Les problèmes inverses en traitement d'images peuvent être résolus en utilisant des méthodes variationnelles classiques, des approches basées sur l'apprentissage profond, ou encore des stratégies bayésiennes. Bien que différentes, ces approches nécessitent toutes des algorithmes d'optimisation efficaces. L'opérateur proximal est un outil important pour la minimisation de fonctions non lisses. Dans cette thèse, nous illustrons la polyvalence des algorithmes proximaux en les introduisant dans chacune des trois méthodes de résolution susmentionnées.Tout d'abord, nous considérons une formulation variationnelle sous contraintes dont la fonction objectif est composite. Nous développons PIPA, un nouvel algorithme proximal de points intérieurs permettant de résoudre ce problème. Dans le but d'accélérer PIPA, nous y incluons une métrique variable. La convergence de PIPA est prouvée sous certaines conditions et nous montrons que cette méthode est plus rapide que des algorithmes de l'état de l'art au travers de deux exemples numériques en traitement d'images.Dans une deuxième partie, nous étudions iRestNet, une architecture neuronale obtenue en déroulant un algorithme proximal de points intérieurs. iRestNet nécessite l'expression de l'opérateur proximal de la barrière logarithmique et des dérivées premières de cet opérateur. Nous fournissons ces expressions pour trois types de contraintes. Nous montrons ensuite que sous certaines conditions, cette architecture est robuste à une perturbation sur son entrée. Enfin, iRestNet démontre de bonnes performances pratiques en restauration d'images par rapport à une approche variationnelle et à d'autres méthodes d'apprentissage profond.La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une méthode d'échantillonnage stochastique pour résoudre des problèmes inverses dans un cadre bayésien. Nous proposons une version accélérée de l'algorithme proximal de Langevin non ajusté, baptisée PP-ULA. Cet algorithme est incorporé à un échantillonneur de Gibbs hybride utilisé pour réaliser la déconvolution et la segmentation d'images ultrasonores. PP-ULA utilise le principe de majoration-minimisation afin de gérer les distributions non log-concaves. Comme le montrent nos expériences réalisées sur des données ultrasonores simulées et réelles, PP-ULA permet une importante réduction du temps d'exécution tout en produisant des résultats de déconvolution et de segmentation très satisfaisants. / Inverse problems in image processing can be solved by diverse techniques, such as classical variational methods, recent deep learning approaches, or Bayesian strategies. Although relying on different principles, these methods all require efficient optimization algorithms. The proximity operator appears as a crucial tool in many iterative solvers for nonsmooth optimization problems. In this thesis, we illustrate the versatility of proximal algorithms by incorporating them within each one of the aforementioned resolution methods.First, we consider a variational formulation including a set of constraints and a composite objective function. We present PIPA, a novel proximal interior point algorithm for solving the considered optimization problem. This algorithm includes variable metrics for acceleration purposes. We derive convergence guarantees for PIPA and show in numerical experiments that it compares favorably with state-of-the-art algorithms in two challenging image processing applications.In a second part, we investigate a neural network architecture called iRestNet, obtained by unfolding a proximal interior point algorithm over a fixed number of iterations. iRestNet requires the expression of the logarithmic barrier proximity operator and of its first derivatives, which we provide for three useful types of constraints. Then, we derive conditions under which this optimization-inspired architecture is robust to an input perturbation. We conduct several image deblurring experiments, in which iRestNet performs well with respect to a variational approach and to state-of-the-art deep learning methods.The last part of this thesis focuses on a stochastic sampling method for solving inverse problems in a Bayesian setting. We present an accelerated proximal unadjusted Langevin algorithm called PP-ULA. This scheme is incorporated into a hybrid Gibbs sampler used to perform joint deconvolution and segmentation of ultrasound images. PP-ULA employs the majorize-minimize principle to address non log-concave priors. As shown in numerical experiments, PP-ULA leads to a significant time reduction and to very satisfactory deconvolution and segmentation results on both simulated and real ultrasound data.

Cette thèse porte sur le problème de l'échantillonnage en grande dimension et est basée sur l'algorithme de Langevin non ajusté (ULA).Dans une première partie, nous proposons deux extensions d'ULA et fournissons des garanties de convergence précises pour ces algorithmes. ULA n'est pas applicable lorsque la distribution cible est à support compact; grâce à une régularisation de Moreau Yosida, il est néanmoins possible d'échantillonner à partir d'une distribution suffisamment proche de la distribution cible. ULA diverge lorsque les queues de la distribution cible sont trop fines; en renormalisant correctement le gradient, cette difficulté peut être surmontée.Dans une deuxième partie, nous donnons deux applications d'ULA. Nous fournissons un algorithme pour estimer les constantes de normalisation de densités log concaves à partir d'une suite de distributions dont la variance augmente graduellement. En comparant ULA avec la diffusion de Langevin, nous développons une nouvelle méthode de variables de contrôle basée sur la variance asymptotique de la diffusion de Langevin.Dans une troisième partie, nous analysons Stochastic Gradient Langevin Dynamics (SGLD), qui diffère de ULA seulement dans l'estimation stochastique du gradient. Nous montrons que SGLD, appliqué avec des paramètres habituels, peut être très éloigné de la distribution cible. Cependant, avec une technique appropriée de réduction de variance, son coût calcul peut être bien inférieur à celui d'ULA pour une précision similaire. / This thesis focuses on the problem of sampling in high dimension and is based on the unadjusted Langevin algorithm (ULA).In a first part, we suggest two extensions of ULA and provide precise convergence guarantees for these algorithms. ULA is not feasible when the target distribution is compactly supported; thanks to a Moreau Yosida regularization, it is nevertheless possible to sample from a probability distribution close enough to the distribution of interest. ULA diverges when the tails of the target distribution are too thin; by taming appropriately the gradient, this difficulty can be overcome.In a second part, we give two applications of ULA. We provide an algorithm to estimate normalizing constants of log concave densities based on a sequence of distributions with increasing variance. By comparison of ULA with the Langevin diffusion, we develop a new control variates methodology based on the asymptotic variance of the Langevin diffusion.In a third part, we analyze Stochastic Gradient Langevin Dynamics (SGLD), which differs from ULA only in the stochastic estimation of the gradient. We show that SGLD, applied with usual parameters, may be very far from the target distribution. However, with an appropriate variance reduction technique, its computational cost can be much lower than ULA for the same accuracy.