithmetic matroid analogue of the usual matroid h-vector of the matroid. After proving the previous result, we use it to give a new interpretation of the coefficients of a certain evaluation of the arithmetic Tutte polynomial. Finally, we give a new proof that the h-vector of the matroid and the numerator of the Ehrhart series of the Lawrence polytope coincide when the matrix representing the matroid is unimodular. In Chapter 4, we consider a new class of matroids consisting of those matroids whose internal order makes them especially amenable to proving Stanley's conjecture. Stanley's conjecture states that for any matroid there exists a pure order ideal whose O-sequence coincides with the h-vector of the matroid. We give a brief review of known results in Section 4.1 before turning to ordered matroids and the internal order in Section 4.2, where we also define internally perfect bases and matroids. In Section 4.3 we first prove preliminary results about internally perfect bases culminating in Theorem 4.11 in which we show that, under a certain assumption, any internally perfect matroid satisfies Stanley's conjecture. Moreover, we conjecture that the assumption in the previous sentence holds for all internally perfect matroids. / El principal objeto de estudio de la presente tesis son las matroides, que generalizan propiedades de matrices a un contexto más combinatorio. Nos interesaremos principalmente por tres clases particulares: matroides regulares, matroides aritméticas, y matroides internamente perfectas. De estas famílias, las matroides regulares son las mejor estudiadas. En cambio, las matroides aritméticas son estructuras relativamente nuevas que capturan simultáneamente invariantes combinatorias y geométricas de configuraciones racionales de vectores. Introducimos en esta tesis la clase de matroides internamente perfectas, que nos permiten usar la estructura del orden interno de dichas matroides para probar, en este caso y suponiendo la veracidad de una afirmación, la conjetura de Stanley que cualquier h-vector de una matroide es una O-secuencia pura. Esta tesis está estructurada de la siguiente forma. En el Capítulo 1 damos los antecedentes relevantes. En el Capítulo 2 ofrecemos una nueva demostración de una generalización del teorema de Kirchhoff. Después reestructuramos el problema en el mundo de la geometría poliédrica a través de dos zonotopos determinados por una matroide regular, demostrando que los volúmenes de estos zonotopos son iguales, y construyendo una biyección explícita entre ellos (fuera de un conjunto de medida cero). Generalizamos entonces al caso de una matroide con pesos. Concluimos mostrando que nuestra técnica pude ser usada para volver a demostrar el teorema clásico de Kirchhoff, puliendo los detalles cuando las matrices tienen corrango igual a uno. Este capítulo es fruto de trabajo conjunto con Julian Pfeifle. En el Capítulo 3 sacamos provecho de una conexión entre el zonotopo y el politopo de Lawrence generado por una representación íntegra (con coeficientes enteros) de una matroide racional para probar relaciones entre varios polinomios asociados con ellos. Primero demostramos una relación entre el polinomio de Ehrhart del zonotopo y el numerador de la serie de Ehrhart del politopo de Lawrence. Al nivel de matroides aritméticas esta relación nos permite ver el numerador de la serie de Ehrhart del politopo de Lawrence como el análogo, para matroides aritméticas, del usual h-vector de la matroide. Después de demostrar el resultado mencionado, lo usamos para ofrecer una nueva interpretación de los coeficientes de una evaluación particular del polinomio aritmético de Tutte. Finalmente mostramos que el h-vector de la matroide y la serie de Ehrhart del politopo de Lawrence coinciden cuando la representación es unimodular. En el Capítulo 4 consideramos una nueva clase de matroides, cuyo orden interno las vuelve especialmente dispuestas para demostrar la conjetura de Stanley. Esta conjetura dice que para cualquier matroide existe un ideal de orden puro cuya O-secuencia coincide con el h-vector de la matroide. Damos un breve repaso de los resultados conocidos en la Sección 4.1 antes de enfocarnos en las matroides ordenadas y el orden interno en la Sección 4.2, donde también definimos las bases y matroides internamente perfectas. En la Sección 4.3 probamos resultados preliminares sobre bases internamente perfectas culminando en el Teorema 4.11, dónde mostramos que, suponiendo la veracidad de cierta afirmación, cualquier matroide perfecta satisface la conjetura de Stanley. Por otra parte, conjeturamos que esta afirmación, en efecto, es válida para todas las matroides internamente perfectas.

Nowadays large part of the time needed to perform a numerical simulation is spent in preprocessing, especially in the geometry cleaning operations and mesh generation. Furthermore, these operations are not easy to automatize because they depend strongly on each geometrical model and they often need human interaction. Many of these operations are needed to obtain a watertight geometry. Even with a clean geometry, classical unstructured meshing methods (like Delaunay or Advancing Front based ones) present critical weak points like the need of a given quality in the boundary mesh or a relatively smooth size transition. These aspects decrease their robustness and imply an extra effort in order to reach the final mesh. Octree based meshers try to relax some of these requirements. In the present work an octree based mesher for unstructured tetrahedra is presented. The proposed mesher ensures the mesh generation avoiding most of the geometry cleaning operations. It is based in the following steps: fit an octree onto the model, refine it following given criteria, apply a tetrahedra pattern to the octree cells and adapt the tetrahedra close to the contours in order to represent accurately the boundary shape. An important and innovative aspect of the proposed algorithm is it ensures the final mesh preserves the topology and the geometric features of the original model. The method uses a Ray Casting based algorithm for the identification of the inner and outer parts of the volumes involved in the model. This technique allows the mesh generation of volumes even with non-watertight boundaries, and also opens the use of the mesher for immersed methods only applying slight modifications to the algorithm. The main advantages of the presented mesher are: robustness, no need for watertight boundaries, independent on the contour mesh quality, preservation of geometrical features (corners and ridges), original geometric topology guaranteed, accurate representation of the contours, valid for immersed methods, and fast performance. A lot of time in the preprocessing part of the numerical simulation is saved thanks to the robustness of the mesher, which allows skipping most of the geometry cleaning operations. A shared memory parallel implementation of the algorithm has been done. The effectiveness of the algorithm and its implementation has been verified by some validation examples. / En l'actualitat gran part del temps emprat per córrer una simulació numèrica està dedicat al preprocés, especialment a les operacions de neteja de geometria i generació de malla. A més, aquestes operacions no són fàcils d'automatitzar degut a la seva forta dependència del model geomètric i sovint necessiten d’interacció humana. Moltes d'aquestes operacions són necessàries per aconseguir una definició topológicament hermètica de la geometria. Inclús amb una geometria neta, els mètodes clàssics de mallat (com els basats en Delaunay o avançament frontal) presenten punts febles crítics com la necessitat d'una certa qualitat de les malles de contorn o una transició de mides relativament suau. Aquests aspectes disminueixen la seva robustesa i impliquen un esforç extra a l'hora d'obtenir la malla final. Els mètodes de mallat basats en estructures octree relaxen alguns d'aquests requeriments. En aquest treball es presenta un mallador basat en octree per tetraedres no estructurats. Un dels aspectes claus d'aquest mallador és que garanteix la generació de malla evitant moltes de les operacions de neteja de geometria. Es basa en els següents passos: encaixar un octree al model, refinar-lo seguint certs criteris, aplicar un patró de tetraedres a les cel•les de l'octree i adaptar-los a les zones properes als contorns a fi i efecte de representar acuradament la forma del domini. Un aspecte important i innovador de l'algorisme proposat és que manté la topologia del model a la malla final i preserva les seves característiques geomètriques. El mètode presentat utilitza un algorisme basat en la tècnica Ray Casting per la identificació de les parts interiors i exteriors dels volums del model. Aquesta tècnica permet la generació de malla de volums inclús amb contorns que no tanquen hermèticament, i també obre l’ús del mallador a mètodes “immersed” aplicant només petites modificacions a l'algorisme. Els principals avantatges del mallador presentat són: robustesa, no necessitat de definicions hermètiques dels contorns, independent de la qualitat de la malla de contorn, preservació de característiques geomètriques (cantonades i arestes abruptes), topologia original de la geometria garantida, representació precisa dels contorns, vàlid per mètodes “immersed” i ràpid rendiment. L’ús del mallador estalvia molt de temps en la part del preprocés de la simulació numèrica gràcies a la seva robustesa que permet obviar la majoria d'operacions de neteja de geometria. S'ha dut a terme una implementació paral•lela amb memòria compartida de l'algorisme. L'efectivitat del mateix i la seva implementació ha estat verificada mitjançant exemples de validació.

Over the last few decades, data analysis has swiftly evolved from being a task addressed mainly within the remit of multivariate statistics, to an endevour in which data heterogeneity, complexity and even sheer size, driven by computational advances, call for alternative strategies, such as those provided by pattern recognition and machine learning. Any data analysis process aims to extract new knowledge from data. Knowledge extraction is not a trivial task and it is not limited to the generation of data models or the recognition of patterns. The use of machine learning techniques for multivariate data analysis should in fact aim to achieve a dual target: interpretability and good performance. At best, both aspects of this target should not conflict with each other. This gap between data modelling and knowledge extraction must be acknowledged, in the sense that we can only extract knowledge from models through a process of interpretation. Exploratory information visualization is becoming a very promising tool for interpretation. When exploring multivariate data through visualization, high data dimensionality can be a big constraint, and the use of dimensionality reduction techniques is often compulsory. The need to find flexible methods for data modelling has led to the development of non-linear dimensionality reduction techniques, and many state-of-the-art approaches of this type fall in the domain of probabilistic modelling. These non-linear techniques can provide a flexible data representation and a more faithful model of the observed data compared to the linear ones, but often at the expense of model interpretability, which has an impact in the model visualization results. In manifold learning non-linear dimensionality reduction methods, when a high-dimensional space is mapped onto a lower-dimensional one, the obtained embedded manifold is subject to local geometrical distortion induced by the non-linear mapping. This kind of distortion can often lead to misinterpretations of the data set structure and of the obtained patterns. It is important to give relevance to the problem of how to quantify and visualize the distortion itself in order to interpret data in a more faithful way. The research reported in this thesis focuses on the development of methods and techniques for explicitly reintroducing the local distortion created by non-linear dimensionality reduction models into the low-dimensional visualization of the data that they produce, as well as in the definition of metrics for probabilistic geometries to address this problem. We do not only provide methods only for static data, but also for multivariate time series. The reintegration of the quantified non-linear distortion into the visualization space of the analysed non-linear dimensionality reduction methods is a goal by itself, but we go beyond it and consider alternative adequate metrics for probabilistic manifold learning. For that, we study the role of \textit{Random geometries}, that is, distributions of manifolds, in machine learning and data analysis in general. Methods for the estimation of distributions of data-supporting Riemannian manifolds as well as algorithms for computing interpolants over distributions of manifolds are defined. Experimental results show that inference made according to the random Riemannian metric leads to a more faithful generation of unobserved data. / Durant les últimes dècades, l’anàlisi de dades ha evolucionat ràpidament de ser una tasca dirigida principalment dins de l’àmbit de l’estadística multivariant, a un endevour en el qual l’heterogeneïtat de les dades, la complexitat i la simple grandària, impulsats pels avanços computacionals, exigeixen estratègies alternatives, tals com les previstes en el Reconeixement de Formes i l’Aprenentatge Automàtic. Qualsevol procés d’anàlisi de dades té com a objectiu extreure nou coneixement a partir de les dades. L’extracció de coneixement no és una tasca trivial i no es limita a la generació de models de dades o el reconeixement de patrons. L’ús de tècniques d’aprenentatge automàtic per a l’anàlisi de dades multivariades, de fet, hauria de tractar d’aconseguir un objectiu doble: la interpretabilitat i un bon rendiment. En el millor dels casos els dos aspectes d’aquest objectiu no han d’entrar en conflicte entre sí. S’ha de reconèixer la bretxa entre el modelatge de dades i l’extracció de coneixement, en el sentit que només podem extreure coneixement a partir dels models a través d’un procés d’interpretació. L’exploració de la visualització d’informació s’està convertint en una eina molt prometedora per a la interpretació dels models. Quan s’exploren les dades multivariades a través de la visualització, la gran dimensionalitat de les dades pot ser un obstacle, i moltes vegades és obligatori l’ús de tècniques de reducció de dimensionalitat. La necessitat de trobar mètodes flexibles per al modelatge de dades ha portat al desenvolupament de tècniques de reducció de dimensionalitat no lineals. L’estat de l’art d’aquests enfocaments cau moltes vegades en el domini de la modelització probabilística. Aquestes tècniques no lineals poden proporcionar una representació de les dades flexible i un model de les dades més fidel comparades amb els models lineals, però moltes vegades a costa de la interpretabilitat del model, que té un impacte en els resultats de visualització. En els mètodes d’aprenentatge de varietats amb reducció de dimensionalitat no lineals, quan un espai d’alta dimensió es projecta sobre un altre de dimensió menor, la varietat immersa obtinguda està subjecta a una distorsió geomètrica local induïda per la funció no lineal. Aquest tipus de distorsió pot conduir a interpretacions errònies de l’estructura del conjunt de dades i dels patrons obtinguts. Per això, és important donar rellevància al problema de com quantificar i visualitzar aquesta distorsió en sí, amb la finalitat d’interpretar les dades d’una manera més fidel. La recerca presentada en aquesta tesi se centra en el desenvolupament de mètodes i tècniques per reintroduir de forma explícita a l’espai de visualització la distorsió local creada per la funció no lineal. Aquesta recerca se centra també en la definició de mètriques per a geometries probabilístiques per fer front al problema de la distorsió de la funció en els models de reducció de dimensionalitat no lineals. No proporcionem mètodes només per a les dades estàtiques, sinó també per a sèries temporals multivariades. La reintegració de la distorsió no lineal a l’espai de visualització dels mètodes de reducció de dimensionalitat no lineals analitzats és un objectiu en sí mateix, però aquesta anàlisi va més enllà i considera també les mètriques probabilístiques adequades a l’aprenentatge de varietats probabilístiques. Per això, estudiem el paper de les Geometries Aleatòries (distribucions de les varietats) en Aprenentatge Automàtic i anàlisi de dades en general. Es defineixen aquí els mètodes per a l’estimació de les distribucions de varietats de Riemann de suport a les dades, així com els algorismes per calcular interpolants en les distribucions de varietats. Els resultats experimentals mostren que la inferència feta segons les mètriques de les varietats Riemannianes Aleatòries dóna origen a una generació de les dades observades més fidel / Durant les últimes dècades, l'anàlisi de dades ha evolucionat ràpidament de ser una tasca dirigida principalment dins de l'àmbit de l'estadística multivariant, a un endevour en el qual l'heterogeneïtat de les dades, la complexitat i la simple grandària, impulsats pels avanços computacionals, exigeixen estratègies alternatives, tals com les previstes en el Reconeixement de Formes i l'Aprenentatge Automàtic. La recerca presentada en aquesta tesi se centra en el desenvolupament de mètodes i tècniques per reintroduir de forma explícita a l'espai de visualització la distorsió local creada per la funció no lineal. Aquesta recerca se centra també en la definició de mètriques per a geometries probabilístiques per fer front al problema de la distorsió de la funció en els models de reducció de dimensionalitat no lineals. No proporcionem mètodes només per a les dades estàtiques, sinó també per a sèries temporals multivariades. La reintegració de la distorsió no lineal a l'espai de visualització dels mètodes de reducció de dimensionalitat no lineals analitzats és un objectiu en sí mateix, però aquesta anàlisi va més enllà i considera també les mètriques probabilístiques adequades a l'aprenentatge de varietats probabilístiques. Per això, estudiem el paper de les Geometries Aleatòries (distribucions de les varietats) en Aprenentatge Automàtic i anàlisi de dades en general. Es defineixen aquí els mètodes per a l'estimació de les distribucions de varietats de Riemann de suport a les dades, així com els algorismes per calcular interpolants en les distribucions de varietats. Els resultats experimentals mostren que la inferència feta segons les mètriques de les varietats Riemannianes Aleatòries dóna origen a una generació de les dades observades més fidel. Qualsevol procés d'anàlisi de dades té com a objectiu extreure nou coneixement a partir de les dades. L'extracció de coneixement no és una tasca trivial i no es limita a la generació de models de dades o el reconeixement de patrons. L'ús de tècniques d'aprenentatge automàtic per a l'anàlisi de dades multivariades, de fet, hauria de tractar d'aconseguir un objectiu doble: la interpretabilitat i un bon rendiment. En el millor dels casos els dos aspectes d'aquest objectiu no han d'entrar en conflicte entre sí. S'ha de reconèixer la bretxa entre el modelatge de dades i l'extracció de coneixement, en el sentit que només podem extreure coneixement a partir dels models a través d'un procés d'interpretació. L'exploració de la visualització d'informació s'està convertint en una eina molt prometedora per a la interpretació dels models. Quan s'exploren les dades multivariades a través de la visualització, la gran dimensionalitat de les dades pot ser un obstacle, i moltes vegades és obligatori l'ús de tècniques de reducció de dimensionalitat. La necessitat de trobar mètodes flexibles per al modelatge de dades ha portat al desenvolupament de tècniques de reducció de dimensionalitat no lineals. L'estat de l'art d'aquests enfocaments cau moltes vegades en el domini de la modelització probabilística. Aquestes tècniques no lineals poden proporcionar una representació de les dades flexible i un model de les dades més fidel comparades amb els models lineals, però moltes vegades a costa de la interpretabilitat del model, que té un impacte en els resultats de visualització. En els mètodes d'aprenentatge de varietats amb reducció de dimensionalitat no lineals, quan un espai d'alta dimensió es projecta sobre un altre de dimensió menor, la varietat immersa obtinguda està subjecta a una distorsió geomètrica local induïda per la funció no lineal. Aquest tipus de distorsió pot conduir a interpretacions errònies de l'estructura del conjunt de dades i dels patrons obtinguts. Per això, és important donar rellevància al problema de com quantificar i visualitzar aquesta distorsió en sì, amb la finalitat d'interpretar les dades d'una manera més fidel.

This thesis shows an approach to geometric quantisation of integrable systems. It extends some results by Guillemin, Kostant, Rawnsley, Sniatycki and Sternberg in geometric quantisation, considering regular fibrations as real polarisations, to the singular setting: the real polarisations concerned here are given by integrable systems with nondegenerate singularities, and the definition of geometric quantisation used is the one suggested by Kostant (via higher cohomology groups). It also presents unifying proofs for results in geometric quantisation by exploring the existence of symplectic circle actions: the tools developed here highlight and unravel the role played by circle actions in known results in geometric quantisation. The originality of this thesis relies on the following aspects. Firstly, the use of symplectic circle actions to obtain results in geometric quantisation, and secondly, the nonexistence of Poincaré lemmata for foliated cohomology when the foliation has singularities. Previous results on circle actions, due to Rawnsley, could not be used when the circle action is not free, and it is not straightforward to adapt them to accommodate fixed points. After developing these techniques, the computation of geometric quantisation is performed in a series of situations, which includes: the cotangent bundle of the circle and products of it with any quantisable manifold, and neighbourhoods of nondegenerate singularities of integrable systems (hyperbolic singularities need special treatment, since there is no natural circle action). These computations imply that the Kostant complex is a fine resolution (for the sheaf of sections of the prequantum line bundle which are flat along the polarisation) when the real polarisations are given by integrable systems with nondegenerate singularities. It is important to mention that the proofs are original, since, contrary to expectations, there is no Poincaré Lemma when singularities are allowed for the foliated cohomology associated to foliations induced by integrable systems. This nontrivial result turns out to be interesting in its own right, but only the aspects related to geometric quantisation are presented in the thesis, e.g. the need for a new proof that the Kostant complex is a fine resolution for the sheaf of flat sections. The thesis also provides a different proof of a theorem, firstly proved by Guillemin and Sternberg, that shows that the set of regular Bohr-Sommerfeld fibres is discrete -it not only bares the role played by circle actions, it also excludes the compactness assumption from the theorem. The exploitation of circle actions culminate in an alternative proof for the theorems of Sniatycki and Hamilton. It is an original and unifying proof: the argument works for both situations, Lagrangian fibre bundles and locally toric manifolds. In addition, this approach casts some light on a conjecture about the contributions coming from focus-focus type of singularities. It actually proves that, in degree zero, there is no contribution to geometric quantisation coming from focus-focus fibres for compact 4-dimensional almost toric manifolds.

The present document exposes a different approach for haptic rendering, defined as the simulation of force interactions to reproduce the sensation of surface relief in dense models. Current research shows open issues in timely haptic interaction involving large meshes, with several problems affecting performance and fidelity, and without a dominant technique to treat these issues properly. Relying in pure geometric collisions when rendering highly dense mesh models (hundreds of thousands of triangles) sensibly degrades haptic rates due to the sheer number of collisions that must be tracked between the mesh's faces and a haptic probe. Several bottlenecks were identified in order to enhance haptic performance: software architecture and data structures, collision detection, and accurate rendering of surface relief. To account for overall software architecture and data structures, it was derived a complete component framework for transforming standalone VR applications into full-fledged multi-threaded Collaborative Virtual Reality Environments (CVREs), after characterizing existing implementations into a feature-rich superset. Enhancements include: a scalable arbitrated peer-to-peer topology for scene sharing; multi-threaded components for graphics rendering, user interaction and network communications; a collaborative user interface model for session handling; and interchangeable user roles with multi-camera perspectives, avatar awareness and shared annotations. We validate the framework by converting the existing ALICE VR Navigator into a complete CVRE, showing good performance in collaborative manipulation of complex models. To specifically address collision detection computation, we derive a conformal algebra treatment for collisions among points, segments, areas, and volumes, based on collision detection in conformal R{4,1} (5D) space, and implemented in GPU for faster parallel queries. Results show orders of magnitude time reductions in collisions computations, allowing interactive rates. Finally, the main core of the research is the haptic rendering of surface mesostructure in large meshes. Initially, a method for surface haptic rendering was proposed, using image-based Hybrid Rugosity Mesostructures (HRMs) of per-face heightfield displacements and normalmaps layered on top of a simpler mesh, adding greater surface detail than actually present. Haptic perception is achieved modulating the haptic probe's force response using the HRM coat. A usability testbed framework was built to measure experimental performance with a common set tests, meshes and HRMs. Trial results show the goodness of the proposed technique, rendering accurate 3D surface detail at high sampling rates. This local per-face method is extended into a fast global approach for haptic rendering, building a mesostructure-based atlas of depth/normal textures (HyRMA), computed out of surface differences of the same mesh object at two different resolutions: original and simplified. For each triangle in the simplified mesh, an irregular prism is considered defined by the triangle's vertices and their normals. This prism completely covers the original mesh relief over the triangle. Depth distances and surfaces normals within each prism are warped from object volume space to orthogonal tangent space, by means of a novel and fast method for computing barycentric coordinates at the prism, and storing normals and relief in a sorted atlas. Haptic rendering is effected by colliding the probe against the atlas, and effecting a modulated force response at the haptic probe. The method is validated numerically, statistically and perceptually in user testing controlled trials, achieving accurate haptic sensation of large meshes' fine features at interactive rendering rates, with some minute loss of mesostructure detail. / En aquesta tesi es presenta un novedós enfocament per a la percepció hàptica del relleu de models virtuals complexes mitjançant la simulació de les forces d'interacció entre la superfície i un element de contacte. La proposta contribueix a l'estat de l'art de la recerca en aquesta àrea incrementant l'eficiència i la fidelitat de la interacció hàptica amb grans malles de triangles. La detecció de col·lisions amb malles denses (centenars de milers de triangles) limita la velocitat de resposta hàptica degut al gran nombre d'avaluacions d'intersecció cara-dispositiu hàptic que s'han de realitzar. Es van identificar diferents alternatives per a incrementar el rendiment hàptic: arquitectures de software i estructures de dades específiques, algorismes de detecció de col·lisions i reproducció hàptica de relleu superficial. En aquesta tesi es presenten contribucions en alguns d'aquests aspectes. S'ha proposat una estructura completa de components per a transformar aplicacions de Realitat Virtual en Ambients Col·laboratius de Realitat Virtual (CRVEs) multithread en xarxa. L'arquitectura proposada inclou: una topologia escalable punt a punt per a compartir escenes; components multithread per a visualització gràfica, interacció amb usuaris i comunicació en xarxa; un model d'interfície d'usuari col·laboratiu per a la gestió de sessions; i rols intercanviables de l'usuari amb perspectives de múltiples càmeres, presència d'avatars i anotacions compartides. L'estructura s'ha validat convertint el navegador ALICE en un CVRE completament funcional, mostrant un bon rendiment en la manipulació col·laborativa de models complexes. Per a incrementar l'eficiència del càlcul de col·lisions, s'ha proposat un algorisme que treballa en un espai conforme R{4,1} (5D) que permet detectar col·lisions entre punts, segments, triangles i volums. Aquest algorisme s'ha implementat en GPU per obtenir una execució paral·lela més ràpida. Els resultats mostren reduccions en el temps de càlcul de col·lisions permetent interactivitat. Per a la percepció hàptica de malles complexes que modelen objectes rugosos, s'han proposat diferents algorismes i estructures de dades. Les denominades Mesoestructures Híbrides de Rugositat (HRM) permeten substituir els detalls geomètrics d'una cara (rugositats) per dues textures: de normals i d'alçades. La percepció hàptica s'aconsegueix modulant la força de resposta entre el dispositiu hàptic i la HRM. Els tests per avaluar experimentalment l'eficiència del càlcul de col·lisions i la percepció hàptica utilitzant HRM respecte a modelar les rugositats amb geometria, van mostrar que la tècnica proposada va ser encertada, permetent percebre detalls 3D correctes a altes tases de mostreig. El mètode es va estendre per a representar rugositats d'objectes. Es proposa substituir l'objecte per un model simplificat i un atles de mesoestructures en el que s'usen textures de normals i de relleus (HyRMA). Aquest atles s'obté a partir de la diferència en el detall de la superfície entre dos malles del mateix objecte: l'original i la simplificada. A partir d'un triangle de la malla simplificada es construeix un prisma, definit pels vèrtexs del triangle i les seves normals, que engloba el relleu de la malla original sobre el triangle. Les alçades i normals dins del prisma es transformen des de l'espai de volum a l'espai ortogonal tangent, amb mètode novedós i eficient que calcula les coordenades baricèntriques relatives al prisma, per a guardar el mapa de textures transformat en un atles ordenat. La percepció hàptica s'assoleix detectant les col·lisions entre el dispositiu hàptic i l'atles, i modulant la força de resposta d'acord al resultat de la col·lisió. El mètode s'ha validat numèricament, estadística i perceptual en tests amb usuaris, aconseguint una correcta i interactiva sensació tàctil dels objectes simulats mitjançant la mesoestructura de les malles / En esta tesis se presenta un enfoque novedoso para la percepción háptica del relieve de modelos virtuales complejos mediante la simulación de las fuerzas de interacción entre la superficie y un elemento de contacto. La propuesta contribuye al estado del arte de investigación en este área incrementando la eficiencia y fidelidad de interacción háptica con grandes mallas de triángulos. La detección de colisiones con mallas geométricas densas (cientos de miles de triángulos) limita la velocidad de respuesta háptica debido al elevado número de evaluaciones de intersección cara-dispositivo háptico que deben realizarse. Se identificaron diferentes alternativas para incrementar el rendimiento háptico: arquitecturas de software y estructuras de datos específicas, algoritmos de detección de colisiones y reproducción háptica de relieve superficial. En esta tesis se presentan contribuciones en algunos de estos aspectos. Se ha propuesto una estructura completa de componentes para transformar aplicaciones aisladas de Realidad Virtual en Ambientes Colaborativos de Realidad Virtual (CRVEs) multithread en red. La arquitectura propuesta incluye: una topología escalable punto a punto para compartir escenas; componentes multithread para visualización gráfica, interacción con usuarios y comunicación en red; un modelo de interfaz de usuario colaborativo para la gestión de sesiones; y roles intercambiables del usuario con perspectivas de múltiples cámaras, presencia de avatares y anotaciones compartidas. La estructura se ha validado convirtiendo el navegador ALICE en un CVRE completamente funcional, mostrando un buen rendimiento en la manipulación colaborativa de modelos complejos. Para incrementar la eficiencia del cálculo de colisiones, se ha propuesto un algoritmo que trabaja en un espacio conforme R4,1 (5D) que permite detectar colisiones entre puntos, segmentos, triángulos y volúmenes. Este algoritmo se ha implementado en GPU a efectos de obtener una ejecución paralelamás rápida. Los resultadosmuestran reducciones en el tiempo de cálculo de colisiones permitiendo respuesta interactiva. Para la percepción háptica de mallas complejas que modelan objetos rugosos, se han propuesto diferentes algoritmos y estructuras de datos. Las denominadasMesoestructuras Híbridas de Rugosidad (HRM) permiten substituir los detalles geométricos de una cara (rugosidades) por una textura de normales y otra de alturas. La percepción háptica se consigue modulando la fuerza de respuesta entre el dispositivo háptico y la HRM. Los tests realizados para evaluar experimentalmente la eficiencia del cálculo de colisiones y la percepción háptica utilizando HRM respecto a modelar las rugosidades con geometría, mostraron que la técnica propuesta fue acertada, permitiendo percibir detalles 3D correctos a altas tasas de muestreo. Este método anterior es extendido a un procedimiento global para representar rugosidades de objetos. Para hacerlo se propone sustituir el objeto por un modelo simplificado y un atlas de mesostructuras usando texturas de normales y relieves (HyRMA). Este atlas se obtiene de la diferencia en detalle de superficie entre dos mallas del mismo objeto: la original y la simplificada. A partir de un triángulo de la malla simplificada se construye un prisma definido por los vértices del triángulo a lo largo de sus normales, que engloba completamente el relieve de la malla original sobre este triángulo. Las alturas y normales dentro de cada prisma se transforman del espacio de volumen al espacio ortoganal tangente, usando un método novedoso y eficiente que calcula las coordenadas baricéntricas relativas a cada prisma para guardar el mapa de texturas transformado en un atlas ordenado. La percepción háptica se consigue detectando directamente las colisiones entre el dispositivo háptico y el atlas, y modulando la fuerza de respuesta de acuerdo al resultado de la colisión. El procedmiento se ha validado numérica, estadística y perceptualmente en ensayos con usuarios, consiguiendo a tasas interactivas la correcta sensación táctil de los objetos simulados mediante la mesoestructura de las mallas, con alguna pérdida muy puntual de detalle

Based on the study and analysis of existing buildings, and using three-dimensional modeling software, we can understand and thus explain the main mechanisms for historic buildings design and construction, making them understandable to non-specialist audiences. Knowledge of CAD softwares devices allow us a deeper study of the development of mechanisms that describe the building before constructing it or when we have to rebuild them into their original state if they have been destroyed or partially sunk. The thesis explores these resources from various examples from Antoni Gaudí works, Catalonia's most influent architect, with special emphasis on the geometry and the form that defines it. The level of expertise achieved and the constant process of training gives us the capacity to transmit (to future generations) resources in order to achieve with judgment and utmost accurary the necessary documentation to be good professionals in the field of design,engineering and architecture. / A partir de l'estudi i anàlisi d'edificis existents ,i utilitzant el modelat tridimensional hom pot entendre i per tant explicar, els principals mecanismes de disseny i construcció d'edificis històrics fent-los comprensibles a públics no especialitzats. El coneixement de les eines que ens ofereixen avui els softwares de CAD permeten aprofundir molt en el desenvolupament de mecanismes descriptius de l'edifici, abans de construir-los o tornant-los al seu estat originari si han sigut enfonsats o parcialment enfonsats. La tesi aprofundeix en aquests recursos a partir de diversos exemples, obres d'Antoni Gaudí, arquitecte referent a Catalunya, incidint especialment en la geometria i en la forma que els defineix. El grau d'expertesa assolit i el constant procés de formació ens doten de capacitat per transmetre (a futures generacions) recursos per tal d'assolir amb criteri i rigor la documentació necessària pera ser bons professionals en el camp del disseny, l'enginyeria i l'arquitectura.

La Tesis Doctoral está dedicada, por un lado, al estudio de desigualdades de tipo Brunn-Minkowski, especialmente cuando se trabaja con hipótesis sobre proyecciones/secciones, y, por otro lado, al estudio de las raíces de polinomios geométricos que surgen de una generalización del denominado funcional de Wills. En medio, nos encontraríamos las salchichas, las cuales resultan ser, salvo cuerpos convexos degenerados, la familia de los ‘conjuntos extremales’ en relación a algunas mejoras lineales de desigualdades tales como la desigualdad de Brunn-Minkowski o la primera desigualdad de Minkowski (y por tanto también de las desigualdades isoperimétrica y de Uryshon). Además esta familia de cuerpos convexos está ampliamente relacionada con algunos problemas relativos al polinomio de Steiner. Comenzamos estableciendo las nociones básicas que se necesitarán en un desarrollo posterior. A continuación, estudiamos mejoras de la desigualdad de Brunn-Minkowski, en el sentido de ‘refinar’ el exponente 1/n, cuando se asume que los cuerpos comparten una proyección común sobre un (n-k)-plano, por un lado, y para familias de cuerpos particulares, por el otro. En el tercer capítulo, abordamos el caso de igualdad en la versión lineal de la desigualdad de Brunn-Minkowski; nuestro enfoque subyace en (el estudio de) una posible caracterización de la linealidad del volumen a través de salchichas. En el último capítulo, investigamos las raíces de una familia de polinomios geométricos de cuerpos convexos asociados a una medida dada en la semirrecta real no-negativa, que surgen de una generalización natural del funcional de Wills. / The Doctoral Dissertation is devoted, on the one hand, to the study of Brunn-Minkowski's type inequalities, especially when working with projections/sections assumptions, and, on the other hand, to the study of the roots of geometric polynomials which arise from a generalization of the so-called Wills functional. In the middle, we would find sausages, which turn out to be, up to degenerated convex bodies, the family of ‘extremal sets’ in relation to some linear improvements of inequalities such as Brunn-Minkowski's inequality or Minkowski's first inequality (and thus also the isoperimetric and Urysohn's inequalities). Furthermore, this family of convex bodies is strongly connected to some problems relative to the Steiner polynomial. We start establishing the basic notions that will be needed further on. Next, we study refinements of the Brunn-Minkowski inequality, in the sense of ‘enhancing’ the exponent 1/n, when assuming that the bodies share a common projection onto an (n-k)-plane on the one hand, and for particular families of bodies on the other hand. In the third chapter, we deal with the equality case in the linear version of Brunn-Minkowski’s inequality; our approach relies on (the study of) a possible characterization of the linearity of the volume through sausages. In the last chapter, we investigate the roots of a family of geometric polynomials of convex bodies associated to a given measure on the non-negative real line, which arise from a natural generalization of the Wills functional.

No description available.

No description available.