En este trabajo obtendremos resultados de estabilidad, consistencia y convergencia para dos esquemas diferentes de discretización basados en el método de diferencias finitas para el siguiente problema de estabilización en la frontera de la ecuación de Schrödinger. Seguiremos el siguiente esquema para presentar este trabajo: En el capitulo I presentamos conceptos y fundamentos teóricos del método de diferencias finitas. En el capitulo II aplicaremos el método a una EDP, así como un estudio comparativo de diversos esquemas a usar. En el capitulo III presentamos algunos resultados numéricos, además de efectuar una comparación numérica de los esquemas usados. En el apéndice A presentamos algunos teoremas que son generalmente utilizados en las demostraciones de estabilidad del método numérico. En el apéndice B incluimos los algoritmos que implementamos para conseguir los resultados numéricos. --- Palabras claves: Análisis numérico, Ecuación de SchrÄodinger, Diferencias ¯nitas

En el presente trabajo se realiza un análisis numérico de vibración inducida por flujo (FIV) sobre una tubería horizontal que transporta flujo bifásico agua-aire. Para el estudio del fluido se consideró un dominio de estudio de 3m de longitud en el que se analizaron diferentes modelos de turbulencia con la finalidad de seleccionar el más adecuado para el estudio FIV. Se tomó como criterio de comparación el comportamiento de la presión variable sobre la pared de la tubería. Los resultados obtenidos muestran que el modelo RANS K-ω SST es capaz de representar con buena precisión el comportamiento del flujo bifásico analizado, pues capta los patrones de flujo y las fluctuaciones de presión en concordancia con resultados experimentales reportados en la literatura, por lo que fue seleccionado para el análisis FIV. Seguidamente se procedió a determinar el método de análisis de vibración más adecuado para el objeto en estudio (tubería), en el cual se consideró un dominio de estudio de la tubería de 1.53 m de longitud, empotrada en ambos extremos. Es así que se determinó que el análisis dinámico transitorio acoplado bidireccional de interacción fluido-estructura (FSI), que contempla los efectos del campo de fluidos sobre el campo estructural y viceversa, representa de manera adecuada el fenómeno en estudio por considerar que son los esfuerzos, desplazamientos, aceleraciones y frecuencias las variables a determinarse en este análisis. Para las condiciones de flujo analizadas se captaron vibraciones, desplazamientos en el rango de -48 μm a 18 μm, aceleraciones en el rango de -0.07 m/s2 a 0.8 m/s2 y frecuencias máximas en el rango de 10 Hz a 35 Hz. / Tesis

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Ingeniero Civil Matemático / El objetivo principal del presente trabajo es el estudio, tanto teórico como numérico, de métodos de procesamiento de imágenes orientados al área de las señales e imágenes con texturas. Se comienza con una revisión de conceptos básicos tanto en procesamiento de imágenes, como en herramientas matemáticas de interés, se exploran trabajos previos que motivan buena parte de esta memoria. En particular los trabajos de filtros no locales, formulados por Buades en 2005 y los funcionales no locales del tipo Mumford-Shah, formulados por Jung et al. en 2011, además de varios trabajos clásicos del área del cálculo de variaciones ligados al procesamiento de imágenes. Más adelante, se explora en detalle el problema de segmentación, estableciendo una definición concreta y ejemplos de aplicación, presentando luego el funcional de Mumford-Shah. Se analiza la limitación de este funcional desde el punto de vista numérico para realizar segmentación y por esto se introduce el funcional de Ambrosio-Tortorelli, donde destacan sus resultados más importantes, en particular la $\Gamma$-convergencia al funcional de Mumford-Shah relajado. Como desarrollo central, se trabajó el problema de segmentación no local, considerando el funcional planteando por Jung et al. en 2011. Se prueba que en el caso unidimensional el funcional no es adecuado en el sentido del Gamma-límite obtenido, el cual no penaliza el conjunto de discontinuidades de la señal u. A partir de esto, se propone un funcional modificado que, bajo ciertas suposiciones sobre la función de peso no local w(x,y), permite obtener un término que es equivalente como semi-norma a la semi-norma de Slobodeckij, lo que implica que el funcional quede definido en el espacio H^s\times H^1, donde H^s es el espacio de Sobolev fraccionario con s en (1/2,1). Se prueba rigurosamente la Gamma-convergencia a un funcional que se puede interpretar como el funcional de Mumford-Shah relajado con gradiente no local. Este resultado es relevante porque en este caso el Gamma-límite sí penaliza el conjunto de discontinuidades de la señal u, que es el comportamiento deseado para estos funcionales. A continuación, se exponen las llamadas funciones de Gabor generalizadas, para ser utilizadas en la aproximación de una señal, utilizándose como ejemplo las splines exponenciales (complejas), que corresponden a funciones trigonométricas con soporte compacto, permitiendo aproximar una señal en diferentes niveles de resolución. Finalmente, se presenta la implementación numérica de los modelos considerados, partiendo por filtros no locales, modelos de segmentación local y no local, y concluyendo con la aproximación por splines exponenciales. Se exponen simulaciones numéricas que permiten comparar diversos métodos además de explorar las ventajas y limitaciones de cada método en particular, concluyendo que existe evidencia de que estos métodos efectivamente permiten mejorar el análisis de señales e imágenes que contienen texturas.

The biological example of vibrissa-type sensors in the animal realm is attributed with impressive sensing capabilities. A recently discovered ability is the surface discrimination task. Preceding research on the topic elaborated certain hypotheses for the functionality of the sensor. The scientific work is predominantly based on an empirical approach closely related to the biological example. Complex and highly nonlinear mechanical interrelations and tribological aspects of the contact frequently remain unconsidered. In the interplay between the properties of the biological example and the desired technical realization of the sensor concept, the present thesis incrementally develops a complex mechanical model. Its purely numerical treatment is based on the finite element method framed in the software package ANSYS. Following three modeling stages, the nonlinear structural model is successively implemented firstly enhancing the contact formulation and secondly including dynamic effects in the computation. The attributes of the biological example like elastic support, pre-curvature and conicity are incorporated and their effects are related to the desired sensor function. Beside the characteristic of the sensor system, elaborated through parameter studies, special emphasis is placed on the determination of the working range and its limiting borderlines as well as the uncovering of problematic aspects of the concept. The complex picture of the static behavior of the sensor system is complemented by a first dynamic calculation in close proximity to an experiment, which is conducted in parallel. The juxtaposition of the outcomes are interpreted and a proposal for a measurement strategy is outlined. / Tesis

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En esta tesis definimos dos adaptaciones no-lineales del análisis de componentes principales, para el estudio de la variabilidad de datos conformados por medidas de probabilidad y por imágenes. En el Capitulo 2 introducimos el método de análisis de componentes principales geodésico (ACPG) en el espacio de medidas de probabilidad en la línea real, con segundo momento finito, dotado de la métrica de Wasserstein. Apoyándonos en la estructura pseudo-riemanniana del espacio de Wasserstein, definimos el ACPG basado en adaptaciones del ACP a variedades, propuestas en la literatura. En este contexto, el ACPG se define por medio de un problema de minimización sobre el espacio conformado por los subconjuntos geodésicos del espacio de Wasserstein. Usando argumentos de compacidad y de gama-convergencia, establecemos la consistencia del método, demostrando que el ACPG converge a su contraparte poblacional, cuando el tamaño de la muestra crece a infinito. Discutimos las ventajas de este método, respecto a un ACP funcional estándar de medidas de probabilidad en el espacio de Hilbert de funciones a cuadrado integrable. Con el fin de mostrar los beneficios de este procedimiento para el análisis de datos, exhibimos algunos ejemplos ilustrativos en un modelo estadístico simple. En el Capitulo 3 describimos el método de análisis de componentes principales geométrico (ACP geométrico) para analizar los modos principales de variación geométrica de un conjunto de imágenes. En este contexto proponemos modelar la variabilidad geométrica de las imágenes, respecto a un patrón medio de referencia, por medio de un operador de deformación parametrizado por un espacio de Hilbert. El ACP geométrico consta de dos etapas: (1) registro de imágenes usando un operador de deformación y (2) ACP estándar en los parámetros asociados a las deformaciones. La consistencia del procedimiento es analizada en el contexto de un modelo estadístico de patrón deformable, con una doble asíntota, donde el número de observaciones tiende a infinito y el ruido aditivo converge a cero. Para destacar los beneficios de este procedimiento, describimos un algoritmo y su aplicación a algunos experimentos numéricos con imágenes reales.

Los métodos numéricos de alto orden, necesarios para la discretización espacial, son una de las áreas más activas del campo de la dinámica de fluidos computacional (CFD en sus siglas en inglés). Dentro de estos, los Métodos de Volúmenes Finitos (MVF) han encontrado difcultades en la implementación de los procesos de reconstrucción. En el presente trabajo presentamos e implementamos en Python un novedoso proceso de reconstrucción compacto de alto orden propuesto por Q. Wang [22]. La novedad yace en que el orden alto es alcanzado usando un estencil compacto; es decir, usando únicamente celdas vecinas. En este proceso se obtiene un conjunto de relaciones que sirven para obtener los coeficientes de los polinomios de reconstrucción sobre los volúmenes de control de interés preservando sus valores promedios y el de sus derivadas. Con estas relaciones obtenemos un sistema lineal sobredeterminado que al ajustarse por mínimos cuadrados resultan en un sistema tridiagonal por bloques para el caso de una ecuación de advección 1D. Para esta ecuación de advección usamos además el Análisis de Fourier para examinar los números de onda modificados por el MVF compacto. La reconstrucción incluye parámetros que son optimizados para mejorar las propiedades de dispersión/disipación. Así mismo, el análisis de estabilidad de von Neumann nos permite estimar el número CFL (Courant Friedrich Levy) máximo para dos métodos de Runge-Kutta. Finalmente, validamos tanto los órdenes de convergencia de la combinación del MVF compacto con dos esquemas de Runge-Kutta como los parámetros óptimos de los esquemas de reconstrucción. / The numerical methods of high order, necessary for spatial discretization, are one of the most active areas of the field of Computational Fluid Dynamics. Within these, Finite Volume Methods (abbreviated as MVF in spanish) have encountered difficulties in the implementation of reconstruction processes. In the present work we present a novel high order compact reconstruction process proposed by Q. Wang [22], and implemented in Python. The novelty lies in that high order is achieved using a compact stencil, that is, using only neighboring cells. In this process we obtain a set of relations that are constructed to obtain the coefficients of reconstruction polynomials on the control volumes of interest, preserving their average values and that of their derivatives. With these relations we obtain an overdetermined linear system that is adjusted by least squares resulting in a tridiagonal system by blocks in the case of a 1D advection equation. For this advection equation we also use the Fourier Analysis to examine the wave numbers modified by the compact MVF. The reconstruction includes parameters that are optimized to improve the dispersion / dissipation properties. Furthermore, the von Neumann stability analysis allows us to estimate the maximum CFL number for two Runge-Kutta methods. Finally, we validate the convergence orders of the combination of the compact MVF with two schemes of Runge-Kutta and we also validate the optimal parameters of the reconstruction schemes. / Tesis

No es frecuente encontrar un campo donde dos ramas principales de la Física estén involucradas. La Magnetohidrodinámica es uno de tales campos debido a que involucra a la Mecánica de Fluidos y al Electromagnetismo. Aun cuando puede parecer que esas dos ramas de la Física tienen poco en común, comparten similitudes en las ecuaciones que gobiernan los fenómenos involucrados en ellas. Las ecuaciones de Navier-Stokes y las ecuaciones de Maxwell, ambas en la raíz de la Magnetohidrodinámica, tienen una condición de divergencia nula y es esta condición de divergencia nula sobre la velocidad del fluido y el campo magnético lo que origina algunos de los problemas numéricos que surgen en la modelación de los fenómenos donde el flujo de fluidos y los campos magnéticos están acoplados.El principal objetivo de este trabajo es desarrollar un algoritmo eficiente para la resolución mediante elementos finitos de las ecuaciones de la Magnetohidrodinámica de fluidos incompresibles.Para lograr esta meta, los conceptos básicos y las características de la Magnetohidrodinámica se presentan en una breve introducción informal.A continuación, se da una revisión completa de las ecuaciones de gobierno de la Magnetohidrodinámica, comenzando con las ecuaciones de Navier-Stokes y las ecuaciones de Maxwell. Se discute la aproximación que da origen a las ecuaciones de la Magnetohidrodinámica y finalmente se presentan las ecuaciones de la Magnetohidrodinámica.Una vez que las ecuaciones de gobierno de la Magnetohidrodinámica han sido definidas, se presentan los esquemas numéricos desarrollados, empezando con la linealización de las ecuaciones originales, la formulación estabilizada y finalmente el esquema numérico propuesto. En esta etapa se presenta una prueba de convergencia.Finalmente, se presentan los ejemplos numéricos desarrollados durante este trabajo.Estos ejemplos pueden dividirse en dos grupos: ejemplos numéricos de comparación y ejemplos de internes tecnológico. Dentro del primer grupo están incluidas simulaciones del flujo de Hartmann y del flujo sobre un escalón. El segundo grupo incluye simulaciones del flujo en una tobera de inyección de colada continua y el proceso Czochralski de crecimiento de cristales. / It is not frequent to find a field where two major branches of Physics are involved. Magnetohydrodynamics is one of such fields because it involves Fluid Mechanics and Electromagnetism. Although those two branches of Physics can seem to have little in common, they share similarities in the equations that govern the phenomena involved. The Navier-Stokes equations and the Maxwell equations, both at the root of Magnetohydrodynamics, have a divergence free condition and it is this divergence free condition over the velocity of the fluid and the magnetic field what gives origin to some of the numerical problems that appear when approximating the equations that model the phenomena where fluids flow and magnetic fields are coupled.The main objective of this work is to develop an efficient finite element algorithm for the incompressible Magnetohydrodynamics equations.In order to achieve this goal the basic concepts and characteristics of Magnetohydrodynamics are presented in a brief and informal introduction.Next, a full review of the governing equations of Magnetohydrodynamics is given, staring from the Navier-Stokes equations and the Maxwell equations. The MHD approximation is discussed at this stage and the proper Magnetohydrodynamics equations for incompressible fluid are reviewed.Once the governing equations have been defined, the numerical schemes developed are presented, starting with the linearization of the original equations, the stabilization formulations and finally the numerical scheme proposed. A convergence test is shown at this stage.Finally, the numerical examples performed while this work was developed are presented. These examples can be divided in two groups: numerical benchmarks and numerical examples of technological interest. In the first group, the numerical simulations for the Hartmann flow and the flow over a step are included. The second group includes the simulation of the clogging in a continuous casting nozzle and Czochralski crystal growth process.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / Si se representa un medio poroso por medio de una red de tubos por los cuales puede circular un fluido, el problema de escurrimiento a través de un medio poroso se transforma en un problema de cálculo de caudales en una red de tubos interconectadas. La solución de este último problema hace uso de las leyes de conservación clásicas en mecánica de fluidos, complementadas con leyes de comportamiento adecuadas, como lo son los fluidos newtonianos y fluidos tipo Bingham. En cada tubo se hacen simplificaciones tales como suponer un problema cuasiestático, lo que permite trabajar con problemas unidimensionales (acoplados en las conexiones de los tubos) de resolución numérica simple. A continuación, se programa un algoritmo que modela el flujo por una red de tubos capilares que simula un medio poroso. El programa se caracteriza por su versatilidad para poder simular distintos fluidos, y mallas con distintas geometrías. Se realizan distintos experimentos donde se compara con datos experimentales y con la literatura asociada, con el fin de darle mayor robustez al programa.

Las metodologías de análisis de riesgos precisan cuantificar el riesgo, lo que en general implica estimar, para un determinado estado inicial del sistema presa-embalse, y para los diversos modos de fallo, tanto la probabilidad de los eventos de solicitación como la probabilidad condicional de la respuesta del sistema presa-embalse dado un determinado evento de solicitación, así como estimar las consecuencias sobre el medio, dada una determinada respuesta del sistema. Fraccionado así el problema, la presente tesis doctoral se centra en el estudio de la segunda de las probabilidades expuesta, es decir, en la cuantificación de la probabilidad condicional de la respuesta del sistema, dado un determinado evento de solicitación, y para el caso particular de presas de hormigón. En el contexto del análisis de riesgos, para obtener esta probabilidad se dispone de tres métodos: referencias históricas, emisión de probabilidades y, finalmente, técnicas de análisis basadas en fiabilidad. La cuestión de la estimación de las probabilidades de la respuesta de un sistema complejo como el sistema presa-embalse ha estado sujeta desde los inicios del análisis de riesgos a controversia y discusión por parte de la comunidad presística. Con este escenario de partida, se presenta en esta tesis doctoral una metodología para mejorar y dotar de mayor robustez a la estimación de la probabilidad condicional de la respuesta del sistema presa-embalse, para el caso de presas de hormigón, que incorpora el empleo de modelos de comportamiento complejos mediante técnicas de simulación numérica, sobre los cuales se aplican técnicas de fiabilidad de diversos niveles de exactitud, y, en particular, técnicas de fiabilidad Nivel 3, mediante simulaciones por el método de Monte Carlo. La variabilidad espacial y temporal de las variables (acciones y propiedades de los materiales) y la incertidumbre inherente a los mismos se considera mediante las correspondientes funciones de probabilidad. / Altarejos García, L. (2009). Contribución a la estimación de la probabilidad de fallo de presas de hormigón en el contexto del análisis de riesgos [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/7350