Il est fondamental, dans beaucoup de domaines (étude de la<br />turbulence , traitement du signal), mais également d'un point de vue théorique, de pouvoir détecter et caractériser les singularités d'une fonction ou d'une distribution. Pour mesurer la régularité autour d'un point $x_0$ d'une fonction $f$, on utilise souvent l'exposant ponctuel de \ho de $f$ en $x_0$, noté $\alp(x_0)$. Mais cet exposant n'est pas suffisant pour décrire entièrement les comportements locaux.<br /><br />L'exposant de \ho local, noté $\all(x_0)$, permet de compléter les<br />informations procurées par $\alp(x_0)$. Les relations entre les<br />fonctions $x\ra \all(x)$ et $x\ra\alp(x)$ sont complètement mises a<br />jour.<br /><br />Les espaces 2-microlocaux, notés $\css'$, permettent de généraliser la notion d'exposant de régularité. Une caractérisation temporelle des espaces $\css'$ pour les fonctions $C^\ep$ ($\ep>0$) est démontrée. Cela s'avère utile en traitement du signal, car accessible numériquement (FRACLAB).<br /><br />Les espaces $\css'$ permettent d'associer à un point non plus un ou<br />plusieurs exposants, mais une courbe dans $\R^2$ appelée frontière<br />2-microlocale. Cette dernière englobe les exposants cités plus<br />haut, et donne une description géométrique de la régularité<br />locale. On montre que la frontière 2-microlocale d'une distribution $f$ en $x_0$ est la transformée de Legendre d'une fonction $\chi_(x_0)$ appelée (\em spectre 2-microlocal): on parle du formalisme 2-microlocal. $\chi_(x_0)$ est lié au comportement des coefficients d'ondelettes de $f$ autour de $x_0$. L'étude de<br />$\chi_(x_0)$ et du formalisme 2-microlocal s'avère fructueuse: les<br />liens avec les exposants sont explicités, des propriétés<br />nouvelles de la régularité sont mises en évidence. Le calcul de<br />$\chi_(x_0)$ est effectué pour plusieurs fonctions classiques ou<br />originales.<br /><br />Deux applications du spectre 2-microlocal à l'analyse multifractale<br />sont présentées. Nous proposons la construction de fonctions et<br />processus multifractals. étant donnée une mesure de Borel positive<br />$\mu$ et deux réels positifs $s_0$ et $p_0$ vérifiant<br />$s_0-1/p_0>0$, on étudiera la fonction $F_\mu$ <br />$$F_\mu(x)=\sum_(j\geq 0) \sum_(k\in \mathbb(Z)) \pm<br />2^(-j(s_0-\frac(1)(p_0))) |\mu\big ([k2^(-j),(k+1)2^(-j))\big<br />)|^(\frac(1)(p_0)) \psijk(x).$$ Si $\mu$ satisfait un certain<br />formalisme multifractal (proche du formalisme usuel) pour les mesures, alors la fonction $F_\mu$ satisfait au formalisme multifractal pour les fonctions. Ce résultat s'applique aux grandes classes de mesures multifractales: quasi-Bernoulli, cascades de Mandelbrot, ... En particulier, on résout ainsi la conjecture de Arnéodo, Bacry, Muzy sur la valeur du spectre de leurs cascades aléatoires d'ondelettes, qui servaient de modèle à un fluide turbulent.<br /><br />Enfin la relation entre présence d'oscillations et validité du<br />formalisme multifractal est étudiée. Ce travail a une conséquence<br />inattendue: on montre qu'un seuillage effectué sur les coefficients<br />d'ondelettes peut créer des singularités oscillantes et faire<br />échouer le formalisme.

L'objectif principal de cette thèse était de parvenir à un outil de gestion fiable des bassins de rétention d'eaux pluviales en utilisant les données radar en bande X. Il s’est avéré que cela nécessite plusieurs développements de recherche. Le cas d’étude considéré comprend un bassin de 10000 m3 situé en Val-de-Marne et construit en aval d'un bassin versant urbain de 2.15 km2. Il assure un double rôle de traitement des eaux pluviales et de prévention des inondations par stockage du volume. Opérationnellement les modes de gestion associés à chacun de ces objectifs sont antagonistes si bien qu’une gestion prédictive a été mise en place ; exploitation routinière en mode anti-pollution et basculement vers le mode anti-inondation en cas de besoin. Il doit se faire sur la base d’une connaissance sûre de la situation pluvieuse prévue à court terme. Une façon courante de répondre aux besoins opérationnels de la gestion prédictive est de mettre en place un système d’alerte basé sur l’utilisation des données radar. Le système CALAMAR par exemple, repose sur l’utilisation des données radar brutes à mono polarisation du réseau radar de Météo-France; traitées avec des méthodes de conversion classiques Z-R et une calibration avec des pluviomètres. Cependant, la fiabilité de ce système fait débat, notamment vis-à-vis de la qualité de la mesure radar obtenue. Une nouvelle méthodologie de comparaison de produits radar a été développée au cours de cette thèse. Elle repose sur le cadre théorique des multifractals et permet une comparaison de la structure et de la morphologie des champs de précipitations dans l'espace et le temps à travers les échelles. Cette méthode a d'abord été appliquée sur les produits CALAMR et Météo-France, puis, pour confirmer certains des résultats, sur les premières données d’un radar bande X, acquis par l’Ecole des Ponts ParisTech dans le cadre du projet Européen RainGain et fournissant des mesures de précipitations à des échelles plus fines (jusqu’à 100m en espace et 1 min en temps). Les résultats obtenus mettent en évidence non seulement l'influence cruciale des méthodes de traitement des données brutes sur la variabilité spatio-temporelle à travers les échelles, mais permettent également de prédéfinir les conditions dans lesquelles la calibration CALAMAR peut aggraver la qualité des mesures. Elles seraient très difficiles à détecter par les méthodes classiques largement répandues, n’impliquant qu’un nombre très limité de pixels radar (seulement ceux correspondants aux pluviomètres au sol). Des extensions de la méthodologie proposée ouvriront de nouveaux horizons pour la calibration des données de pluie. Alors que la littérature scientifique, notamment autour expériences TOMACS au Japon et CASA aux Etats-Unis, souligne l’importance opérationnelle d’une mesure de pluie plus détaillée grâce au radar en bande X, son impact sur les performances des modèles hydrologiques fait encore débat. Les recherches antérieures, basée pour la plupart sur des modèles conceptuels, ne sont pas concluantes. Ainsi pour dépasser ces limites, nous avons utilisé deux modèles impliquant des approches de modélisation différentes : CANOE (semi-distribué et conceptuel) et Multi-Hydro (distribué et à base physique ; développé à l’ENPC). Une version opérationnelle de CANOE et une nouvelle configuration plus fine améliorant considérablement la sensibilité du modèle à la variabilité de la pluie ont été utilisées. Plusieurs développements ont été apportés à Multi-Hydro, y compris une optimisation de sa résolution, ce qui améliore grandement l'ensemble de ses fonctionnalités. Il ressort de ce travail qu’en prenant en compte la variabilité spatio-temporelle des précipitations à petite échelle, la performance des modèles hydrologiques peut être augmentée jusqu'à 20%.Nous pensons que cette thèse a contribué à la mise au point de nouveaux outils opérationnels, fiables ayant la capacité de prendre en compte les données en bande X haute résolution / The main goal of this thesis was to achieve a reliable management tool of storm water storage basins using high resolution X-band radar. It turned out that it required several research developments. The analysed case study includes a retention basin of 10000 m3 located in Val de Marne county downstream of a 2.15 km2 urban catchment. It has a twofold goal: storm water decontamination and flood protection by volume storage. Operationally the management strategies associated with these two aims are conflicting; hence, a predictive management has been set up: a routine exploitation of the basin in the anti-pollution mode, and a switch to the flood protection mode when needed. It should be based a reliable knowledge of short-term rainfall forecasts. A common way to respond to operational needs of the predictive management is to set up a warning system based on the use of radar data. For example, the CALAMAR system relies on the use of single-polarization raw radar data, coming from Meteo-France radar network, being processed with the conventional Z-R conversion methods followed by a calibration with rain gauge. However, the reliability of such warning systems has been subject to debate, often due to a questionable quality of the resulting radar rainfall estimates, compared to local rain gauges. Therefore a new methodology for more meaningful comparison of radar rainfall field products was developed during this PhD project. Being rooted to the multifractal theory, it allows a comparison of the structure and the morphology of rainfall fields in both space and time through scales. It was initially tested on CALAMAR and Meteo-France rainfall products before being applied for results confirmation on initial data from a X band radar, acquired by Ecole des Ponts ParisTech in the framework of the European project RainGain and providing data at higher resolution (up to 100 m in space and 1 min in time). The obtained results not only highlight the crucial influence of raw data processing on the scaling behaviour, but also permit to pre-define the conditions when the CALAMAR optimization may worsen the quality of rainfall estimates. Such conditions would be very difficult to detect with widely used conventional methods, which rely on a very limited number of radar pixels (only those containing rain gauges). Further extensions of the proposed methodology open new horizons for the rainfall data merging. While the scientific literature, notably around the TOMACS experiment in Japan and CASA one in the United States, highlights the operational benefits of higher resolution rainfall measurements thanks to X-band radars, its impact on the performance of hydrological models still remains a subject of debate. Indeed previous research, mainly based on conceptual models remains inconclusive. To overcome these limitations, we used two models relying on two very distinct modelling approaches: CANOE (semi-distributed and conceptual) and Multi-Hydro (fully distributed and physically based research model developed at ENPC). An operational version of CANOE and a new much finer configuration, which increases the sensitivity of the model to spatio-temporal variability of small-scale rainfall, were used. Several extensions of the Multi-Hydro were developed, including an optimization of its resolution, which greatly improves its whole functionality. It appears from this work that by taking into account the spatial and temporal variability of small-scale rainfall, the performance of hydrologic models can be increased up to 20%.Overall, we believe that this dissertation contributes to the development of new, reliable, operational tools to use in their full extent the high-resolution X-band data