Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En el clásico problema de tiempo de parada óptimo conocido como Desigualdad del profeta realizaciones de variables positivas e independientes son descubiertas secuencialmente. Una jugadora que conoce las distribuciones, pero no puede ver en el futuro, debe decidir cuándo parar y tomar la última variable revelada. Su objetivo es maximizar la esperanza de lo obtenido y su rendimiento está dado por el peor caso del cociente entre la esperanza de que obtiene y la esperanza de lo que obtendría un profeta (que puede ver en el futuro y así siempre elegir el máximo). En los setenta, Krengel y Sucheston, y Garling, [16] determinaron que el rendimiento de una jugadora puede ser una constante y que 1/2 es la mejor constante. En la última década, la desigualdad del profeta ha resurgido como un problema importante dada su conexión con "Posted Price Mechanisms", una teoría usada en ventas en línea. Una variante de particular interés es "Prophet Secretary", donde la única diferencia es que las relaciones son descubiertas en orden aleatorio. Para esta variante, varios algoritmos logran un rendimiento de 1 − 1/e ≈ 0.63 y recientemente Azar et al. [2] mejoraron este resultado. En cuanto a cotas superiores, se sabe que una jugadora no puede hacerlo mejor que 0.745, en el límite sobre el tamaño de la instancia. En esta tesis se deriva una forma de analizar estrategias que dependen sólo del tiempo: dada una instancia, se calcula una secuencia decreciente de exigencias que son usadas para decidir si parar o no. La jugadora tomará el primer valor que supere la exigencia correspondiente al momento en que fue descubierta. Específicamente, se considera una clase robusta de estrategias que denominamos "blind strategies". Constituyen una generalización de fijar una sola exigencia para todo el proceso y consisten en fijar una función, independiente de la instancia, que determina cómo calcular las exigencias una vez la instancia es conocida. El resultado principal es que la jugadora logra un rendimiento de al menos 0.669, superando el estado del arte (Azar et al. [2]) tanto para "Prophet Secretary" como para la variante en la que la jugadora tiene la libertad de escoger el orden en que descubre las variables (Beyhaghi et al [3]). El análisis se reduce a estudiar la distribución del tiempo de parada inducido por estas estrategias, a través de la teoría de Schur-convexidad. También, se demuestra que este tipo de estrategias no pueden lograr más que 0.675, a través de calcular el rendimiento óptimo de la jugadora contra dos instancias particulares, resolviendo un problema de control óptimo. Finalmente, se demuestra que el conjunto más amplio de estrategias no adaptativas no pueden lograr más de √3 − 1 ≈ 0.73, cota que también mejora el estado del arte en cotas superiores para estrategias simples (Azar et al [2]). Se considera una estrategia como no adaptativa si al decisión de parar depende del valor, la identidad y el tiempo en que fue descubierta la variable, pero no toma en cuenta la identidad de las variables anteriores. / CONICYT-Chile, ECOS-CONICYT, Google y CMM - Conicyt PIA AFB170001

Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo de tesis se presenta un estudio sobre la veracidad de la conjetura no local de Lazer-Mckenna para un problema de tipo Ambrosetti-Prodi \begin{equation}\label{ProblemaPrincipal} \begin{cases} (-\Delta)^s = g(u)-\sigma\varphi_1 & \text{ en } \O\\ u=0 & \text{ en } \R^N\setminus \O, \end{cases}\end{equation} donde $\O$ es un subconjunto de $\R^N$ con frontera $C^1$, $s\in(0,1)$, $\varphi_1$ es la primera función propia del laplaciano fraccionario $(-\Delta)^s$ con condición de borde Dirichlet, $\sigma$ es un parámetro real que tiende a infinito y $g(u)=|u|^p$, con $p\in(1,\frac{N-m+1+2s}{N-m+1-2s})$ para $m\in \N$ a definir más adelante y es super-crítico con respecto a $N$. Además $\O$ cumple una condición de simetría parcial que será expuesta más adelante. Más en concreto, la conjetura de Lazer-McKenna predice la existencia de un número no acotado de soluciones a medida que $\sigma$ crece a infinito. A pesar de que la conjetura fue planteada en 1981, solo hasta inicios del siglo XXI se produjeron resultados con la identificación del caso $N$-dimensional y subcrítico como un problema de límites singulares. Este trabajo prueba la veracidad de la conjetura para \eqref{ProblemaPrincipal}. Se probó en este trabajo la existencia de una familia de soluciones indexada por un parámetro natural que presentan concentración en una esfera $m-1$ dimensional cerca de máximos locales de $\varphi_1$. A fin de lograr este propuesto se usó el método Lyapunov-Schmidt, el cual consiste en buscar soluciones de la forma $U+v$, donde $U$ es una función escogida adecuadamente para lograr las propiedades buscadas. Más en concreto $U$ resulta ser una solución fundamental de \eqref{ProblemaPrincipal} para el cual se conocen además su comportamiento asintótico. $v$ por otro lado es un termino de corrección que por lo general se espera que tienda a cero cuando $s$ crece al infinito. Esto va muy en concordancia con los trabajos de Dancer y Yan en \cite{DY,DY2,DY-Supercritico} y los de Abdellaoui, Dieb y Mahmoudi en \cite{Mahmoudi-Boumediene-Dieb}. / Fondecyt regular 1180526, Fondecyt regular 1140311 y CMM Conicyt PIA AFB170001