Le mouvement brownien fractionnaire (mbf) constitue un important outil de modélisation utilisé dans plusieurs domaines (biologie, économie, finance, géologie, hydrologie, télécommunications, etc.) ; toutefois, ce modèle ne parvient pas toujours à donner une description suffisamment fidèle de la réalité, à cause, entre autres, des deux limitations suivantes : d’une part le mbf est un processus gaussien, et d’autre part, sa rugosité locale (mesurée par un exposant de Hölder) reste la même tout le long de sa trajectoire, puisque cette rugosité est partout égale au paramètre de Hurst H qui est une constante. En vue d'y remédier, S. Stoev et M.S. Taqqu (2004 et 2005) ont introduit le mouvement multifractionnaire stable linéaire (mmsl) ; ce processus stochastique strictement α-stable (StαS), désigné par {Y(t)}t, est obtenu en remplaçant la mesure brownienne par une mesure StαS et le paramètre de Hurst H par une fonction H(.) dépendant de t. On se place systématiquement dans le cas où cette fonction est continue et à valeurs dans l’intervalle ouvert ]1/α,1[. Il convient aussi de noter que l’on a pour tout t, Y(t)=X(t,H(t)), où {X(u,v)}(u,v) est le champ stochastique StαS, tel que pour tout v fixé, le processus {X(u,v)}u est un mouvement fractionnaire stable linéaire. L'objectif de la thèse est de mener une étude approfondie du mmsl, au moyen de méthodes d’ondelettes ; elle consiste principalement en trois parties. (1) On détermine de fins modules de continuité, globaux et locaux de {Y(t)}t ; cela repose essentiellement sur une nouvelle représentation de {X(u,v)}(u,v), sous la forme d’une série aléatoire, dont on montre la convergence presque sûre dans certains espaces de Hölder. (2) On introduit, via la base de Haar, une autre représentation de {X(u,v)}(u,v) en série aléatoire ; cette dernière permet la mise en place d'une méthode de simulation efficace du mmsl, ainsi que de ses parties hautes et basses fréquences. (3) On construit des estimateurs par ondelettes du paramètre fonctionnel H(.) du mmsl, ainsi que de son paramètre de stabilité α. / Fractional Brownian Motion (FBM) is an important tool in modeling used in several areas (biology, economics, finance, geology, hydrology, telecommunications, and so on); however, this model does not always give a sufficiently accurate description of reality, two important ones among its limitations, are the following: on one hand, FBM is a Gaussian process, and on the other hand, its local roughness (measured through a Hölder exponent) remains the same all along its path, since this roughness is everywhere equal to the Hurst parameter H which is a constant. In order to overcome the latter two limitations, S. Stoev and M.S. Taqqu (2004 and 2005) introduced Linear Multifractional Stable Motion (LMSM); this strictly α-stable (StαS) stochastic process, denoted by {Y(t)}t , is obtained by replacing the Brownian measure by a StαS one and the Hurst parameter H by a function H(.) depending on t. One assumes the latter function to be continuous and with values in the open interval (1/α,1). Also, it is worth noticing that one has for all t, Y(t)=X(t,H(t)), where {X(u,v)}(u,v) is the StαS stochastic field, such that for all fixed v, the process {X(u,v)}u is a Linear Fractional Stable Motion. The goal of the thesis is to conduct a thorough study on LMSM by making use of wavelet methods; it mainly consists into three parts. (1) One determines, sharp global and local moduli of continuity for {Y(t)}t; this mainly relies on a new representation of {X(u,v)}(u,v), as a random series which almost surely converges in some Hölder spaces. (2) One introduces, via the Haar basis, another random series representation of {X(u,v)}(u,v); the latter representation allows to derive an efficient simulation for LMSM as well as its high and low frequency parts. (3) One constructs wavelet estimators of the functional parameter H(.) of LMSM and of its stability parameter α.

Cette thèse donne de nouveaux résultats de lois infiniment divisibles. La résolution d'une conjecture de Steutel (1973) à propos de la divisibilité infinie des puissances d'une variable gamma, et d'une conjecture de Bondesson (1992) à propos de la monotonicité complète hyperbolique des densités stables positives en sont les deux résultats principaux. Des fonctions spéciales (fonctions de Bessel, hypergéométriques, de Mittag-Leffler) apparaissent régulièrement tout au long du manuscrit. / In this thesis, we give some new results of infinite divisibility on the half-line. The main results are : - The resolution of a conjecture due to Steutel (1973) about the infinite divisibility of negative powers of a gamma variable.- The resolution of a conjecture due to Bondesson (1992) concerning stable densities and hyperbolic complete monotonicity property.

Cette thèse est divisée en trois chapitres distincts, ayant comme dénominateur commun l'analyse stochastique de certains champs gaussiens. Les processus stochastiques multiparamétriques qui apparaissent dans ce manuscrit sont généralement auto-similaires. L'auto-similarité est la propriété qu’un processus stochastique préserve sa loi après un changement d'échelle du temps. Dans une première partie, nous avons mis en évidence des nouveaux aspects du drap brownien fractionnaire en utilisant essentiellement la notion de la transformation de Lamperti. Un focus sur l'équation différentielle stochastique vérifiée par cette transformée, a été aussi évoqué. Dans une deuxième partie, nous avons analysé le comportement asymptotique en loi des variations quadratiques spatiales des processus qui sont des solutions de deux types d'équations différentielles stochastiques partielles des ondes perturbées par deux sortes des bruits gaussiens auto-similaires. L'outil principal de notre raisonnement était des nouveaux critères basés sur le calcul stochastique de Malliavin et combinés avec la méthode classique de Stein. En guise d'application, nous avons construit un estimateur de l'indice de Hurst H du bruit fractionnaire en se basant sur les variations quadratiques étudiées. / This thesis is divided into three distinct chapters with a common denominator which is the stochastic analysis of some Gaussian fields. The multi-parameter stochastic processes that appeared in this manuscript are generally self-similar. Self-similarity is the property that a stochastic process preserves its law after a scaling of time. Firstly, we deduced new aspects of the fractional Brownian sheet, using essentially the notion of the Lamperti transform. A Focus on the stochastic differential equation verified by this transform sheet was also mentioned. Secondly, we analyzed the asymptoticbehavior of the spatial quadratic variations of processes that are solutions of two types of stochastic wave equations perturbed by two kinds of self-similar Gaussian noises. The main tool in our reasoning was new criteria based on the Malliavin calculus and combined with the classical method of Stein. As an application, we constructed, by the aid of the quadratic variations, an estimator of the Hurst index H of the fractional noise.

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Les méthodes à noyaux ont été beaucoup utilisées pour transformer un jeu de données initial en les envoyant dans un espace dit « à noyau » ou RKHS, pour ensuite appliquer une procédure statistique sur les données transformées. En particulier, cette approche a été envisagée dans la littérature pour tenter de rendre un modèle probabiliste donné plus juste dans l'espace à noyaux, qu'il s'agisse de mélanges de gaussiennes pour faire de la classification ou d'une simple gaussienne pour de la détection d'anomalie. Ainsi, cette thèse s'intéresse à la pertinence de tels modèles probabilistes dans ces espaces à noyaux. Dans un premier temps, nous nous concentrons sur une famille de noyaux paramétrée - la famille des noyaux radiaux gaussiens - et étudions d'un point de vue théorique la distribution d'une variable aléatoire projetée vers un RKHS correspondant. Nous établissons que la plupart des marginales d'une telle distribution est asymptotiquement proche d'un « scale-mixture » de gaussiennes - autrement dit une gaussienne avec une variance aléatoire - lorsque le paramètre du noyau tend vers l'infini. Une nouvelle méthode de détection d'anomalie utilisant ce résultat théorique est introduite.Dans un second temps, nous introduisons un test d'adéquation basé sur la Maximum Mean Discrepancy pour tester des modèles gaussiens dans un RKHS. En particulier, notre test utilise une procédure de bootstrap paramétrique rapide qui permet d'éviter de ré-estimer les paramètres de la distribution gaussienne à chaque réplication bootstrap. / Kernel methods have been extensively used to transform initial datasets by mapping them into a so-called kernel space or RKHS, before applying some statistical procedure onto transformed data. In particular, this kind of approach has been explored in the literature to try and make some prescribed probabilistic model more accurate in the RKHS, for instance Gaussian mixtures for classification or mere Gaussians for outlier detection. Therefore this thesis studies the relevancy of such models in kernel spaces.In a first time, we focus on a family of parameterized kernels - Gaussian RBF kernels - and study theoretically the distribution of an embedded random variable in a corresponding RKHS. We managed to prove that most marginals of such a distribution converge weakly to a so-called ''scale-mixture'' of Gaussians - basically a Gaussian with a random variance - when the parameter of the kernel tends to infinity. This result is used in practice to device a new method for outlier detection.In a second time, we present a one-sample test for normality in an RKHS based on the Maximum Mean Discrepancy. In particular, our test uses a fast parametric bootstrap procedure which circumvents the need for re-estimating Gaussian parameters for each bootstrap replication.

Cette thèse de doctorat consiste en l’étude et en la simulation exacte de deux classes de diffusions browniennes à valeurs réelles: le mouvement brownien biaisé en plusieurs points et les diffusions browniennes avec dérive admettant un nombre fini de sauts. On appelle diffusion biaisée en plusieurs points une diffusion (Markovienne) évoluant entre plusieurs barrières semi-perméables. Lorsqu’une telle diffusion atteint l’une de ces barrières, elle est partiellement réfléchie, avec une probabilité dépendant de la barrière. Nous obtenons tout d’abord une représentation du semi-groupe de transition du mouvement brownien biaisé avec dérive constante sous la forme d’une intégrale de contour, grâce à l’étude fine des propriétés complexes de ce semi-groupe. Cette représentation nous fournit alors une formule explicite et novatrice pour la densité de transition du mouvement brownien avec dérive constante biaisé en deux points. L’expression consiste en une série de fonctions gaussiennes et spéciales. Nous proposons une nouvelle méthode de simulation par rejet qui offre la possibilité d’échantillonner de façon exacte à partir d’une densité, même si elle n’est connue que par approximation, sans aucune autre erreur que celles de l’ordinateur. Nous appliquons ensuite ce nouveau schéma à la simulation d’un mouvement brownien avec dérive constante, biaisé en deux points. Chemin faisant, nous obtenons une borne uniforme pour le quotient de cette densité par rapport à la densité du mouvement Brownien avec la même dérive. Un autre objectif de la thèse est de développer un algorithme de simulation exacte pour les diffusions browniennes avec dérive admettant plusieurs sauts. / This thesis is focused on the study and the exact simulation of two classes of real-valued Brownian diffusions: multi-skew Brownian motions with constant drift and Brownian diffusions whose drift admits a finite number of jumps. A skew diffusion with several semipermeable barriers, called multi-skew diffusion, is a (Markovian) diffusion partially reflected at some barriers with a probability depending on that particular barrier. In this thesis we first obtain a contour integral representation for the transition semigroup of the multiskew Brownian motion with constant drift, based on a fine analysis of its complex properties. Thanks to this representation we write explicitly the transition densities of the two-skew Brownian motion with constant drift as an infinite series involving Gaussian functions and their tails. Then we propose a new useful generalization of the known rejection sampling method which allows to sample exactly from densities for which only an approximation is known. The originality of our algorithm lies in the fact that we finally sample directly from the law without any approximation, except the machine’s. As an application, we sample from the transition density of the two-skew Brownian motion with or without constant drift and provide also a uniform bound for the ratio between the latter and the transition density of the Brownian motion with constant drift. The second aim of this thesis is to develop an exact simulation algorithm for a Brownian diffusion whose drift admits several jumps. The theoretical method we give allows to deal with any finite number of discontinuities. Then we focus on the case of two jumps, using the transition densities obtained before.

This thesis is concerned with graphical Gaussian models with equality constraints on the concentration or partial correlation matrix introduced by Højsgaard and Lauritzen (2008) as RCON and RCOR models. The models can be represented by vertex and edge coloured graphs G = (V,ε), where parameters associated with equally coloured vertices or edges are restricted to being identical. In the first part of this thesis we study the problem of estimability of a non-zero model mean μ if the covariance structure Σ is restricted to satisfy the constraints of an RCON or RCOR model but is otherwise unknown. Exploiting results in Kruskal (1968), we obtain a characterisation of suitable linear spaces Ω such that if Σ is restricted as above, the maximum likelihood estimator μ(with circumflex) and the least squares estimator μ* of μ coincide for μ ∈ Ω, thus allowing μ and Σ to be estimated independently. For the special case of Ω being specified by equality relations among the entries of μ according to a partition M of the model variables V, our characterisation translates into a necessary and sufficient regularity condition on M and (V,ε). In the second part we address model selection of RCON and RCOR models. Due to the large number of models, we study the structure of four model classes lying strictly within the sets of RCON and RCOR models, each of which is defined by desirable statistical properties corresponding to colouring regularity conditions. Two of these appear in Højsgaard and Lauritzen (2008), while the other two arise from the regularity condition ensuring equality of estimators μ(with circumflex) = μ* we find in the first part. We show each of the colouring classes to form complete lattices, which qualifies the corresponding model spaces for an Edwards-Havránek model selection procedure (Edwards and Havránek, 1987). We develop a coresponding algorithm for one of the model classes and give an algorithm for a systematic search in accordance with the Edwards-Havránek principles for a second class. Both are applied to data sets previously analysed in the literature, with very encouraging performances.

La thèse porte sur l'approximation probabiliste dans un contexte fractionnaire, c'est-a-dire dans des modèles reliés d'une manière ou d'une autre au mouvement brownien fractionnaire. Le dénominateur commun de nos résultats est qu'ils proposent des conditions générales sous lesquelles une variable aléatoire de loi compliquée converge, en loi, vers une variable aléatoire de loi plus aisée. Et quand cela a été possible, nous avons aussi cherché à associer des vitesses de convergence. Les outils utilisés sont reliés a un domaine de recherche récent, appelé approche de Malliavin-Stein. En 2005, Nualart et Peccati ont découvert un théorème limite surprenant (qui porte aujourd'hui le nom de théorème du moment quatrième) pour les suites d'intégrales multiples de Wiener-Itô: pour de telles suites et après renormalisation, la convergence en loi vers la gaussienne standard se trouve être équivalente à la convergence du seul moment quatrième. Peu de temps après la publication de ce joli résultat, Peccati et Tudor l'ont étendu au cadre multivarié. Et, depuis, de nombreuses améliorations et nouveaux développements sont apparus dans la littérature, notamment un article de Nourdin et Peccati qui, pour la première fois, a combiné la méthode de Stein avec le calcul de Malliavin, offrant ainsi un cadre dans lequel il est maintenant possible d'associer une vitesse de convergence au théorème du moment quatrième. Nous nous intéressons dans cette thèse à la distance en variation totale entre les lois de deux intégrales doubles de Wiener-Itô. Nous améliorons des résultats antérieurs dus à Davydov et Martinova . Puis on étudie le comportement asymptotique des variations croisées d'un processus bidimensionnel ayant la forme d'une intégrale de Young. Finalement, on établit la convergence multivariée de certains processus de Volterra construits à partir du mouvement brownien fractionnaire. / The thesis deals with the probabilistic approximation in a fractional context, which means in models connected in one way or another to the fractional Brownian motion. The common denominator of our results is that they offer general conditions under which a random variable having a complicated law converges in law to a random variable with easier law. And when this was possible, we have also associated convergence rates. The tools are linked to a recent research field, called Malliavin-Stein approach. In 2005, Nualart and Peccati have discovered a surprising limit theorem (known as the fourth moment theorem) for series of multiple Wiener-Itô integrals: for such series and after renormalization, convergence in distribution to standard Gaussian happens to be equivalent to the convergence of the fourth moment only. Shortly after the publication of this nice result, Peccati and Tudor have extended it to the multivariate case. And since many improvements and new developments have appeared in the literature, including an article by Nourdin and Peccati which for the first time combined the method of Stein with the Malliavin calculus, providing a framework in which it is now possible to associate a rate of convergence to the fourth moment theorem. We focus in this thesis on the total variation distance between the laws of two double Wiener-Itô integrals. We improve a previous result of Davydov and Martinova. Then we study the asymptotic behavior of a two-dimensional cross-variation process that has the form of a Young integral. Finally, a multivariate convergence is established of some Volterra processes built from the fractional Brownian motion.

Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0<H<1/2. Ces travaux sont complétés par l'étude de versions affines par morceaux et par des simulations numériques. De nombreux problèmes connexes sont également étudiés. / Since their emergence in the 80's in the areas of turbulence and of strange attractors, multifractals have gained popularity. They appear now in finance, geophysics, study of network traffic and in many other areas of applied sciences. This development required adapted theoretical models. Bacry and Muzy's Multifractal Random Measure is one of these models. Thanks to its generality, its flexibility and to its relative simplicity, it became central in the domain of multifractals over the past ten years.In this PhD thesis, two families of multifractal processes are proposed. Their construction is based on the works of Schmitt and co-authors and of those of Bacry and Muzy. After the introduction (chapter 1), we use in chapter 2 alpha-stable moving averages to build multifractal processes; whereas chapter 3 is devoted to the construction of Multifractal Fractional Random Walks with Hurst index 0<H<1/2. This work is complemented by the study of linear versions and by numerical simulations. We study also numerous related problems.

L’étude du comportement trajectoriel des champs/processus stochastiques est un sujet de recherche classique en théorie des probabilités et dans des domaines connexes comme la géométrie fractale. Dans cet objectif, plusieurs méthodes ont été développées depuis longtemps afin d’étudier le comportement des trajectoires de champs/processus gaussiens. Ces méthodes reposent souvent sur une structure hilbertienne « sympathique », et peuvent aussi nécessiter la finitude de moments d’ordre élevé. Ainsi, elles sont difficilement transposables dans des cadres de lois à queue lourde. Ces dernières sont importantes en probabilités et en statistique parce qu’elles constituent une contrepartie naturelle des lois gaussiennes. Dans le cas de certains champs/processus stables linéaires de type moyenne mobile non anticipative, tels que le drap fractionnaire stable linéaire et le mouvement multifractionnaire stable linéaire, des méthodes d’ondelettes, assez nouvelles, se sont déjà avérées fructueuses dans l’étude du comportement trajectoriel. Peut-on adapter cette méthodologie à certains champs/processus stables harmonisables ? Donner une réponse à cette question est un problème assez délicat car, de façon générale, de grandes différences séparent le cadre stable harmonisable de celui de type moyenne mobile. Le principal objectif de la thèse est d’étudier cette question dans le cadre d’un champ stable harmonisable symétrique à accroissement stationnaire de forme générale. / Studying sample path behaviour of stochastic fields/processes is a classical research topic in probability theory and related areas such as fractal geometry. To this end, many methods have been developed for a long time in order to study sample path behaviour of Gaussian fields/processes. They often rely on some underlying "nice" Hilbertian structure, and can also require finiteness of moments of high order. Therefore, they can hardly be transposed to frames of heavy-tailed stable probability distributions. Such distributions are very important in probability and statistics because they are a natural counterpart to the Gaussian ones. In the case of some linear non-anticipative moving average stable fields/processes, such as the linear fractional stable sheet and the linear multifractional stable motion, rather new wavelet methods have already proved to be successful in studying sample path behaviour. Can this methodology be adapted to some harmonizable stable fields/processes? Providing an answer to this question is a non trivial problem, since, generally speaking, there are large differences between an harmonizable stable setting and a moving average one. The main goal of the thesis is to study this issue in the case of a stationary increments symmetric stable harmonizable field of a general form.