In this thesis we use techniques from algebraic geometry and homological algebra, together with ideas from string theory to construct a class of 3-dimensional Calabi-Yau algebras. The Calabi-Yau property appears throughout geometry and string theory and is increasingly being studied in algebra. Dimer models, first studied in theoretical physics, give a way of writing down a class of non-commutative algebras, as the path algebra of a quiver with relations obtained from a 'superpotential'. Some examples are Calabi-Yau and some are not. We consider two types of 'consistency' condition on dimer models, and show that a 'geometrically consistent' dimer model is 'algebraically consistent'. Finally we prove that the algebras obtained from algebraically consistent dimer models are 3-dimensional Calabi-Yau algebras.

The study of the derived category of coherent sheaves of Calabi-Yau varieties is an active area of research and of interest to mathematicians and physicists alike. One aspect of particular interest is the set of stability conditions, which is known to be a complex manifold. A stability condition is equivalent to a bounded t-structure with a centered stability-function on its heart with the Haxder-Narasimhan property. Studying the set of t-structures gives global information on the space of stability conditions.

This thesis looks into the holonomy algebras of Tractor/Cartan connections for both projective and conformal structures. Using a splitting formula and a cone construction in the Einstein case, it classifies all reductive, non-irreducible holonomy groups for conformal structures (thus fully solving the question in the definite signature case). The thesis then analyses the geometric consequences of of holonomy reduction for the projective Tractor connection. A general, Ricci-flat, cone construction pertains in the projective case, and this thesis fully classifies the irreducibly acting holonomy algebras by analysing which holonomy families admit a torsion-free Ricci-flat affine connection, and constructing cones with these properties.

L'étude de la fibration de Milnor prend une place très importante dans la Théorie des Singularités. Pour les polynômes holomorphes, on avait déjà beaucoup de résultats montrés par plusieurs spécialistes. Cependant la fibration de Milnor n'existe pas en général pour une application polynomiale. Dans cette thèse on s'intéresse aux propriétés des polynômes mixtes introduits par Oka, qui sont des polynômes C^n → C de variables complexes et leurs conjugées. En utilisant une condition de régularité à l'infini, on montre un théorème de fibration globale qui implique que l'ensemble de bifurcation pour un polynôme mixte est inclus dans un ensemble semi-algébrique fermé de dimension réelle inférieure ou égale à un. En particulier, on définit le polyèdre de Newton à l'infini pour un polynôme mixte et on étudie deux conditions de non-dégénéréscence à l'infini par rapport à ce polyèdre. Il s'avère que les deux conditions de "non-dégénéré" sont semi-algébriques ouvertes, et que la condition de "fortement non-dégénéré" n'est pas dense, donc non-connexe. Avec notre construction on généralise un théorème de Néméthi et Zaharia qui donne une approximation de l'ensemble de bifurcation pour un polynôme mixte non-dégénéré. On prouve la stabilité de la monodromie pour une famille de polynômes mixtes fortement non-dégénérés en supposant l'invariance des polyèdres de Newton. On établit aussi l'analogue à l'infini du théorème local d'Oka sur l'existence de la fibration de Milnor. Ceci étend considérablement des résultats dans le cas holomorphe.Enfin, on introduit une nouvelle définition de "non-dégénéré" pour des applications polynomiales mixtes et on trouve une extension du théorème de Bivia-Ausina en rapport avec la conjecture Jacobienne. / The study of the Milnor fibration plays an important role in Singularity Theory. In the holomorphic case there are plenty of results proved by many specialists. However, the Milnor fibration does not always exist for a polynomial application. In this thesis, we focus on the properties of mixed polynomials introduced by Oka which are in fact polynomials C^n → C of complex variables and their conjugates. By using a regularity condition at infinity, we prove a global fibration theorem which implies that the bifurcation set for a mixed polynomial is included in a semi-algebraic closed set of real dimension strictly less than two. In particular, we define the Newton polyhedron at infinity for a mixed polynomial and study two types of non-degenerate conditions at infinity with respect to this polyhedron. It turns out that these two non-degenerate conditions are semi-algebraic and open, and that the "strongly non-degenerat"e condition is neither dense nor connected. By our construction, we generalise the Néméthi and Zaharia's theorem which gives an approximation of the bifurcation set for a non- degenerate mixed polynomial. In addition, we show the stability of the monodromy in a family of strongly non-degenerate mixed polynomials supposing that their Newton polyhedron at infinity is constant. We also set up a global analogue at infinity of Oka's theorem on the existence of Milnor fibration which extends some results in the holomorphic case. In the end, we introduce a new definition of non-degenerate condition for mixed polynomial applications and find an extension of Bivia-Ausina's theorem which relates to the Jacobian conjecture.

Soit f:K^n-->K^p une application semi-algébrique de classe C^2 pour K=R, ou une application polynomiale pour K=C. Il est bien connu que f est une fibration localement triviale sur le complémentaire des valeurs de bifurcation B(f). Dans ce travail nous considérons la t-régularité et la rho-régularité dans l'étude de B(f). Nous démontrons que t-régularité est équivalent aux conditions de Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro, Simon (2000) et Jelonek (2003). On démontre que t-régularité implique rho-régularité. Avec la rho-régularité, on démontre un théorème de structure pour l'ensemble des valeurs non rho-régulières S(f). On démontre aussi que B(f) est inclus dans A_{rho}, où A_{rho} est l'union de f(Sing f) et S(f). Nous étudions aussi deux classes d'applications: les applications fair et les applications Newton non-dégénérées. Pour les fair, on obtient une interprétation de la t-régularité en termes de la clôture intégrale des modules, ce que étende le résultat de Gaffney (1999). Pour les Newton non dégénérées, nous obtenons une approximation de B(f), ce qui étende le résultat de Némethi et Zaharia (1990) et celui de Chen et Tibar (2012). Dans la dernière partie, on discute quelques conséquences:1).la t-régularité pour f:X --> K^p, où X est une variété lisse; 2).le problème de bijectivité des applications; 3).une formule pour calculer la caractéristique d'Euler des fibres régulières de f: R^n-->R^{n-1}. Les résultats présentés brièvement ci-dessus généralisent aussi certains résultats de Némethi et Zaharia (1990), Siersma et Tibar (1995), Paunescu et Zaharia (1997), Parusinski (1995) et Tibar (1998). / Let f:K^n-->K^p be a C^2 semi-algebraic mapping for K=R and a polynomial mapping for K=C. It is well-known that f is a locally trivial topological fibration over the complement of the bifurcation set B(f). In this work, we consider the t-regularity and rho-regularity to study B(f). We show that t-regularity is equivalent to regularity conditions of Rabier (1997), Gaffney (1999), Kurdyka, Orro, Simon (2000) and Jelonek (2003). We prove that t-regularity implies rho-regularity. From rho-regularity, we define the set of non rho-regular values S(f), and the set A_{rho}, which is the union of f(Sing f) and S(f). We prove a structure theorem for S(f) and A_{rho}. We also obtain that B(f) is contained in A_{rho}. We study also two classes of maps, the fair maps and the Newton non-degenerate maps. For fair maps, we give an interpretation of t-regularity in terms of integral closure of modules, which is a real counterpart of Gaffney's result (1999). For non-degenerate maps, we obtain an approximation for B(f) through a set which depends on the Newton polyhedron of f (results like this have been obtained by Némethi and Zaharia (1990) and by Chen and Tibar (2012)). To finish, we discuss some consequences of our work: the t-regularity for maps f: X-->K^p, where X is a smooth affine variety; the problem of bijectivity of semi-algebraic maps; and a formula to compute the Euler characteristic of regular fibers of f:R^n-->R^{n-1}. The above results are also extensions of some results obtained, for polynomial functions f:K^n-->K, by Némethi and Zaharia (1990), Siersma and Tibar (1995), Paunescu and Zaharia (1997), Parusinski (1995) and Tibar (1998).

La thèse présente une construction de variétés holomorphiquement symplectiques singulières comme fibrations lagrangiennes. Celles-ci sont des variétés de Prym compactifiées relatives associées aux courbes sur des surfaces symplectiques avec une involution antisymplectique. Elles sont identifiées au lieu fixe d'une involution symplectique sur des espaces de modules de faisceaux de dimension 1. Un exemple explicite d'une variété symplectique irréductible de dimension 6 singulière et sans résolution symplectique est décrit pour une surface K3 qui est un revêtement double d'une surface cubique. Pour surfaces abéliennes, une variation de la construction est étudiée pour obtenir des variétés symplectiques irréductibles: variétés 0-Prym compactifiées relatives. Un résultat partiel est obtenu pour involutions sans points fixes: soit la variété 0-Prym est birationnelle à une variété symplectique irréductible de K3[n]-type, soit elle n'admet pas de résolutions symplectiques. / The thesis presents a construction of singular holomorphically symplectic varieties as Lagrangian fibrations. They are relative compactified Prym varieties associated to curves on symplectic surfaces with an antisymplectic involution. They are identified with the fixed locus of a symplectic involution on singular moduli spaces of sheaves of dimension 1. An explicit example, giving a singular irreducible symplectic 6-fold without symplectic resolutions, is described for a K3 surface which is the double cover of a cubic surface. In the case of abelian surfaces, a variation of this construction is studied to get irreducible symplectic varieties: relative compactified 0-Prym varieties. A partial classification result is obtained for involutions without fixed points: either the 0-Prym variety is birational to an irreducible symplectic variety of K3[n]-type, or it does not admit symplectic resolutions.

L'objet de cette thèse est d'étudier la géométrie des immeubles à angles droits. Ces espaces, définis par J. Tits sont des espaces singuliers qui peuvent être vus comme des généralisations des arbres en dimension supérieure. La thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous décrivons comment la notion de résidus parallèles permet de comprendre l'action d'un groupe sur un immeuble. En corollaire nous retrouvons que dans un groupe de Coxeter et dans un produit graphé les intersections de sous-groupes paraboliques sont paraboliques. Dans la seconde partie, nous abordons la structure quasi-conforme du bord des immeubles hyperboliques à angles droits. En particulier, nous trouvons des exemples d'immeubles de dimension 3 et 4 dont le bord vérifie la propriété combinatoire de Loewner. Cette propriété est une version faible de la propriété de Loewner. Cette partie est motivée par le fait que, depuis G.D. Mostow, la structure quasi-conforme au bord a mené à plusieurs résultats de rigidités dans les espaces hyperboliques. Dans le cas des immeubles de dimension 2, M. Bourdon et H. Pajot ont prouvé la rigidité des quasi-isométries en utilisant la propriété de Loewner au bord. / The object of this thesis is to study the geometry of right-angled buildings. These spaces, defined by J. Tits, are singular spaces that can be seen as trees of higher dimension. The thesis is divided in two parts. In the first part, we describe how the notion of parallel residues allows to understand the action of a group on the building. As a corollary we recover that in Coxeter groups and in graph products intersections of parabolic subgroups are parabolic. In the second part, we discuss the quasiconformal structure of boundaries of right-angled hyperbolic buildings thanks to combinatorial tools. In particular, we exhibit some examples of buildings of dimension 3 and 4 whose boundary satisfy the combinatorial Loewner property. This property is a weak version of the Loewner property. This part is motivated by the fact that the quasiconformal structure of the boundary led to many results of rigidity in hyperbolic spaces since G.D. Mostow. In the case of buildings of dimension 2, many works have been done by M. Bourdon and H. Pajot. In particular, the Loewner property on the boundary permitted them to prove the quasi-isometry rigidity for some buildings of dimension 2.

The topic of this thesis is the moduli theory of (parabolic) sheaves on stable curves. Using geometric invariant theory (GIT), universal moduli spaces of semistable parabolic sheaves on stable marked curves are constructed: `universal' indicates that these are moduli spaces of pairs where the underlying marked curve may vary as well as the parabolic sheaf (as in the Pandharipande moduli space for pairs of stable curves and torsion-free sheaves without augmentations). As an intermediate step in this construction, we construct moduli spaces of semistable parabolic sheaves on flat families of arbitrary projective schemes (of any dimension or singularity type): this is the technical core of this thesis. These moduli spaces are projective, since they are constructed as GIT quotients of projective parameter spaces. The stability condition for parabolic sheaves depends on a choice of polarisation and is derived from the Hilbert-Mumford criterion. It is not quite the same as traditional stability with respect to parabolic Hilbert polynomials, but it is closely related to it, and the resulting moduli spaces are always compactifications of moduli of slope-stable parabolic sheaves. The construction works over algebraically closed fields of arbitrary characteristic.

On montre que la variété de Hecke associée aux formes de Hilbert sur un corps totalement réel F est lisse aux points correspondant à certaines séries thêta de poids 1 et on donne aussi un critère pour que le morphisme de poids soit étale en ces points. Lorsque les séries thêta sont à multiplication réelle, on construit des formes surconvergentes propres généralisée qui ne sont pas classiques et l'on exprime leurs coefficients de Fourier à l'aide de logarithmes p-adiques de nombres algébriques. Si F = Q, on complète les résultats de Bellaïche-Dimitrov aux points où la courbe de Coleman-Mazur est lisse mais pas étale au-dessus de l'espace des poids en donnant un critère précis pour que l'indice de ramification soit égale à 2. Notre approche utilise la théorie des déformations et pseudo-déformations galoisiennes. / We show that the Eigenvariety attached to Hilbert modular forms over a totally real field F is smooth at the points corresponding to certain classical weight one theta series and we give a precise criterion for etaleness over the weight space at those points. In the case where the theta series has real multiplication, we construct a non-classical overconvergent generalised eigenform and compute its Fourier coefficient in terms of p-adic logarithms of algebraic numbers. When F = Q, we complete the work of Bellaïche-Dimitrov at the points where the Eigencurve is smooth but not etale over the weight space by giving a precise criterion for the ramication index to be 2. Our approach uses deformations and pseudo-deformations of Galois representations.

Cette thèse est consacrée à l'étude des fibres de l'application moment du système de Mumford (pair ou impair) d'ordre g>0. Ces fibres sont paramétrées par des courbes hyperelliptiques de genre g. Comme l'a démontré Mumford, la fibre au-dessus d'une telle courbe lisse est la jacobienne de la courbe, moins son diviseur thêta. Nous décrivons les fibres au-dessus d'une courbe singulière, à la fois de manière algébrique et géométrique. Pour ce faire, nous utilisons de façon essentielle les g champs de vecteurs du système de Mumford, qui définissent une stratification de chaque fibre, où chaque strate est isomorphe à une strate particulière (dite maximale) d'une fibre d'un système de Mumford d'ordre inférieur. Sur cette strate, tous les champs de vecteurs du système de Mumford sont linéairement indépendants en tout point. Nous décrivons cette strate comme un ouvert de la jacobienne généralisée d'une courbe hyperelliptique singulière. Nous montrons également que sur la jacobienne généralisée, les champs de Mumford sont des champs invariants par translation. / This thesis is dedicated to the study and to the description of the fibres of the momentum map of the (even or odd) Mumford system of degree g>0. These fibres are parameterized by hyperelliptic curves. Mumford proved that each fiber over a smooth curve is isomorphic to the Jacobian of the curve, minus its theta divisor. We give a geometrical as well as an algebraic description of the fibers over any singular curve. The geometrical description uses in an essential way the g vector field of the Mumford system. They define a stratification of each fiber where each stratum is isomorphic to a particular stratum, called the maximal stratum, of a fiber of a Mumford system of degree at most g. The algebraic description uses the theory of subresultants, which is applied to the polynomials which parametrize the points of phase space. We show that every stratum is isomorphic with an affine part of the generalized Jacobian of a singular hyperelliptic curve. We also prove that the Mumford vector fields are translation invariant on these generalized Jacobians.