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Rational Lanczos-type methods for model order reduction / Méthodes de type Lanczos rationnel pour la réduction de modèlesBarkouki, Houda 22 December 2016 (has links)
La solution numérique des systèmes dynamiques est un moyen efficace pour étudier des phénomènes physiques complexes. Cependant, dans un cadre à grande échelle, la dimension du système rend les calculs infaisables en raison des limites de mémoire et de temps, ainsi que le mauvais conditionnement. La solution de ce problème est la réduction de modèles. Cette thèse porte sur les méthodes de projection pour construire efficacement des modèles d'ordre inférieur à partir des systèmes linéaires dynamiques de grande taille. En particulier, nous nous intéressons à la projection sur la réunion de plusieurs sous-espaces de Krylov standard qui conduit à une classe de modèles d'ordre réduit. Cette méthode est connue par l'interpolation rationnelle. En se basant sur ce cadre théorique qui relie la projection de Krylov à l'interpolation rationnelle, quatre algorithmes de type Lanczos rationnel pour la réduction de modèles sont proposés. Dans un premier temps, nous avons introduit une méthode adaptative de type Lanczos rationnel par block pour réduire l'ordre des systèmes linéaires dynamiques de grande taille, cette méthode est basée sur l'algorithme de Lanczos rationnel par block et une méthode adaptative pour choisir les points d'interpolation. Une généralisation de ce premier algorithme est également donnée, où différentes multiplicités sont considérées pour chaque point d'interpolation. Ensuite, nous avons proposé une autre extension de la méthode du sous-espace de Krylov standard pour les systèmes à plusieurs-entrées plusieurs-sorties, qui est le sous-espace de Krylov global. Nous avons obtenu des équations qui décrivent cette procédure. Finalement, nous avons proposé une méthode de Lanczos étendu par block et nous avons établi de nouvelles propriétés algébriques pour cet algorithme. L'efficacité et la précision de tous les algorithmes proposés, appliqués sur des problèmes de réduction de modèles, sont testées dans plusieurs exemples numériques. / Numerical solution of dynamical systems have been a successful means for studying complex physical phenomena. However, in large-scale setting, the system dimension makes the computations infeasible due to memory and time limitations, and ill-conditioning. The remedy of this problem is model reductions. This dissertations focuses on projection methods to efficiently construct reduced order models for large linear dynamical systems. Especially, we are interesting by projection onto unions of Krylov subspaces which lead to a class of reduced order models known as rational interpolation. Based on this theoretical framework that relate Krylov projection to rational interpolation, four rational Lanczos-type algorithms for model reduction are proposed. At first, an adaptative rational block Lanczos-type method for reducing the order of large scale dynamical systems is introduced, based on a rational block Lanczos algorithm and an adaptive approach for choosing the interpolation points. A generalization of the first algorithm is also given where different multiplicities are consider for each interpolation point. Next, we proposed another extension of the standard Krylov subspace method for Multiple-Input Multiple-Output (MIMO) systems, which is the global Krylov subspace, and we obtained also some equations that describe this process. Finally, an extended block Lanczos method is introduced and new algebraic properties for this algorithm are also given. The accuracy and the efficiency of all proposed algorithms when applied to model order reduction problem are tested by means of different numerical experiments that use a collection of well known benchmark examples.
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Apprentissage statistique avec le processus ponctuel déterminantalVicente, Sergio 02 1900 (has links)
Cette thèse aborde le processus ponctuel déterminantal, un modèle probabiliste qui capture
la répulsion entre les points d’un certain espace. Celle-ci est déterminée par une matrice
de similarité, la matrice noyau du processus, qui spécifie quels points sont les plus similaires
et donc moins susceptibles de figurer dans un même sous-ensemble. Contrairement à la sélection
aléatoire uniforme, ce processus ponctuel privilégie les sous-ensembles qui contiennent
des points diversifiés et hétérogènes. La notion de diversité acquiert une importante grandissante
au sein de sciences comme la médecine, la sociologie, les sciences forensiques et les
sciences comportementales. Le processus ponctuel déterminantal offre donc une alternative
aux traditionnelles méthodes d’échantillonnage en tenant compte de la diversité des éléments
choisis. Actuellement, il est déjà très utilisé en apprentissage automatique comme modèle de
sélection de sous-ensembles. Son application en statistique est illustrée par trois articles. Le
premier article aborde le partitionnement de données effectué par un algorithme répété un
grand nombre de fois sur les mêmes données, le partitionnement par consensus. On montre
qu’en utilisant le processus ponctuel déterminantal pour sélectionner les points initiaux de
l’algorithme, la partition de données finale a une qualité supérieure à celle que l’on obtient
en sélectionnant les points de façon uniforme. Le deuxième article étend la méthodologie
du premier article aux données ayant un grand nombre d’observations. Ce cas impose un
effort computationnel additionnel, étant donné que la sélection de points par le processus
ponctuel déterminantal passe par la décomposition spectrale de la matrice de similarité qui,
dans ce cas-ci, est de grande taille. On présente deux approches différentes pour résoudre ce
problème. On montre que les résultats obtenus par ces deux approches sont meilleurs que
ceux obtenus avec un partitionnement de données basé sur une sélection uniforme de points.
Le troisième article présente le problème de sélection de variables en régression linéaire et
logistique face à un nombre élevé de covariables par une approche bayésienne. La sélection
de variables est faite en recourant aux méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov,
en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings. On montre qu’en choisissant le processus
ponctuel déterminantal comme loi a priori de l’espace des modèles, le sous-ensemble final de
variables est meilleur que celui que l’on obtient avec une loi a priori uniforme. / This thesis presents the determinantal point process, a probabilistic model that captures
repulsion between points of a certain space. This repulsion is encompassed by a similarity
matrix, the kernel matrix, which selects which points are more similar and then less likely to
appear in the same subset. This point process gives more weight to subsets characterized by
a larger diversity of its elements, which is not the case with the traditional uniform random
sampling. Diversity has become a key concept in domains such as medicine, sociology,
forensic sciences and behavioral sciences. The determinantal point process is considered
a promising alternative to traditional sampling methods, since it takes into account the
diversity of selected elements. It is already actively used in machine learning as a subset
selection method. Its application in statistics is illustrated with three papers. The first
paper presents the consensus clustering, which consists in running a clustering algorithm
on the same data, a large number of times. To sample the initials points of the algorithm,
we propose the determinantal point process as a sampling method instead of a uniform
random sampling and show that the former option produces better clustering results. The
second paper extends the methodology developed in the first paper to large-data. Such
datasets impose a computational burden since sampling with the determinantal point process
is based on the spectral decomposition of the large kernel matrix. We introduce two methods
to deal with this issue. These methods also produce better clustering results than consensus
clustering based on a uniform sampling of initial points. The third paper addresses the
problem of variable selection for the linear model and the logistic regression, when the
number of predictors is large. A Bayesian approach is adopted, using Markov Chain Monte
Carlo methods with Metropolis-Hasting algorithm. We show that setting the determinantal
point process as the prior distribution for the model space selects a better final model than
the model selected by a uniform prior on the model space.
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