Diese Dissertation hat zwei Teile. Im ersten Teil untersuchen wir die Modulräume von Kurven mit multiplen Spinstrukturen. Wir stellen eine neue Kompaktifizierung dieser Räume mit geometrisch sinnvollem Grenzverhalten vor. Die irreduziblen Komponenten dieser Räume werden vollstandig klassifiziert. Die Ergebnisse aus diesem ersten Teil der Dissertation sind fundamental für die Degenerationstechniken im zweiten Teil. Im zweiten Teil untersuchen wir eine Reihe von Problemen, die von der klassischen Geometrie inspiriert werden. Unser Hauptaugenmerk liegt hierbei auf dem Fall von zwei Hyperebenen, die eine kanonische Kurve in jedem Schnittpunkt tangential berühren. Wir fragen, ob eingemensamer Tangentialpunk existieren kann. Unsere Analyse zeigt, dass so ein gemeinsamer Punkt nur in Kodimension 1 im Modulraum existieren kann. Wir berechen dann weiter die Klasse dieses Divisors. Insbesonders zeigen wir, dass diese Klasse eine hinreichend kleine Steigung hat, sodass die kanonischen Klassen von Modulräumen von Kurven mit zwei ungeraden Spinstrukturen gross ist, wenn der Genus grösser ist als neun. Falls die zugehörigen groben Modulräume gutartige Singularitäten haben, dann haben sie in diesem Intervall maximale Kodaria Dimension. / This thesis has two parts. In Part I we consider the moduli spaces of curves with multiple spin structures and provide a compactification using geometrically meaningful limiting objects. We later give a complete classification of the irreducible components of these spaces. The moduli spaces built in this part provide the basis for the degeneration techniques required in the second part. In the second part we consider a series of problems inspired by projective geometry. Given two hyperplanes tangential to a canonical curve at every point of intersection, we ask if there can be a common point of tangency. We show that such a common point can appear only in codimension 1 in moduli and proceed to compute the class of this divisor. We then study the general properties of curves in this divisor. Our divisor class has small enough slope to imply that the canonical class of the moduli space of curves with two odd spin structures is big when the genus is greater than 9. If the corresponding coarse moduli spaces have mild enough singularities, then they have maximal Kodaira dimension in this range.

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung von zwei Problemen der abzählenden Geometrie im Zusammenhang mit linearen Systemen auf algebraischen Kurven. Das erste Problem besteht darin, die Frage der Gültigkeit der Jonquières-Formeln zu klären. Diese Formeln berechnen die Anzahl von Divisoren mit vorgeschriebener Multiplizität, genannt de Jonquières-Divisoren, die in einem linearen System auf einer glatten projektiven Kurve enthalten sind. Um dies zu tun, konstruieren wir den Raum der de Jonquières-Divisoren als einen Determinantenzyklus des symmetrischen Produkts der Kurve und beweisen, dass er für eine allgemeine Kurve die erwartete Dimension hat. Dabei beschreiben wir die Degenerationen der Jonquières-Divisoren zu den Knotenkurven sowohl mit linearen Systemen als auch mit kompaktifizierten Picard-Schemata. Das zweite Problem behandelt Zyklen von Untergeordneten-, oder allgemeiner, Sekanten-Divisoren zu einem gegebenen linearen System auf einer Kurve. Wir betrachten den Durchschnitt zweier solcher Zyklen, die Sekanten-Divisoren von zwei verschiedenen linearen Systemen auf der gleichen Kurve entsprechen, und untersuchen die Gültigkeit der enumerativen Formeln, die die Anzahl der Teiler im Durchschnitt zählen. Wir untersuchen einige interessante Fälle mit unerwarteten Transversalitätseigenschaften und etablieren eine allgemeine Methode, um zu überprüfen, wann dieser Durchschnitt leer ist. / This thesis is dedicated to the study of two enumerative geometry problems in the context of linear series on algebraic curves. The first problem is that of settling the issue of the validity of the de Jonquières formulas. These formulas compute the number of divisors with prescribed multiplicity, or de Jonquières divisors, contained in a linear series on a smooth projective curve. To do so, we construct the space of de Jonquières divisors as a determinantal cycle of the symmetric product of the curve and prove that, for a general curve with a general linear series, it is of expected dimension. In doing so, we describe the degenerations of de Jonquières divisors to nodal curves using both limit linear series and compactified Picard schemes. The second problem deals with cycles of subordinate or, more generally, secant divisors to a given linear series on a curve. We consider the intersection of two such cycles corresponding to secant divisors of two different linear series on the same curve and investigate the validity of the enumerative formulas counting the number of divisors in the intersection. We study some interesting cases, with unexpected transversality properties, and establish a general method to verify when this intersection is empty.