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1	Sobre la conjetura de Lazer-McKenna en el caso no local con potencial superlineal bajo condición de simetría parcial en el dominio: Caso crítico y supercrítico Nanjari Díaz, Yasser January 2019 (has links) Tesis para optar al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo de tesis se presenta un estudio sobre la veracidad de la conjetura no local de Lazer-Mckenna para un problema de tipo Ambrosetti-Prodi \begin{equation}\label{ProblemaPrincipal} \begin{cases} (-\Delta)^s = g(u)-\sigma\varphi_1 & \text{ en } \O\\ u=0 & \text{ en } \R^N\setminus \O, \end{cases}\end{equation} donde $\O$ es un subconjunto de $\R^N$ con frontera $C^1$, $s\in(0,1)$, $\varphi_1$ es la primera función propia del laplaciano fraccionario $(-\Delta)^s$ con condición de borde Dirichlet, $\sigma$ es un parámetro real que tiende a infinito y $g(u)=\|u\|^p$, con $p\in(1,\frac{N-m+1+2s}{N-m+1-2s})$ para $m\in \N$ a definir más adelante y es super-crítico con respecto a $N$. Además $\O$ cumple una condición de simetría parcial que será expuesta más adelante. Más en concreto, la conjetura de Lazer-McKenna predice la existencia de un número no acotado de soluciones a medida que $\sigma$ crece a infinito. A pesar de que la conjetura fue planteada en 1981, solo hasta inicios del siglo XXI se produjeron resultados con la identificación del caso $N$-dimensional y subcrítico como un problema de límites singulares. Este trabajo prueba la veracidad de la conjetura para \eqref{ProblemaPrincipal}. Se probó en este trabajo la existencia de una familia de soluciones indexada por un parámetro natural que presentan concentración en una esfera $m-1$ dimensional cerca de máximos locales de $\varphi_1$. A fin de lograr este propuesto se usó el método Lyapunov-Schmidt, el cual consiste en buscar soluciones de la forma $U+v$, donde $U$ es una función escogida adecuadamente para lograr las propiedades buscadas. Más en concreto $U$ resulta ser una solución fundamental de \eqref{ProblemaPrincipal} para el cual se conocen además su comportamiento asintótico. $v$ por otro lado es un termino de corrección que por lo general se espera que tienda a cero cuando $s$ crece al infinito. Esto va muy en concordancia con los trabajos de Dancer y Yan en \cite{DY,DY2,DY-Supercritico} y los de Abdellaoui, Dieb y Mahmoudi en \cite{Mahmoudi-Boumediene-Dieb}. / Fondecyt regular 1180526, Fondecyt regular 1140311 y CMM Conicyt PIA AFB170001 Análisis matemático Laplaciano fraccionario Conjetura de Lazer-McKenna
2	Análisis no Lineal para un Retículo Elástico y para un Laplaciano fraccionario. Tan, Jinggang January 2008 (has links) El primer problema abordado en esta tesis es la demostración de existencia de soluciones periódicas para un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que modela el movimiento de un retículo elástico dos dimensional. Más precisamente, el estado de cada punto l = 1, 2, N del retículo se representada por ul(x, t). Este sistema con condiciones periódicas de Dirichlet posee un Hamiltoniano con energía cinética PN l=1 � π 0 � 2π 0 (\|@tul\|2 − \|@xul\|2) dxdt y energía potencial PN l=1 � π 0 � 2π 0 \|ul+1−ul\|p+1 p+1 dxdt, donde uN+1 = u1. Puesto que el retículo elástico involucra al operador de ondas @tt −@xx, el funcional correspondiente es fuertemente indefinido. En el caso autónomo, aplicamos el teorema del enlace de Benci y Rabinowitz a este funcional definido en un espacio Hilbert, lo cual conduce a la existencia de infinitas soluciones periódicas. Para tratar el caso de un retículo forzado, debemos utilizar métodos globales si las fuerzas externas no son peque˜nas. Nuestro estudio se basa también en métodos clásicos en ecuaciones en derivadas parciales del cálculo variacional que son inspirados por el caso autónomo. La demostración de infinitas soluciones en el caso forzado se basa en el método de perturbación de simetría, que fue desarrollado por Bahri, Berestycki, Struwe, Rabinowitz y Tanaka. Combinando las estimaciones del ´ındice de Morse y el análisis del espectro del operador de ondas multidi-mensional, y tambi´en usando un teorema de puntos críticos de Rabinowitz, establecemos la existencia de un número infinito de soluciones periódicas. La segunda parte de esta tesis está consagrada al estudio de problemas no lineales que involucran un operador positivo no local: la raíz cuadrada del Laplaciano −Δ en un dominio acotado Ω de Rn con condición de Dirichlet nula en la frontera. Designamos a este operador por A1/2 y estudiamos problemas no lineales A1/2u = f(u) en Ω y u = 0 sobre @Ω con métodos de cálculo variacional en ecuaciones en derivadas parciales. Una herramienta importante en nuestro análisis es realizar este problema no local a través de un problema local en el semi cilindro Ω × (0, 1) con condiciones no lineales de Neumann en la parte Ω × {0} de la frontera del semi-cilindro y con condición nula de Dirichlet en la parte @Ω × [0, 1) del borde. Demostramos una fórmula de tipo Pohozaev para conseguir un resultado de no existencia en los casos crítico y súper-crítico cuando Ω es estrellado: f (u) = up, para p ≥ n+1 n−1 . Establecemos la existencia de soluciones positivas para el caso subcrítico 1 < p < n+1 n−1 en cualquier dominio acotado, y en el caso cr´ıtico con una peque˜na perturbación usando la técnica de Brézis y Nirenberg: f(u) = u n+1 n−1 + μu, (µ > 0). Demostramos la regularidad y una estimación L∞ de soluciones débiles. También obtenemos un resultado de simetría de tipo Gidas-Ni-Nirenberg usando el método de los planos móviles. Matemática Análisis no lineal Teoría de puntos críticos Reticulos elásticos Laplaciano fraccionario
3	Fully linear elliptic equations and semilinear fractionnal elliptic equations Chen, Huyuan 10 January 2014 (has links) Cette thèse est divisée en six parties. La première partie est consacrée à l'étude de propriétés de Hadamard et à l'obtention de théorèmes de Liouville pour des solutions de viscosité d'équations aux dérivées partielles elliptiques complètement non-linéaires avec des termes de gradient, ... / This thesis is divided into six parts. The first part is devoted to prove Hadamard properties and Liouville type theorems for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with gradient term ... Propriété d'Hadamard Théorème de typr Liouville Solutions de ciscosité Laplacien fractionnaire Existence Unicité Comportement asymptotique Grandes solutions Mesures de Radon Mesure de Dirac Noyau de Green Capacité de Bessel Singularités isolées Solutions faibles Singularité faible Singularité forte Hadamard property Liouville type theorem Viscosity solution Fully nonlinear elliptic PDE Fractional Laplacian Existence Uniqueness Asymptotic behavior Blow-up solution Radon measure Dirac mass Green kernel Bessel capacities Isolated singularity Weak solution Weak singular solution Strong singular solution Propiedad de Hadamard Teorema del tipo de Liouville Soluciones Viscosas EDP elípticas completamente no lineales Laplaciano fraccionario Existencia, Unicidad Comportamiento asimptótico Soluciones blow-up Medida de Radon Masa de Dirac Núcleo de Green Capacidades de Bessel Singularidad aislada Soluciones débiles Soluciones singulares débiles Soluciones singulares fuertes

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