Dans les domaines de la modélisation et de la simulation numérique, les simulateurs développés prennent parfois en compte de nombreux paramètres dont l'impact sur les sorties n'est pas toujours bien connu. L'objectif principal de l'analyse de sensibilité est d'aider à mieux comprendre comment les sorties d'un modèle sont sensibles aux variations de ces paramètres. L'approche la mieux adaptée pour appréhender ce problème dans le cas de modèles potentiellement complexes et fortement non linéaires repose sur la décomposition ANOVA et les indices de Sobol'. En particulier, ces derniers permettent de quantifier l'influence de chacun des paramètres sur la réponse du modèle. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de l'estimation des indices de Sobol'. Dans une première partie, nous réintroduisons de manière rigoureuse des méthodes existantes au regard de l'analyse harmonique discrète sur des groupes cycliques et des tableaux orthogonaux randomisés. Cela nous permet d'étudier les propriétés théoriques de ces méthodes et de les généraliser. Dans un second temps, nous considérons la méthode de Monte Carlo spécifique à l'estimation des indices de Sobol' et nous introduisons une nouvelle approche permettant de l'améliorer. Cette amélioration est construite autour des hypercubes latins et permet de réduire le nombre de simulations nécessaires pour estimer les indices de Sobol' par cette méthode. En parallèle, nous mettons en pratique ces différentes méthodes sur un modèle d'écosystème marin. / In the fields of modelization and numerical simulation, simulators generally depend on several input parameters whose impact on the model outputs are not always well known. The main goal of sensitivity analysis is to better understand how the model outputs are sensisitive to the parameters variations. One of the most competitive method to handle this problem when complex and potentially highly non linear models are considered is based on the ANOVA decomposition and the Sobol' indices. More specifically the latter allow to quantify the impact of each parameters on the model response. In this thesis, we are interested in the issue of the estimation of the Sobol' indices. In the first part, we revisit in a rigorous way existing methods in light of discrete harmonic analysis on cyclic groups and randomized orthogonal arrays. It allows to study theoretical properties of this method and to intriduce generalizations. In a second part, we study the Monte Carlo method for the Sobol' indices and we introduce a new approach to reduce the number of simulations of this method. In parallel with this theoretical work, we apply these methods on a marine ecosystem model.

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The thesis is dedicated to the approximation of high-dimensional functions from scattered data nodes. Many methods in this area lack the property of interpretability in the context of explainable artificial intelligence. The idea is to address this shortcoming by proposing a new method that is intrinsically designed around interpretability. The multivariate analysis of variance (ANOVA) decomposition is the main tool to achieve this purpose. We study the connection between the ANOVA decomposition and orthonormal bases to obtain a powerful basis representation. Moreover, we focus on functions that are mostly explained by low-order interactions to circumvent the curse of dimensionality in its exponential form. Through the connection with grouped index sets, we can propose a least-squares approximation idea via iterative LSQR. Here, the proposed grouped transformations provide fast algorithms for multiplication with the appearing matrices. Through global sensitivity indices we are then able to analyze the approximation which can be used in improving it further. The method is also well-suited for the approximation of real data sets where the sparsity-of-effects principle ensures a low-dimensional structure. We demonstrate the applicability of the method in multiple numerical experiments with real and synthetic data.:1 Introduction 2 The Classical ANOVA Decomposition 3 Fast Multiplication with Grouped Transformations 4 High-Dimensional Explainable ANOVA Approximation 5 Numerical Experiments with Synthetic Data 6 Numerical Experiments with Real Data 7 Conclusion Bibliography / Die Arbeit widmet sich der Approximation von hoch-dimensionalen Funktionen aus verstreuten Datenpunkten. In diesem Bereich leiden vielen Methoden darunter, dass sie nicht interpretierbar sind, was insbesondere im Kontext von Explainable Artificial Intelligence von großer Wichtigkeit ist. Um dieses Problem zu adressieren, schlagen wir eine neue Methode vor, die um das Konzept von Interpretierbarkeit entwickelt ist. Unser wichtigstes Werkzeug dazu ist die Analysis of Variance (ANOVA) Zerlegung. Wir betrachten insbesondere die Verbindung der ANOVA Zerlegung zu orthonormalen Basen und erhalten eine wichtige Reihendarstellung. Zusätzlich fokussieren wir uns auf Funktionen, die hauptsächlich durch niedrig-dimensionale Variableninteraktionen erklärt werden. Dies hilft uns, den Fluch der Dimensionen in seiner exponentiellen Form zu überwinden. Über die Verbindung zu Grouped Index Sets schlagen wir dann eine kleinste Quadrate Approximation mit dem iterativen LSQR Algorithmus vor. Dabei liefern die vorgeschlagenen Grouped Transformations eine schnelle Multiplikation mit den entsprechenden Matrizen. Unter Zuhilfenahme von globalen Sensitvitätsindizes können wir die Approximation analysieren und weiter verbessern. Die Methode ist zudem gut dafür geeignet, reale Datensätze zu approximieren, wobei das sparsity-of-effects Prinzip sicherstellt, dass wir mit niedrigdimensionalen Strukturen arbeiten. Wir demonstrieren die Anwendbarkeit der Methode in verschiedenen numerischen Experimenten mit realen und synthetischen Daten.:1 Introduction 2 The Classical ANOVA Decomposition 3 Fast Multiplication with Grouped Transformations 4 High-Dimensional Explainable ANOVA Approximation 5 Numerical Experiments with Synthetic Data 6 Numerical Experiments with Real Data 7 Conclusion Bibliography