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Transforms are widely used in diverse applications of science, engineering and technology. In particular, the field of digital signal processing has grown rapidly and achieved their performance through the development of fast algorithms for computing discrete transforms. This thesis focuses on the computation, generalisation and applications of four commonly used transforms, namely the new Mersenne number transform (NMNT), the discrete Fourier transform (DFT), the discreet Hartley transform (DHT), and the Walsh-Hadamard transform (WHT). As a result, several new algorithms are developed and two number theoretic transforms (NTTs) are introduced. The NMNT has been proved to be an important transform as it is utilised for error- free calculation of convolution and correlation with long transform lengths. In this thesis, new algorithms for the fast calculation of the NMNT based on the Rader- Brenner approach are developed, where the transform's structure is enhanced and the lowest multiplicative complexity among all existing NMNT algorithms is achieved. Two new NTTs defined modulo the Mersenne primes, named odd NMNT (ONMNT) and odd-squared NMNT (02NMNT), are introduced for incorporation into generalised NMNT (GNMNT) transforms which are categorised by type, with detailed instructions regarding their derivations. Development of their radix-2 and split radix algorithms, along with an example of the calculation of different types of convolutions, shows that these new transforms are suitable for wide range of applications. In order to take advantage of the simplest structural complexity provided by the radix-2 algorithm and the reduced computational complexity offered by a higher radix algorithm, a technique suitable for combining these two algorithms has been proposed, producing new fast Fourier transform (FFT) algorithms known as radix-Z' FFTs. In this thesis, a general decomposition method for developing these algorithms is introduced based on the decimation in time approach, applicable to one and multidimensional FFTs. The DHT has been proposed as an efficient alternative to the DFT for real data applications, because it is a real-to-real transform and possesses similar properties as the DFT. Based on the relationship between the DHT and complex-valued OFT, a unified 'FFT to FHT transition approach' is presented, providing a translation of FFT algorithms into their fast Hartley transform (FHT) counterparts. Using this approach, many new FHT algorithms in one and multidimensional cases are obtained. Finally, the combination of the WHT with the DFT has been proved to be a good candidate for improving the performances of orthogonal frequency division multiplexing (OFDM) systems. Therefore, part of this thesis deals with the Walsh- Hadamard-Fourier transform (WFT) that combines these transforms into a single orthogonal transform. Development of fast WFT (FWFT) algorithms has shown a significant reduction in the number of arithmetic operations and computer run times.

Οι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία των μαθηματικών. Για σχεδόν πάνω από δυο αιώνες, οι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται επιτυχώς για την επίλυση πολλών προβλημάτων στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, τη μαθηματική φυσική και τις επιστήμες των μηχανικών. Η βασική λογική τους είναι να μετασχηματιστεί ένα δύσκολο πρόβλημα σε ένα πιο απλό, να λυθεί και μετά, χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό, να βρεθεί η λύση του αρχικού προβλήματος. Οι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί χρησιμοποιούνται για την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ.Δ.Ε), διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους (Μ.Δ.Ε), ολοκληρωτικών εξισώσεων όπως επίσης και στον υπολογισμό ολοκληρωμάτων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία παρουσιάζουμε πέντε ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς: τον μετασχηματισμό Laplace, Fourier, Hankel, Hilbert και Stieltjes και αφού παρουσιάσουμε κάποια ιστορικά στοιχεία και τις ιδιότητές του για τον κάθε ένα ξεχωριστά, εν συνεχεία, δίνουμε διάφορα παραδείγματα εφαρμογής τους σε διάφορους τομείς των θετικών επιστημών, τόσο σε κλασικά προβλήματα όσο και σε προβλήματα που έχουν ‘αντληθεί’ από ερευνητικές εργασίες. / Integral transforms are one of the most significant tools at the disposal of mathematicians around the world. For almost two centuries now, integral transforms have been successfully deployed in various domains such as applied mathematics, physics and engineering. The main logic behind integral transforms is the transformation of a complicated problem into a much simpler one, the solution of the simpler version, and finally the application of the inverse transform in order to obtain the solution of the initial "complicated" one. Integral transforms are mainly used for solving ordinary differential equations (ODE), partial differential equations (PDE) and integral equations. However, they are also used in the computation of improper integrals. In the current Thesis, five major integral transforms will be presented, namely, Laplace, Fourier, Hankel, Hilbert and Stieltjes. Initially we will start by providing the historical background as well as the properties of each one of these integral transforms. We will then continue by discussing some practical examples of how these integral transforms may be applied in sciences – not just for solving widely discussed and known problems, but also for problems that have emerged from recent research studies.

De nos jours, les centrales nucléaires produisent de l'énergie par des réactions de fission (division d'un noyau atomique lourd en plusieurs noyaux atomiques légers et neutrons). Une alternative serait d'utiliser plutôt la réaction de fusion de noyaux légers de deutérium et de tritium, isotopes de l'hydrogène. Toutefois, cette technique reste encore du domaine de la recherche en physique des plasmas. Les expériences effectuées dans ce domaine ont révélé que les réacteurs à configuration magnétique toroïdale, dite tokamak, sont les plus efficaces. Un mélange gazeux d'isotopes de l'hydrogène appelé plasma est confiné grâce à un champ magnétique produit par des bobines. Ce plasma doit être chauffé à une température très élevée afin que les réactions de fusion aboutissent. De même, un courant intense doit être maintenu dans le plasma afin d'obtenir une configuration magnétique qui permet de le confiner. Une des méthodes les plus attrayantes parmi les techniques connues pour générer du courant est basée sur l'injection d'ondes électromagnétiques dans le plasma à la fréquence proche de la résonance hybride. Cette méthode offre la possibilité de contrôler le profil de densité dans le plasma. Une analyse de type Full-Wave permet alors de modéliser la propagation et l'absorption de l'onde hybride à partir des équations de Maxwell. Le but de cette thèse est de développer une méthode numérique pour cette simulation Full-Wave. Le chapitre 2 présente les équations de propagation d'ondes en mettant en évidence les caractères physiques du plasma. Une approche variationnelle de type mixte augmentée est développée et une analyse mathématique de cette dernière est effectuée dans le chapitre 3. Dans le contexte de la géométrie d'un tokamak, le problème Full-Wave dépendant de trois paramètres peut être réduit en une série de problèmes à deux variables à l'aide de la transformation de Fourier, ce sera l'objet du chapitre 4. Dans le chapitre 5, la formulation variationnelle obtenue à partir du problème mode par mode est discrétisée en utilisant des éléments finis nodaux de type Taylor-Hood. Le chapitre 6 concerne les méthodes de résolution du système linéaire après discrétisation. À l'aide de différents diagnostics physiques présentés dans le chapitre 7, des résultats de la simulation Full-Wave obtenues à partir d'un code MATLAB sont présentées dans le chapitre 8. Enfin, dans le but de développer une version parallèle de la simulation, le chapitre 9 est consacré à une méthode de décomposition de domaine sans recouvrement associé au système Full-Wave. / In order to generate current in tokamak, we look at plasma heating by electromagnetic waves at the lower hybrid (LH) frequency. For this type of description, one use a ray tracing code but we consider a full-wave one, where dielectric properties are local.Our aim is to develop a finite element numerical method for the full-wave modeling and to apply a domain decomposition method. In this thesis, we have developped a finite element method in a cross section of the tokamak for Maxwell equations solving the time harmonic electric field and a nonoverlapping domain decom- position method for the mixed augmented variational formulation by taking continuity accross the interfaces as constraints