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There are many methods for solving polynomial equations. Dating back to the Greek and Babylonian mathematicians, these methods have been explored throughout the centuries. The introduction of the Cartesian Coordinate Plane by Rene Descartes greatly enhanced the understanding of what the solutions actually represent. The invention of the graphing calculator has been a tremendous aid in the teaching of solutions of polynomial equations. Students are able to visualize what these solutions represent graphically. This report explores these methods and their uses. / text

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Un microsystème électromécanique (MEMS – Micro Electro-Mechanical Systems) est une structure qui intègre un ou plusieurs éléments mécaniques réalisant la fonction de capteur ou d’actionneur à l’échelle du micron. Jusqu’au milieu des années 1990, les MEMS étaient réservés à des applications spécifiques, notamment dans les domaines spatiales et aéronautiques. Depuis une décennie, ces microsystèmes connaissent un essor important dans de nombreux secteurs grand public comme l’automobile, l’informatique ou encore les télécommunications. La conception et l’évaluation des performances de ces microsystèmes nécessitent des outils de modélisation robustes et fiables. Ainsi, les présents travaux de recherche ont pour objectif la modélisation, déterministe et stochastique, de MEMS à actionnement électrostatique pour le calcul spécifique du « phénomène de collage électrostatique » (pull-in phenomenon).Les différentes approches de modélisation associant les deux physiques mises en jeu, à savoir les comportements électrostatique et élastique, sont investiguées. La présentation des résultats, sur deux cas types de poutres issues de MEMS électrostatiques, suit une approche didactique, allant du modèle le moins précis (analytique) vers le modèle le plus fin (éléments finis). Elle permet ainsi de mettre en évidence les effets prédominants, notamment la déformation des parties mobiles et les effets de bord. Enfin, afin de tenir compte des incertitudes sur la géométrie et les matériaux, une étude stochastique, à l’aide d’approches non intrusives de types Monte Carlo et décomposition en chaos polynomial, est également effectuée pour le calcul de la tension de collage d’un dispositif MEMS. / MEMS are micro-structures integrating one or several mechanical elements performing as transducers or actuators. Until the mid 90s, MEMS technology was exclusively dedicated to aerospace and aeronautical applications. In the last decade, these microsystems have known a real boom, spreading in specific consumer applications like automotive, IT and telecommunications. The design and performance analysis of MEMS requires reliable and robust simulation tools. Thereby, the presented works, aim at the deterministic and stochastic modelling of electrostatic MEMS, focusing on the well known pull-in phenomenon.The different modelling approaches describing the electrostatic, elastic and the coupled electromechanical behaviours are investigated. The results are illustrated on two beam-like typical structures, following a didactic approach, from the simplest model (analytical) towards the most precise (Finite Element), emphasizing the predominant effects, like the deformation of the active parts and fringing fields.Furthermore, in order to take into account the uncertainties on the geometry or the material properties, a stochastic analysis is also done, using non intrusive approaches, as Monte-Carlo method and the polynomial chaos decomposition approach, for the determination of the pull-in voltage of a MEMS device.

Pour certaines classes de matériaux de structure, la taille du Volume Elémentaire Représentatif peut être très supérieure à celle du domaine usuellement considéré pour une caractérisation expérimentale. Le tenseur d'èlasticité du milieu présente alors des fluctuations spatiales et statistiques qu'il convient de modéliser par un champ aléatoire. Le travail de thèse a consisté en la construction, l'identification expérimentale et la mise en œuvre d'un modèle probabiliste du champ aléatoire du tenseur d'élasticité à l'échelle mésoscopique. Pour ce faire, deux approches sont privilégiées La première est basée sur la construction d'un modèle probabiliste associé à la fraction volumique aléatoire mésoscopique, combiné à un schéma d'homogénéisation. Une analyse expérimentale par ultrasons est réalisée sur un matériau modèle et permet, à l'aide de la résolution numérique d'un problème inverse, d'obtenir les trajectoires du champ. L'identification des paramètres du modèle est ensuite effectuée en s'appuyant sur le Principe du Maximum de Vraisemblance. La seconde approche porte sur l'identification et la mise en œuvre d'un modéle probabiliste direct du champ aléatoire du tenseur d'élasticité, proposé dans la littérature. Les paramètres du modèle sont déterminés grâce à la caractérisation ultrasonore, via la résolution d'un problème d'optimisation. Les deux approches fournissent des estimations semblables pour les longueurs de corrélation spatiale du champ aléatoire et valident le choix de l'échelle d'analyse mésoscopique. Enfin, une analyse de convergence probabiliste permet de discuter de la taille du VER en fonction des longueurs de corrélation spatiale du champ mésoscopique. / For sorne classes of materials, the size of the Representative Volume Element can be much larger than the one of the domain typically used in experimental testing. The elasticity tensor of such media then exhibits both spatial and statistical fluctuations and has to be modelled as a random field. This thesis is dedicated to the construction, experimental identification and use of a probabilistic model of the random elasticity tensor at mesoscale. For this purpose, two kinds of approaches are considered. The first one is based on the construction of a probabilistic model for the mesoscopic volume fraction, combined to a homogenization scheme. An ultrasound experimental analysis is performed on a model material and allows the experimental trajectories of the random field to be identified by solving an inverse problem. The identification of the parameters is carried out by using the Maximum Likelihood Principle. The second approach is focused on the identification and use of a probabilistic model for the elasticity tensor random field that was recently proposed in the literature. The parameters of the model are computed by combining the ultrasound results with an optimization problem. Both approaches yield similar predictions of the spatial correlation lengths of the mesoscopic random field and validate the choice of the scale for the mesoscopic analysis. Finally, a probabilistic convergence analysis is performed and allows one to discuss the size of the RVE in terms of the correlation lengths of the mesoscopic random field.

La quantification d’incertitudes est une démarche consistant à prendre en compte les incertitudes des coefficients caractéristiques (matériaux, géométries, sources ...) d’un modèle mathématique en vue d’estimer l’effet de ces méconnaissances sur les grandeurs physiques recherchées. Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés aux approches probabilistes de propagation d’incertitudes portées par les lois de comportement (perméabilités et conductivités) aux sein de modèles éléments finis de l’électromagnétisme quasi-statique de taille industrielle. Cette thèse vise à comparer les deux approches spectrales NISP et SSFEM qui sont basées sur une représentation fonctionnelle dans le chaos polynomial des grandeurs d’intérêt aléatoires. Cette étude de comparaison est effectuée en terme de précision numérique et de coût de calcul, et pour des grandeurs d’intérêt scalaires et vectorielles complexes. Les applications numériques nous ont montré que la SSFEM peut être assez compétitive par rapport à la NISP pour des problèmes probabilistes à grandes dimensions stochastiques. Il en résulte que celle-ci est la méthode de prédilection pour l’étude des systèmes électromagnétiques dont les lois de comportement des matériaux sont aléatoires. Enfin, les deux méthodes spectrales ont été appliquées sur un problème de détection de bouchage par la magnétite des plaques entretoises des générateurs de vapeur d’une centrale nucléaire. Dans cette étude probabiliste, nous nous sommes attelés à quantifier la contribution des incertitudes, subsistant dans les conductivités et perméabilités de la magnétite et de la plaque, à la variabilité des signaux et du ratio SAX. / The uncertainty quantification technique aims to quantify the effect of uncertainties of input parameters of numerical models, e.g. material, geometry, source terms, on the quantity of interest. In this thesis, we focus on probabilistic approaches in order to spread uncertainties of magnetic and electric behavior laws over large scale electromagnetic finite element models. The main objective of this work is to compare two spectral stochastic methods (Non Intrusive Spectral Projection (NISP) and Spectral Stochastic Finite Element Method (SSFEM)), which are based on chaos polynomial representation of the random quantities. The comparison between the NISP and the SSFEM is carried out by confronting the computational costs and the precision when scalar and vector complex quantities of interest are computed. The numerical applications show that the SSFEM method become as competitive as the NISP method in terms of computational cost when solving probabilistic problems with large number of random parameters. Thus, the SSFEM method is chosen as the best adapted to solve electromagnetic problems when the behavior laws are random. In fact, the NISP method is inappropriate to compute vector complex quantities when equipped with adaptive sparse grid procedures. Finally, the NISP and SSFEM methods are used to study the clogging of the Tube Support Plate (TSP) of steam generators of nuclear power plants. The effect of uncertainties of the permeability and the conductivity of the TSP and the magnetite (clogging product) on the control signal and the SAX ratio is investigated.

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