Ce mémoire de thèse traite du filtrage et de la commande des systèmes non linéaires décrits par des équations différentielles stochastiques au sens d'Itô dont la diffusion est commandée par un bruit qui intervient de manière multiplicative avec l'état. Dans ce manuscrit, nous avons cherché à relaxer les conditions de stabilité utilisées dans la littérature en employant la stabilité exponentielle presque sûre, aussi appelée stabilité exponentielle avec une probabilité de un. Un nouveau théorème sur la stabilité exponentielle presque sûre du point d'équilibre d'une classe de systèmes stochastiques non linéaires triangulaires est proposé: la stabilité de l'ensemble du système est assurée par la stabilité de chaque sous-système considéré isolément. Ce théorème est appliqué au filtrage des systèmes stochastiques avec des bruits multiplicatifs. Des conditions pour le rejet asymptotique des perturbations intervenant dans une équation différentielle stochastique avec des bruits multiplicatifs sont proposées avec un taux de convergence exponentielle presque sûre garanti. Un correcteur, par retour d’état et par retour de sortie, de type bang-bang est synthétisé pour une classe de systèmes non linéaires stochastiques avec la stabilité exponentielle presque sûre. Le lemme borné réel pour les systèmes stochastiques algébro-différentiels avec des bruits multiplicatifs est formulé, ainsi que le développement de la formule d'Itô pour ces systèmes. Un correcteur H-infini par retour de sortie est synthétisé pour ces systèmes avec la stabilité exponentielle en moyenne quadratique. Un observateur pour ces systèmes est proposé avec la stabilité exponentielle presque sûre / This thesis deals with the filtering and control of nonlinear systems described by Itô stochastic differential equations whose diffusion is controlled by a noise which is multiplied with the state vector. In this manuscript, the goal is to relax the conditions of stability used in the literature using the almost sure exponential stability, also called exponential stability with probability equal to one. A new theorem on the almost sure exponential stability of the equilibrium point of a class of triangular nonlinear stochastic systems is proposed: the stability of the whole system is ensured by the stability of each decoupled subsystem. This theorem is applied to the filtering of stochastics systems with multiplicative noises. Conditions for asymptotic rejection of perturbations occurring in a stochastic differential equation with multiplicative noises have been proposed. The considered stability is the almost sure exponential one. A bound of the Lyapunov exponent ensures the almost sure convergence rate to zero for the state of the system. A bang-bang control law is synthesized for a class of stochastic nonlinear systems in two cases: (i) state feedback and (ii) measured output feedback with an observer. The used stability is the almost sure exponential one. The bounded real lemma is developed for stochastic algebro-differential systems with multiplicative noises and the Itô formula given for thèse systems. This approach has been used for the synthesis of an H-ihfinity measured output feedback control law with the exponential mean square stability. An observer for nonlinear stochastic algebro-differential systems was proposed using the almost sure exponential stability

De récents résultats sur l’étude des systèmes de Lur’e (commutés) à temps discret mettent en avant une fonction de Lyapunov de type Lur’e avancée, dont les lignes de niveau peuvent être non convexes et non connexes. Celles-ci soulèvent de larges questions pour les systèmes de Lur’e à temps discret obtenus par la discrétisation d’un système continu. Les contributions de cette thèse sont d’apporter des éléments de réponse à ces questions. Tout d’abord, le verrou des lignes de niveau non-connexes est levé en construisant à partir de celles-ci une suite décroissante d’ensembles connexes et bornés qui converge vers l’origine et qui contient le futur de la trajectoire à temps continu. Dans un second temps, le problème de la stabilisation conjointe d’un système de Lur’e à données échantillonnées avec un échantillonnage non-uniforme est traité. Quand la période d’échantillonnage est à choisir parmi un nombre fini de valeurs, il est montré que ce problème se traduit comme la stabilisation conjointe d’un système commuté de Lur’e avec des incertitudes bornées en norme. En associant de plus à chaque mode un critère quadratique, une stratégie de type min-switching permet de résoudre cette question à l’aide d’un problème d’optimisation sous contraintes LMI. Enfin, les propriétés de la stratégie de min-switching pour les systèmes de Lur’e commutés à temps discret sont étudiées. Une extension de la notion de consistance permet de prouver que cette stratégie est consistante vis-à-vis de majorants quadratiques modaux du critère de performance et ainsi de garantir l’intérêt de la stratégie d’échantillonnage non-uniforme développée / Recent studies dealing with discrete-time (switched) Lur’e systems involve an adapted Lur’e type function exhibiting possibly non-convex and disconnected level sets. These properties raise fundamental issues in the case of discrete-time Lur’e system obtained by the sampling of a continuous time one. This PhD thesis aims at answering these questions. The first contribution is to avoid the discrete-time disconnected level sets by a decreasing sequence of bounded and connected sets that converges to the origin and that contain the future of the continuous-time trajectory. The second contribution deals with the joint stabilization of a sampled-data Lur’e system with non-uniform sampling. When the sampling period belongs to a finite set of values, this problem is reformulated as the joint stabilization of a discrete-time Lur’e switched system with norm-bounded uncertain parameters. Futhermore, if a quadratic criterion is associated with each mode, a min-switching strategy combined with LMI constraints allow to provide a solution to this problem. Finally the property of consistency for discrete-time switched Lur’e systems is investigated. It is shown that the min-switching strategy is consistent with respect to quadratic upper bounds of the performances. This result is applied on the stabilization of Lur’e systems with non-uniform sampling.