In this thesis we investigate the convergence of Euler's and Yosida approximations of operator semigroups. We obtain asymptotic expansions for Euler's approximations of semigroups with optimal bounds for the remainder terms. We provide various explicit formulas for the coefficients for these expansions. For Yosida approximations of semigroups we obtain two optimal error bounds with optimal constants. We also construct asymptotic expansions for Yosida approximations of semigroups and provide optimal bounds for the remainder terms of these expansions. / Disertacijoje tiriamas operatorių pusgrupių Eulerio ir Josidos approximacijų konvergavimas. Gauti Eulerio aproksimacijų asimptotiniai skleidiniai ir optimalūs liekamųjų narių įverčiai. Taip pat pateiktos įvairios šių skleidinių koeficientų analizinės išraiškos. Josidos aproksimacijoms buvo rasti du optimalūs konvergavimo greičio įverčiai su optimaliomis konstantomis. Taip pat gauti Josidos aproksimacijų asimptotiniai skleidiniai ir liekamųjų narių įverčiai.

L'objectif de ce travail est la résolution des équations intégrales singulières à noyau Cauchy. On y traite les équations singulières de Cauchy de première espèce par la méthode des approximations successives. On s'intéresse aussi aux équations intégrales à noyau de Cauchy de seconde espèce, en utilisant les polynômes trigonométriques et les techniques de Fourier. Dans la même perspective, on utilise les polynômes de Tchebychev de quatrième degré pour résoudre une équation intégro différentielle à noyau de Cauchy. Ensuite, on s'intéresse à une autre équation intégro-différentielle à noyau de Cauchy, en utilisant les polynômes de Legendre, ce qui a donné lieu à développer deux méthodes basées sur une suite de projections qui converge simplement vers l'identité. En outre, on exploite les méthodes de projection pour les équations intégrales avec des opérateurs intégraux bornés non compacts et on a appliqué ces méthodes à l'équation intégrale singulière à noyau de Cauchy de deuxième espèce / The purpose of this thesis is to develop and illustrate various new methods for solving many classes of Cauchy singular integral and integro-differential equations. We study the successive approximation method for solving Cauchy singular integral equations of the first kind in the general case, then we develop a collocation method based on trigonometric polynomials combined with a regularization procedure, for solving Cauchy integral equations of the second kind. In the same perspective, we use a projection method for solving operator equation with bounded noncompact operators in Hilbert spaces. We apply a collocation and projection methods for solving Cauchy integro-differential equations, using airfoil and Legendre polynomials

Cette thèse est composée de trois chapitres indépendants ayant pour thématique commune la théorie des trajectoires rugueuses. Introduite en 1998 par Terry Lyons, cette approche trajectorielle des équations différentielles stochastiques (EDS) permet l'étude d'EDS dirigées par des processus n'ayant pas la propriété de semi-martingale nécessaire à l'application du cadre de l'intégration d'Itô. C'est par exemple le cas du mouvement brownien fractionnaire pour un indice de Hurst différent d'un demi. Le premier chapitre porte sur les liens entre la théorie des trajectoires rugueuses et celle des structures de régularité qui a été récemment introduite par Martin Hairer pour résoudre une large classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous exposons, avec les outils de cette nouvelle théorie, la définition de l'intégrale rugueuse et de la signature d'une trajectoire irrégulière, ce qui nous mène à la résolution d'équations différentielles rugueuses (EDR). Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la construction de flots d'EDR à partir de leurs approximations en temps petit, appelées presque flots. Nous montrons que sous des conditions faibles de régularité du presque flot, bien que l'unicité des solutions de l'EDR associée ne soit plus assurée, il est possible de sélectionner un flot mesurable. Notre cadre général unifie les précédentes approches par flot dues à I. Bailleul, A. M. Davie, P. Friz et N. Victoir. Le dernier chapitre s'attache à l'étude d'une inclusion différentielle perturbée par une trajectoire rugueuse, c'est-à-dire d'une EDR dont la dérive est une fonction multivaluée. Nous démontrons, sans hypothèse de convexité et avec différentes conditions de régularité sur la dérive, l'existence de solution. / This thesis consists of three independent chapters in the theme of rough path theory. Introduced in 1998 by Terry Lyons, this pathwise approach to stochastic differential equations (SDE) allows one to study SDE driven by processes that do not have the semi-martingale property which is required to apply the framework of the Itô integral. This is for example the case of the fractional Brownian motion for a Hurst index different from one-half. The first chapter deals with the links between rough path and regularity structure theories. The latter was recently introduced by Martin Hairer to solve a large class of stochastic partial differential equations. With the tools of this new theory, we show how to build the rough integral and the signature of an irregular path, which leads to solve a rough differential equation (RDE). In the second chapter, we focus on building RDE flows from their approximations at small scale, called almost flows. We show that under weak conditions on regularity of almost flows, although the uniqueness of the associated RDE solutions does not hold, we are able to select a measurable flow. Our general framework unifies the previous approaches by flow due to I. Bailleul, A. M. Davie, P. Friz and N. Victoir. In the last chapter, we study of a differential inclusion perturbed by a rough path, i.e. a RDE whose drift is a multivalued function. We prove, without convexity hypothesis and several conditions on the regularity of the drift, the existence of a solution.

Pour un n-uplet de nombres réels, vu comme un point de l'espace projectif, on définit pour chaqueindice d entre 0 et n-1 deux exposants d'approximation diophantienne (un ordinaire et un uniforme)qui mesurent l'approximabilité de celui-ci par des sous-espaces rationnels de dimension d dansl'espace projectif. Il se trouve que ces 2n exposants ne sont pas indépendants les uns des autres.Cette thèse s'inscrit dans l'étude du spectre de tout ou partie de ces exposants, qui a fait l'objet denombreux travaux récents. On utilise notamment les outils récents de la géométrie paramétriquedes nombres pour étudier le spectre des exposants uniforme, et on traite un cas pondéré endimension 2. / Given a n-tuple of real numbers, seen as a point in the projective space, one can define for eachindex d between 0 and n-1 two exponents of diophantine approximation (an ordinary and auniform) which measure the approximability of this n-tuple by rational subspaces of dimension d inthe projective space. These 2n exponents are not independant. This thesis is part of the study fromthe spectrum of all or part of these exponents, which have been much studied recently. We userecent tools coming from the parametric geometry of numbers to study the spectrum of the uniformexponents, and deal with a twisted case in dimension two.

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When traditional linearised theory is used to study free-surface flows past a surface-piercing object or over an obstruction in a stream, the geometry of the object is usually lost, having been assumed small in one or several of its dimensions. In order to preserve the nonlinear nature of the geometry, asymptotic expansions in the low-Froude or low-Bond limits can be derived, but here, the solution invariably predicts a waveless free-surface at every order. This is because the waves are in fact, exponentially small, and thus beyond-all-orders of regular asymptotics; their formation is a consequence of the divergence of the asymptotic series and the associated Stokes Phenomenon. In this thesis, we will apply exponential asymptotics to the study of two new problems involving nonlinear geometries. In the first, we examine the case of free-surface flow over a step including the effects of both gravity and surface tension. Here, we shall see that the availability of multiple singularities in the geometry, coupled with the interplay of gravitational and cohesive effects, leads to the discovery of a remarkable new set of solutions. In the second problem, we study the waves produced by bluff-bodied ships in low-Froude flows. We will derive the analytical form of the exponentially small waves for a wide range of hull geometries, including single-cornered and multi-cornered ships, and then provide comparisons with numerical computations. A particularly significant result is our confirmation of the thirty-year old conjecture by Vanden-Broeck & Tuck (1977) regarding the impossibility of waveless single-cornered ships.

La maîtrise du calcul prévisionnel du comportement dynamique des stators de machines de traction est un enjeu majeur pour le constructeur tant sur le plan de la compréhension de certains phénomènes physiques, que sur le plan de l amélioration de la conception en présence de facteurs mal maîtrisés. La démarche proposée dans ce travail a d abord consisté à construire et valider le modèle d un stator type en effectuant des corrélations calculs-essais et un recalage de modèle. Ceci a permis de caractériser le comportement moyen de cet assemblage hétérogène et surtout d établir des règles de modélisation transposables à d autres types d architectures. L étude s est poursuivie ensuite avec l investigation des incertitudes affectant cette modélisation ainsi que leur propagation. Afin de prendre en compte tous types d incertitudes, aléatoires ou épistémiques, sur une même procédure, une méthode hybride paramétrique non-paramétrique de modélisation et de propagation des incertitudes a été proposée. En raison de la taille importante des modèles industriels des stators, le problème est traité dans un contexte de sous-structuration et revient à réaliser une réanalyse approchée. Afin d assurer un compromis entre un coût de calcul raisonnable et une bonne prédiction des bases de réduction, la méthode des Approximations Combinées a été adaptée à la sous-structuration afin d être intégrée au processus de réanalyse. Outre ses avantages en termes de gain en temps de calcul parrapport à une réanalyse exacte, nous avons également montré sa robustesse par rapport à une méthode de réduction standard ou à une méthode améliorée de type enrichissement par résidus statique. / Mastering numerical simulations of the behaviour of railway stators remains an important challenge for designers. This allows both the understanding of some physical phenomena and the improvement of design in presence of different sources of uncertainties. The approach proposed in this work consists firstly on building and validating a numerical model of a typical design stator. By carrying out numerical-experimental confrontations and updating models, this first step allowed us to characterize the mean behavior of this heterogeneous assembling and mainly to establish generic modeling rules for other design stators. The second part of this work deals with the investigation of uncertainties affecting the structure or its model. In order to take into account all uncertainties types while performing a calculation of uncertainties propagation, a stochastic hybrid method, combining parametric and non-parametric models, was proposed. Because of the large sizes of finite element models of stators, the problem is treated in a component mode synthesis context. It amounts to carry out an approach reanalysis. In order to ensure a good compromise between reasonable calculation times and an acceptable precision, a generalized variant of the Combined Approximations method (VCA) has been introduced and adapted to component mode synthesis. The VCA method allows both a significant gain in computation time, comparing to an exact calculation, and a high robustness performance comparing to a standard reduction method or an improved method by static residual vectors.

Ce doctorat présente une recherche menée en linguistique et en psycholinguistique sur la production de verbes en F.L.S. dans une Approche Fonctionnaliste chez des adultes. Il est important de s’interroger sur les énoncés non conventionnels du type casser un fruit, nommés métaphores, ou erreurs de surextension. Duvignau les a appelés approximations sémantiques à cause de la proximité entre un verbe produit (non conventionnel) et un verbe conventionnel pertinent. L’objectif de ce travail est d’analyser la production d’approximations sémantiques chez les participants étrangers de différents niveaux de F.L.S. Notre hypothèse la plus importante est que la production d’approximations sémantiques serait une stratégie palliative qui aide les étrangers à communiquer avec peu de mots. Nous avons établi l’hypothèse selon laquelle plus les apprenants F.L.S. sont avancés, moins ils produiraient d’approximations sémantiques. Nous avons utilisé un protocole « Approx » (Duvignau et Gaume, 2004) qui contient 17 séquences d’actions (DVD) dont le but est d’analyser la production des verbes dans les tâches de dénomination et de reformulation d’actions auprès de 125 participants (un groupe de chinois de F.L.S. (N=56), un groupe d’étrangers non sinophones de F.L.S. (d’une vingtaine de langues maternelles différentes ; N=56) et un groupe contrôle de F.L.M. (N=13). Par ailleurs, nous avons recueilli des données au sein de différentes écoles et entreprises à Toulouse. Notre hypothèse selon laquelle plus les participants de F.L.S. sont avancés, moins ils utiliseraient d’approximations sémantiques a reçu un soutien mitigé. / This PhD presents a study in linguistics and psycholinguistics that uses a functionalist approach to the study of production of non-conventional verbs by adults learning in French as a Second Language. We are interested in oral productions like to break a fruit that are known as metaphors or errors of over-extension. Duvignau called these semantic approximations because of the proximity between the non-conventional verb that participants produced and the conventional verb that should have been produced. The objective of this PhD is to investigate production of semantic approximations at different levels in French Second Language learning. We suggest that the palliative strategy could be responsible for the production of semantic approximations by learners in Second Language and helps learners to communicate with few verbs. We hypothesized that the more advanced learners will use less semantic approximations. We used the “Approx” protocol (Duvignau and Gaume, 2004) that contains 17 video-actions to measure production of verbs in denomination and reformulation tasks in 125 participants at different levels in French (a Chinese group (N=56), a foreign non-Chinese group speaking 27 different languages (N=56) and French group (N=13)) from different schools or companies in France. This research shows that our hypothesis that the more advanced learners will use less semantic approximation receives limited support.

Cette thèse s'intéresse à la résolution de problèmes inverses non linéaires exploitant un a priori de parcimonie ; plus particulièrement, des problèmes où les données se modélisent comme la combinaison linéaire d'un faible nombre de fonctions non linéaires en un paramètre dit de " localisation " (par exemple la fréquence en analyse spectrale ou le décalage temporel en déconvolution impulsionnelle). Ces problèmes se reformulent classiquement en un problème d'approximation parcimonieuse linéaire (APL) en évaluant les fonctions non linéaires sur une grille de discrétisation arbitrairement fine du paramètre de localisation, formant ainsi un " dictionnaire discret ". Cependant, une telle approche se heurte à deux difficultés majeures. D'une part, le dictionnaire provenant d'une telle discrétisation est fortement corrélé et met en échec les méthodes de résolution sous-optimales classiques comme la pénalisation L1 ou les algorithmes gloutons. D'autre part, l'estimation du paramètre de localisation, appartenant nécessairement à la grille de discrétisation, se fait de manière discrète, ce qui entraîne une erreur de modélisation. Dans ce travail nous proposons des solutions pour faire face à ces deux enjeux, d'une part via la prise en compte de la parcimonie de façon exacte en introduisant un ensemble de variables binaires, et d'autre part via la résolution " optimale " de tels problèmes sur " dictionnaire continu " permettant l'estimation continue du paramètre de localisation. Deux axes de recherches ont été suivis, et l'utilisation des algorithmes proposés est illustrée sur des problèmes de type déconvolution impulsionnelle et analyse spectrale de signaux irrégulièrement échantillonnés. Le premier axe de ce travail exploite le principe " d'interpolation de dictionnaire ", consistant en une linéarisation du dictionnaire continu pour obtenir un problème d'APL sous contraintes. L'introduction des variables binaires nous permet de reformuler ce problème sous forme de " programmation mixte en nombres entiers " (Mixed Integer Programming - MIP) et ainsi de modéliser de façon exacte la parcimonie sous la forme de la " pseudo-norme L0 ". Différents types d'interpolation de dictionnaires et de relaxation des contraintes sont étudiés afin de résoudre de façon optimale le problème grâce à des algorithmes classiques de type MIP. Le second axe se place dans le cadre probabiliste Bayésien, où les variables binaires nous permettent de modéliser la parcimonie en exploitant un modèle de type Bernoulli-Gaussien. Ce modèle est étendu (modèle BGE) pour la prise en compte de la variable de localisation continue. L'estimation des paramètres est alors effectuée à partir d'échantillons tirés avec des algorithmes de type Monte Carlo par Chaîne de Markov. Plus précisément, nous montrons que la marginalisation des amplitudes permet une accélération de l'algorithme de Gibbs dans le cas supervisé (hyperparamètres du modèle connu). De plus, nous proposons de bénéficier d'une telle marginalisation dans le cas non supervisé via une approche de type " Partially Collapsed Gibbs Sampler. " Enfin, nous avons adapté le modèle BGE et les algorithmes associés à un problème d'actualité en astrophysique : la détection d'exoplanètes par la méthode des vitesses radiales. Son efficacité sera illustrée sur des données simulées ainsi que sur des données réelles. / This thesis deals with solutions of nonlinear inverse problems using a sparsity prior; more specifically when the data can be modelled as a linear combination of a few functions, which depend non-linearly on a "location" parameter, i.e. frequencies for spectral analysis or time-delay for spike train deconvolution. These problems are generally reformulated as linear sparse approximation problems, thanks to an evaluation of the nonlinear functions at location parameters discretised on a thin grid, building a "discrete dictionary". However, such an approach has two major drawbacks. On the one hand, the discrete dictionary is highly correlated; classical sub-optimal methods such as L1- penalisation or greedy algorithms can then fail. On the other hand, the estimated location parameter, which belongs to the discretisation grid, is necessarily discrete and that leads to model errors. To deal with these issues, we propose in this work an exact sparsity model, thanks to the introduction of binary variables, and an optimal solution of the problem with a "continuous dictionary" allowing a continuous estimation of the location parameter. We focus on two research axes, which we illustrate with problems such as spike train deconvolution and spectral analysis of unevenly sampled data. The first axis focusses on the "dictionary interpolation" principle, which consists in a linearisation of the continuous dictionary in order to get a constrained linear sparse approximation problem. The introduction of binary variables allows us to reformulate this problem as a "Mixed Integer Program" (MIP) and to exactly model the sparsity thanks to the "pseudo-norm L0". We study different kinds of dictionary interpolation and constraints relaxation, in order to solve the problem optimally thanks to MIP classical algorithms. For the second axis, in a Bayesian framework, the binary variables are supposed random with a Bernoulli distribution and we model the sparsity through a Bernoulli-Gaussian prior. This model is extended to take into account continuous location parameters (BGE model). We then estimate the parameters from samples drawn using Markov chain Monte Carlo algorithms. In particular, we show that marginalising the amplitudes allows us to improve the sampling of a Gibbs algorithm in a supervised case (when the model's hyperparameters are known). In an unsupervised case, we propose to take advantage of such a marginalisation through a "Partially Collapsed Gibbs Sampler." Finally, we adapt the BGE model and associated samplers to a topical science case in Astrophysics: the detection of exoplanets from radial velocity measurements. The efficiency of our method will be illustrated with simulated data, as well as actual astrophysical data.

La limite semi-classique de la mécanique quantique est analogue à la limite des petits longueurs d'ondes de l'électromagnétisme, les trajectoires classiques des particules jouant le rôle des rayons optiques. Dans ce mémoire, des méthodes semi-classiques sont appliquées à la diffusion d'un faisceau atomique par un potentiel modulé périodiquement dans le temps. Des caustiques, analogues aux points focaux optiques, se produisent dans l'espace des énergies aux limites de la région permise classiquement. De même que l'optique géométrique n'est pas valable aux points focaux, où elle prédit une intensité infinie, les méthodes semi-classiques élémentaires comme BKW sont inapplicables près des caustiques. Un traitement semi-classique plus performant s'obtient par la méthode d'approximation uniforme, que nous avons généralisée au cas des problèmes périodiques Les résultats sont en bon accord avec les prédictions quantiques, aussi bien dans la région des énergies permises que dans celle des énergies interdites, où les trajectoires sont complexes.